ファラデーの電磁誘導の法則

磁場中を導体を移動させることによって誘導される運動起電力。
変化する磁場によって誘導される変圧器の起電力。

電磁気学において、ファラデーの誘導の法則は、変化する磁場が回路に電流を誘導する仕組みを説明しています。この現象は電磁誘導と呼ばれ、変圧器、インダクタ、そして多くの種類の電動機、発電機、ソレノイドの基本的な動作原理となっています。[ 1 ] [ 2 ]

ファラデーの法則は、文献において、密接に関連しながらも物理的に異なる2つの命題を指すために用いられます。[ 3 ] [ 4 ] 1つはマクスウェル方程式の一つであるマクスウェル・ファラデー方程式で、時間変化する磁場には常に循環する電場が伴うことを述べています。この法則は磁場自体に適用され、物理的な回路の存在を必要としません。

もう1つはファラデーの磁束則、またはファラデー・レンツの法則で、これは閉じた導電ループの周りの起電力（emf）と、ループを通る磁束の時間変化率を関連付けるものです。磁束則は、起電力が発生する2つのメカニズムを説明します。変圧器の起電力では、時間とともに変化する磁場がマクスウェル・ファラデーの方程式で説明されるように電界を誘導し、その電界がループの周りの電流を駆動します。運動起電力では、回路が磁場中を移動し、導体内の電荷に作用する ローレンツ力の磁気成分から起電力が発生します。

歴史的に、運動起電力と変圧器起電力に関する異なる説明は概念的な問題を引き起こしました。観測される電流は相対運動のみに依存するにもかかわらず、物理的な説明が両者で異なっていたためです。特殊相対論では、この区別は系依存的であると理解されています。つまり、ある系では磁力として現れるものが、別の系では誘導電場として現れる可能性があるのです。

歴史

1820年、ハンス・クリスチャン・エルステッドは電流が磁場を生成することを実証し、コンパスの針が近くの電流を流す導線によって偏向することを示しました。この発見は、科学者たちに逆もまた真であるか、つまり磁場が電流を生成することができるかという疑問を抱かせました。[ 5 ]

初期の実験では、静磁場は近くの回路に影響を与えないことが明らかになりました。つまり、単に磁石を導線ループの近くに置くだけでは電流は発生しませんでした。[ 5 ]画期的な発見は1831年にマイケル・ファラデーが、変化する磁場が実際に回路に電流を誘導できることを実証したことでした。ジョセフ・ヘンリーは1832年に独立して同様の観察を行いましたが、[ 6 ]ファラデーが初めてその発見を発表しました。[ 7 ] [ 8 ]

ファラデーの1831年のデモンストレーション[ 9 ]

ファラデーの1831年8月29日のノート[ 10 ]には、誘導の実験的実証が記されている。[ 11 ]彼は2つの電線コイルを鉄のリングの両側に巻き付け、原始的なトロイダル変圧器を形成した。一方のコイルを電池に接続すると、もう一方のコイルに接続された検流計が短時間振れるのを観察した。彼は、最初のコイルに流れる電流の変化がリング内に変化する磁場を作り出し、それが2番目のコイルに誘導電流を生じさせると結論付けた。彼はこれを鉄を伝わる「電気の波」と表現した。[ 12 ] : 182–183

その後数か月間、ファラデーは電磁誘導の他の現象を発見しました。[ 9 ]棒磁石を電線コイルに素早く出し入れすると、過渡電流が発生することを観察しました。また、現在ファラデーの円盤発電機または単極発電機として知られる装置も製作しました。これは、静止した磁石の存在下で銅円盤を回転させ、摺動式の電気接点を用いて定常電流（直流）を発生させるものです。[ 12 ] : 191–195

ファラデーの円板、最初の発電機、単極発電機の一種

ファラデーはこれらの現象を電磁力線の概念を用いて説明した。しかし、彼の理論的アイデアは数学的に定式化されていなかったため、懐疑的な見方を招いた。[ 12 ] : 510 後にジェームズ・クラーク・マクスウェルはファラデーの洞察を数学的に表現し、1860年代初頭に自身のより広範な電磁気理論に組み入れた。[ 12 ] : 510 [ 13 ] [ 14 ]

マクスウェルの論文では、電磁誘導の時間変化の側面は微分方程式で表現されています。オリバー・ヘヴィサイドはこれをファラデーの法則と呼びましたが、これはファラデーの法則の本来のバージョンとは異なり、運動起電力を記述するものではありません。ヘヴィサイドのバージョンは、今日ではマクスウェル方程式として知られる方程式群として認識されている形式です。

