ファレル・ジョーンズ予想

数学において、ファレル・ジョーンズ予想^{[ 1 ]}は、F・トーマス・ファレルとローウェル・E・ジョーンズにちなんで名付けられ、特定のアセンブリ写像が同型写像であるという予想である。これらの写像は、特定の準同型写像として与えられる。

動機は、アセンブリマップのターゲットへの興味である。これは、例えば、群環の代数的K理論である。

${\displaystyle K_{n}(RG)}$

あるいは群環の L理論

${\displaystyle L_{n}(RG),}$

ここで、Gは何らかのグループです。

アセンブリ写像の源は、Gの分類空間上でGの仮想巡回部分群の族に関して評価された同変ホモロジー理論である。したがって、ファレル・ジョーンズ予想が正しいと仮定すると、計算を仮想巡回部分群に限定することで、や などの複雑な対象に関する情報を得ることができる。 ${\displaystyle K_{n}(RG)}$ ${\displaystyle L_{n}(RG)}$

バウム・コヌ予想は、縮小群 -代数の位相的 K 理論に対して同様の主張を展開する。 ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle K_{n}^{top}(C_{*}^{r}(G))}$

処方

任意の 環同変ホモロジー理論は、${\displaystyle R}$ ${\displaystyle KR_{*}^{?},LR_{*}^{?}}$

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\{\cdot \})​​\cong K_{n}(R[G])}$ それぞれ${\displaystyle LR_{n}^{G}(\{\cdot \})​​\cong L_{n}(R[G]).}$

ここで は群環を表します。 ${\displaystyle R[G]}$

群Gに対するK理論的ファレル・ジョーンズ予想は、写像がホモロジー上の同型写像を誘導すること を述べている。${\displaystyle p:E_{VCYC}(G)\rightarrow \{\cdot \}}$

${\displaystyle KR_{*}^{G}(p):KR_{*}^{G}(E_{VCYC}(G))\rightarrow KR_{*}^{G}(\{\cdot \})​​\cong K_{*}(R[G]).}$

ここで、群Gの、実質的に巡回的な部分群の族に関する分類空間を表します。つまり、等方性群が実質的に巡回的なG -CW 複合体であり、 Gの任意の実質的に巡回的な部分群に対して、不動点集合は収縮可能です。 ${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$

L 理論的ファレル・ジョーンズ予想も同様である。

計算面

群環の代数的K群とL群の計算は、それらの群に存在する障害（例えば、ウォールの有限性障害、手術障害、ホワイトヘッド捩れを参照）によって行われる。そこで、ある群が代数的K理論のファレル・ジョーンズ予想を満たすと仮定する。さらに、仮想巡回部分群の分類空間のモデルが既に発見されているとする。 ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \emptyset =X^{-1}\subset X^{0}\subset X^{1}\subset \ldots \subset X}$

-pushoutsを選択し、 Mayer-Vietoris シーケンスを適用します。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$ ${\displaystyle \rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

このシーケンスは次のように簡略化されます。

${\displaystyle \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(R[H_{j}])\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(RH_{j})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$ ${\displaystyle \rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-2}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

これは、任意のグループが特定の同型予想を満たす場合、仮想巡回グループの代数 K 理論 (L 理論) と の適切なモデルを知ることによってのみ、その代数 K 理論 (L 理論) を計算できることを意味します。 ${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$

なぜ事実上巡回的な部分群の族なのでしょうか?