レンツの法則は、1834年にエミール・レンツによって定式化され、[ 15 ]「回路を通る磁束」を記述し、電磁誘導によって生じる誘導起電力と電流の方向を示しています（以下の例で詳しく説明します）。

電流誘導の法則は1845年にフランツ・エルンスト・ノイマンによって数学的に確立されました。 [ 16 ]

アルバート・アインシュタインによれば、彼の特殊相対性理論の基礎と発見の多くは、1834年にファラデーによってこの誘導の法則によって提示されたという。[ 17 ] [ 18 ]

フラックスルール

左側のソレノイドに交流電流が流れ、変化する磁場が発生します。この磁場は電磁誘導によって、右側のワイヤーループに電流を流します。

ファラデーの電磁誘導の法則は、磁束則、磁束法則、ファラデー・レンツの法則とも呼ばれ、[ 19 ]閉回路の周囲の起電力（emf）は、回路を流れる磁束の負の変化率に等しいと述べています。この法則は、細い電線で作られたあらゆる回路に当てはまり、磁場の変化、回路の移動、または形状の変形による磁束の変化を考慮しています。[ 20 ]誘導起電力の方向はレンツの法則によって与えられ、誘導電流は、その磁場が元の磁束の変化に逆らうように流れるとされています。[ 21 ]

数学的には、SI単位系ではこの法則は次のように表されます。 ここで、 は起電力（emf）、Φ Bは回路を通る磁束です。磁束は、磁界Bを時間依存面Σ( t )上で積分したものとして定義されます。この面の境界はワイヤループです。 ここで、d Aは表面に垂直な微小面積ベクトルです。ドット積B · d Aは、微分面積要素を通る磁束を表します。より視覚的に言えば、磁束はループを通過する 磁力線の数に比例します。E＝−dΦBdt、{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}},}E{\displaystyle {\mathcal {E}}}ΦB＝∬Σ（t）B（t）⋅dあ、{\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,,}

磁束が変化すると、ループの周囲に起電力が誘導されます。この起電力は、ループを一周させるのに必要な単位電荷あたりのエネルギーに相当します。[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]抵抗を含む単純な回路では、オームの法則に従って起電力によって電流が発生します。[ 25 ]同様に、ループが切断されて開回路となり、端子間に電圧計を接続すると、起電力は開放端で測定される電圧に等しくなります。[ 26 ]R{\displaystyle R}E{\displaystyle {\mathcal {E}}}私{\displaystyle I}E＝私R{\displaystyle {\mathcal {E}}=IR}

N回の同一ターンからなる密に巻かれた電線コイルでは、同じ磁力線が表面をN回横切ります。この場合、ファラデーの電磁誘導の法則は[ 27 ] [ 28 ]と定義されます。 ここで、 Nは電線のターン数、ΦBは単一のループを流れる磁束です。この積N ΦBは鎖交磁束として知られています。[ 29 ]E＝−北dΦBdt{\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}

磁束は、ループが時間とともに移動または変形するか、あるいは磁場自体が時間とともに変化することによって変化する可能性がある。これらの2つの可能性は、磁束則によって記述される2つのメカニズムに対応している。[ 30 ]

  • 運動起電力: 回路は静的だが不均一な磁場を通過します。
  • 変圧器の起電力: 磁場が時間の経過とともに変化しても、回路は静止したままです。
均一な磁場中を移動する導体棒。ローレンツ力の磁気成分が電子を片方の端に押しやり、電荷分離を引き起こします。

運動起電力

運動起電力の基本的なメカニズムは、導体棒が、棒自体と運動方向の両方に垂直な磁場中を運動する様子で説明される。磁場中の運動により、導体上の移動電子は、棒の長さ方向に沿って駆動するローレンツ力の磁気成分（q v × B）を受ける。これにより、棒の両端間で電荷が分離する。定常状態では、蓄積された電荷からの電界が磁力と釣り合う。[ 31 ]

3つのケースにおける磁束則：（a）運動起電力、回路が移動し磁場が静止している場合（b）磁場の発生源が移動する静止回路の場合（c）時間依存の磁場強度の場合

棒が不均一な磁場中を移動する閉じた導電ループの一部である場合、同じ効果によって回路全体に電流が流れます。例えば、磁場が限られた空間領域に限定されており、ループが最初はこの領域の外側にあるとします。ループが磁場内に移動すると、磁束を囲むループの面積が増加し、起電力が誘起されます。ローレンツ力の観点から見ると、これは磁場がループの領域に入る部分の電荷キャリアに磁力を及ぼすためです。ループ全体が均一な磁場内に位置し、一定速度で移動し続けると、囲まれた磁束の総量は一定のままになり、起電力は消滅します。この状況では、ループの反対側の磁力は打ち消されます。

変圧器の起電力

相補的な例として変圧器の起電力が挙げられます。これは、導体ループは静止しているものの、時間とともに変化する磁場によってそのループを通る磁束が変化する場合に発生します。これは2つの方法で発生します。磁場の発生源が移動し、固定されたループを通る磁場分布が変化するか、または通電されている電磁石の場合のように、固定された場所で磁場の強度が時間とともに変化するかのいずれかです。

どちらの状況でも、電荷には磁力は作用せず、起電力はローレンツ力の電気成分（q E）のみによる。マクスウェル・ファラデー方程式によれば、時間変化する磁場は循環電場を生成し、それがループ内の電流を駆動する。この現象は、 同期発電機などの電気機械の動作の基礎となっている。[ 32 ]このように誘導される電場は非保存的であり、閉ループの周りの線積分はゼロではない。[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]

誘導電流の方向

ファラデーの法則における左手の法則。磁束の変化量ΔΦ Bの符号は、磁場B、ループ面積A、そして左手の指で表されるその面積の法線 n の関係に基づいて求められる。ΔΦ B が正の場合、起電力の方向は曲がった指（黄色の矢印）の方向と同じになる。ΔΦ Bが負の場合、起電力の方向は矢印と逆になる。[ 36 ]

レンツの法則を用いずに、ファラデーの法則から直接起電力（emf）の方向を求めることも可能です。左手の法則は、以下のように役立ちます。[ 36 ] [ 37 ]

  • 左手の曲げた指をループ（黄色の線）に合わせます。
  • 親指を伸ばします。伸ばした親指は、ループで囲まれた領域の法線であるn （茶色）の方向を示します。
  • 磁束の変化ΔΦ Bの符号を求めよ。親指を伸ばして示す法線nに対する初期磁束と最終磁束（その差はΔΦ B ）を求めよ。
  • 磁束の変化ΔΦ Bが正の場合、湾曲した指は起電力の方向を示します (黄色の矢印)。
  • ΔΦ Bが負の場合、起電力の方向は湾曲した指の方向と反対になります (黄色の矢印の反対)。

マクスウェル・ファラデー方程式

表面Σ、境界∂ Σ、および右手の法則によって設定された方向nを持つケルビン・ストークスの定理の図

マクスウェル・ファラデー方程式は4つのマクスウェル方程式の1つであり、古典電磁気学の理論において基本的な役割を果たしています。この方程式は、時間変化する磁場は常に空間的に変化する非保存電場を伴うことを述べています。微分形式およびSI単位では、次のように表されます。

∇×E＝−∂B∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}

ここで、∇ ×は回転演算子、E ( r , t )は電場、B ( r , t )は磁場である。これらの場は一般に位置rと時間tの関数となる。[ 38 ]

これはケルビン・ストークスの定理によって積分形式で書くこともできる：[ 39 ]

∮∂ΣE⋅dl＝−∬Σ∂B∂t⋅dあ{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }

ここで、図に示すように、Σ は閉ループ∂ Σで囲まれた曲面であり、d lはそのループに沿った微小ベクトル要素です。ベクトル面積要素d Aは曲面に垂直であり、右手の法則に従って向きが決まります。つまり、親指がd Aの方向を指しているとき、曲げた指は境界に沿った d lの方向を示します。

式の左辺はループ∂ Σの周りの電場の循環を表す。[ 40 ] : ch3 静電場の場合、電場はスカラーポテンシャルの勾配として表すことができるため、循環はゼロとなる。一方、時間変動磁場は循環がゼロではない非保存電場を生成する。このような磁場が導体ループに作用すると、ループの周りに電流が流れる。

表面Σ が時間的に変化しない場合、右辺の方程式は表面を通る 磁束Φ Bの時間微分になります。左辺が、固定された導電ループ内の電荷に対して電界によって行われる単位電荷あたりの仕事と同一視される場合、この方程式は、静止回路の特殊なケースにおける磁束則を再現します。 ∮∂ΣE⋅dl＝−ddt∬ΣB⋅dあ＝−dΦBdt。{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}.}

非相対論的極限では、誘導電場のソレノイド成分は体積積分で近似できる[ 38 ]：321 この式は、空間を横切る磁場の変化が、与えられた点における誘導電場にどのように寄与するかを示しており、それぞれの寄与は距離の2乗に反比例して重み付けされている。 Es（r、t）≈−14π∭V （∂B（r′、t）∂t）×（r−r′）|r−r′|3d3r′{\displaystyle \mathbf {E} _{s}(\mathbf {r} ,t)\estimate -{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {\left({\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{\partial t}}\right)\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }

微視的方程式からのフラックス則の導出

4つのマクスウェル方程式は、ローレンツ力の法則とともに、古典電磁気学の完全な基礎を形成します。[ 40 ] [ 41 ]これらから、ファラデーの法則を直接導くことができます。[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]

導出は、時間とともに変化する可能性のある 表面を通る磁束Σ(t)の時間微分を考慮することから始まります。 磁束が変化する理由は2つあります。磁場自体が時間とともに変化することと、表面が移動または形状を変えて異なる空間領域を囲むことです。どちらの効果も、ライプニッツの積分則の3次元版、いわゆる「磁束定理」によって捉えられます。 [ 45 ] [ 25 ] ここで、⁠ ⁠ は表面の移動境界であり、は各点における境界の局所速度です。ガウスの磁気の法則（⁠ ⁠）により、面積積分の2項はゼロになります。残りの項に マクスウェル・ファラデー方程式を適用し、 2つの線積分を組み合わせると、次の式が得られます 。 これは、マクスウェル方程式とベクトル解析から導かれた正確な結果です。[ 25 ]dΦBdt＝ddt∬Σ（t）B（t）⋅dあ。{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} .}ddt∬Σ（t）B⋅dあ＝∬Σ（t）（∂B∂t+（∇⋅B）vc）⋅dあ−∮∂Σ（t）（vc×B）⋅dl{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {v} _{c}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}(\mathbf {v} _{c}\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }∂Σ（t）{\displaystyle \partial \Sigma (t)}vc{\displaystyle \mathbf {v} _{c}}∇⋅B＝0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}∬Σ（t）∂B∂t⋅dあ＝−∮∂Σ（t）E⋅dl、{\displaystyle \iint _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =-\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} ,}dΦBdt＝−∮∂Σ（t）（E+vc×B）⋅dl。{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=-\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} _{c}\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}

しかし、積分内の量は単位電荷あたりの完全なローレンツ力ではありません。なぜなら、速度はループ境界の運動を表しており、電荷キャリアの実際の速度を表しているわけではないからです。物理的な起電力を回復するには、これらの速度を区別する必要があります。物理回路と一致するように積分経路を選択しましょう。導体内の電荷キャリアの速度は次のように与えられます。 ここで、は導体（物質内のイオン）の速度、は物質に対する電子のドリフト速度です。この分解は、速度の非相対論的（ガリレイ的）な加算を仮定しています。[ 25 ]vc{\displaystyle \mathbf {v} _{c}}v（r、t）＝vc（r、t）+vd（r、t）、{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} _{c}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t),}vc{\displaystyle \mathbf {v} _{c}}vd{\displaystyle \mathbf {v} _{d}}

ローレンツ力に関連する 起電力は次のように定義される。E{\displaystyle {\mathcal {E}}}E＝∮∂Σ（t）（E+v×B）⋅dl。{\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}

式をキャリア速度に代入すると、上記の結果が得られます。

E=−dΦBdt+∮∂Σ(t)(vd×B)⋅dl.{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}+\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} _{d}\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}

同様に、これは次のように表すことができます。 ここで、最初の項は時間とともに変化する磁場による「変圧器起電力」であり、2番目の項は磁場内の電荷の運動による磁気ロー​​レンツ力による「運動起電力」です。[ 25 ]E=−∬Σ(t)∂B∂t⋅dA+∮∂Σ(t)(v×B)⋅dl,{\displaystyle {\mathcal {E}}=-\iint _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot {\rm {d}}\mathbf {A} +\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} ,}

細い1次元の配線で作られた回路では、ドリフト速度は配線と一直線になり、したがって積分要素⁠ ⁠dl{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} }と一直線になります。その場合、外積は⁠ ⁠に垂直になり、ドリフト速度に比例する項はゼロになります。これにより、ファラデーの法則の標準形が再現されます。 この場合、起電力は[ 25 ] の和としても表すことができます。細い配線ではない導体では、ドリフト速度の項は正確にゼロにならない場合があります。しかし、電子は通常、次のオーダーの速度でドリフトします。vd×B{\textstyle \mathbf {v} _{d}\times \mathbf {B} }dl{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} }E=−dΦBdt{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}E=−∬Σ(t)∂B∂t⋅dA+∮∂Σ(t)(vc×B)⋅dl.{\displaystyle {\mathcal {E}}=-\iint _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} _{c}\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}∮∂Σ(t)(vd×B)⋅dl{\textstyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} _{d}\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }10 −4  m/sであり、その寄与は他の効果と比較して無視できるほど小さいことが多い。[ 46 ]注目すべき例外はホール効果であり、磁束項は消え、観測されるホール電圧は完全にドリフト速度項から生じる。[ 25 ]dΦB/dt{\textstyle \mathrm {d} \Phi _{B}/\mathrm {d} t}

フラックス則の限界

ファラデーの法則を一般化して次のように述べたくなる。「∂Σが空間内の任意の閉ループである場合、 Σを通る磁束の全時間微分は∂Σの周りの起電力に等しい」。しかし、この記述は常に正しいわけではない。前のセクションで述べたように、ファラデーの法則は、抽象的な曲線∂Σの速度が電気を伝導する物質の実際の速度と一致しない限り、必ずしも有効ではない。[ 47 ]導体が無限に細い電線でない場合は、物質に対する電荷の速度も考慮する必要があるかもしれない。[ 25 ]以下に示す2つの例は、ファラデーの法則をあまりに広く適用すると、しばしば誤った結果が得られるということを示しています。[ 40 ]

  • ファラデーの単極発電機。円板は角速度ωで回転し、静磁場B（円板面法線方向）内で導体半径を円運動させる。磁気ローレンツ力v × Bは導体半径に沿って導体縁まで電流を流し、そこから下部ブラシと円板を支える軸を通って回路が完成する。この装置は起電力と電流を生成するが、「回路」の形状は一定であるため、回路を流れる磁束は時間とともに変化しない。
    ファラデーの単極発電機。円板は角速度ωで回転し、静磁場B（円板面法線方向）内で導体半径を円運動させる。磁気ローレンツ力v × Bは導体半径に沿って導体縁まで電流を流し、そこから下部ブラシと円板を支える軸を通って回路が完成する。この装置は起電力と電流を生成するが、「回路」の形状は一定であるため、回路を流れる磁束は時間とともに変化しない。
  • 導線（赤の実線）が2枚の接触した金属板（銀色）に接続され、回路を形成しています。システム全体は、紙面に垂直な均一磁場の中にあります。抽象的な経路∂Σが電流の主要経路（赤で示した）に沿っている場合、この経路を通る磁束は金属板の回転に伴って劇的に変化しますが、起電力はほぼゼロです。『ファインマン物理学講義後』第17章
    導線（赤の実線）が2枚の接触した金属板（銀色）に接続され、回路を形成しています。システム全体は、紙面に垂直な均一磁場の中にあります。抽象的な経路∂Σが電流の主要経路（赤で示した）に沿っている場合、この経路を通る磁束は板の回転に伴って劇的に変化しますが、起電力はほぼゼロです。『ファインマン物理学講義後』 [ 40 ]：ch17

このような例を分析するには、経路∂Σが物質と同じ速度で動くように注意する必要があります。[ 47 ]起電力は、ローレンツ力の法則とマクスウェル・ファラデー方程式を組み合わせることで常に正しく計算できます。[ 40 ] : ch17 ここで、vはBが記述されている参照フレームにおける導体の速度です。ループの位置や形状は時間の関数になる可能性があるため、時間微分は一般に積分範囲外に移動することはできません。[ 48 ]E=∫∂Σ(E+v×B)⋅dl=−∫∂Σ(t)∂B∂t⋅dA+∮∂Σ(t)(v×B)⋅dl,{\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-\int _{\partial \Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot {\rm {d}}\mathbf {A} +\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} ,}

フラックス則と相対性理論

歴史的に、磁束則に含まれる2つの異なるメカニズム、すなわち運動起電力と変圧器起電力は、概念的な課題を提起してきました。[ 49 ]ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、誘導起電力が単一の数式に従うにもかかわらず、電磁誘導が異なる物理的過程を通じて発生する可能性があることを既に認識していました。1861年の論文『物理的な力線について』[ 50 ]において、彼はそれぞれの場合について別々の物理的説明を与えました。

1905年、アルベルト・アインシュタインは論文『運動物体の電気力学について』において、古典電気力学におけるこの非対称性を強調した。[ 51 ]彼は、誘導電流などの物理的結果は導体と磁石の相対運動のみに依存するにもかかわらず、古典理論ではどの物体が運動しているとみなされるかによって異なる説明が提示されていることを指摘した。この矛盾は、優先座標系が存在しないことを示唆し、特殊相対論の発展を促した。[ 52 ]

現代的な用語では、電場と磁場は単一の電磁場テンソルの成分として理解されています。慣性系の変化により、2つの場は互いに変換されます。[ 53 ]

参照

注記

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参考文献

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