例えば有限部分群の族を考慮に入れることもできるだろう。この族は扱いがはるかに容易である。無限巡回群を考えてみよう。のモデルは実数直線 で与えられ、その上では自由に並進作用をする。同変K理論の性質を用いると、以下の式が得られる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E_{FIN}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle K_{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {R} )=K_{n}(S^{1})=K_{n}(pt)\oplus K_{n-1}(pt)=K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R).}$

バス・ヘラー・スワン分解は

${\displaystyle K_{n}^{\mathbb {Z} }(pt)=K_{n}(R[\mathbb {Z} ])\cong K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R).}$

実際、アセンブリ マップが標準的な包含によって与えられていることが確認されます。

${\displaystyle K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\hookrightarrow K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R)}$

従って、 が同型となるのは の場合のみであり、が正則環である場合に限ります。そのため、この場合は有限部分群の族を実際に使用できます。一方で、これは代数的K理論と有限部分群の族に対する同型予想が成り立たないことを示しています。この予想を、すべての反例を含むより大きな部分群の族に拡張する必要があります。現在、ファレル・ジョーンズ予想の反例は知られていません。反例がある場合は、その反例を含むより大きな族に部分群の族を拡大する必要があります。 ${\displaystyle NK_{n}(R)=0}$ ${\displaystyle R}$

同型予想の継承

ファイバー化されたファレル・ジョーンズ予想を満たす群のクラスには以下の群が含まれる。

• 事実上巡回的な群（定義）
• 双曲群（^{[ 2 ]}を参照）
• CAT(0)基（ ^{[ 3 ]}を参照）
• 可解群（ ^{[ 4 ]}参照）
• マッピングクラスグループ（^{[ 5 ]}を参照）

さらに、このクラスには次の継承プロパティがあります。

• 群の有限積に対して閉じている。
• サブグループを受講して終了しました。

メタ予想とファイバー同型予想

同変ホモロジー理論を固定する。群Gが部分群族に対する同型予想を満たすのは、射影によって誘導される写像がホモロジー上の同型を誘導する場合のみであると言える。 ${\displaystyle H_{*}^{?}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E_{F}(G)\rightarrow \{\cdot \}}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{F}(G))\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \})}$

群Gが部分群族Fのファイバー同型予想を満たすことと、任意の群準同型に対して群Hが族の同型予想を満たすことは 同じである。${\displaystyle \alpha :H\rightarrow G}$

${\displaystyle \alpha ^{*}F:=\{H'\leq H|\alpha (H)\in F\}}$ 。

この状況では、ファミリー のファイバー同型予想も満たされていることがすぐにわかります。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha ^{*}F}$

推移性原理

推移性原理は、考慮する部分群の族を変更するためのツールです。の部分群の族が2つ与えられます。すべての群が族 に関して（ファイバー）同型性予想を満たすと仮定します。すると、群 が族 に関してファイバー同型性予想を満たすことと、族 に関して（ファイバー）同型性予想を満たすことは、同じ必要条件です。 ${\displaystyle F\subset F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\in F'}$ ${\displaystyle F|_{H}:=\{H'\in F|H'\subset H\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'}$

同型予想と群準同型

任意の群準同型が与えられ、 G"' が部分群の族Fに対してファイバー同型予想を満たすと仮定する。すると、 H"' も族 に対してファイバー同型予想を満たす。例えば、が有限核を持つ場合、族はHの事実上巡回部分群の族と一致する。 ${\displaystyle \alpha \colon H\rightarrow G}$ ${\displaystyle \alpha ^{*}F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ^{*}VCYC}$

適切な場合は、推移性原理を使用して、ファミリーを再度縮小することができます。 ${\displaystyle \alpha }$

他の推測との関連

ノビコフ予想

ファレル・ジョーンズ予想からノビコフ予想への関連も存在する。以下の写像のいずれかが

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{VCYC}(G),L_{R}^{\langle -\infty \rangle })\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},L_{R}^{\langle -\infty \rangle })=L_{*}^{\langle -\infty \rangle }(RG)}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{n}(C_{r}^{*}(G))}$

が有理的に単射であれば、ノビコフ予想は に対して成り立つ。例えば、^{[ 6 ] [ 7 ]を参照のこと。}${\displaystyle G}$

ボスト予想

ボスト予想（ジャン＝ブノワ・ボストにちなんで名付けられた）は、アセンブリマップ

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K_{l^{1}}^{top})=K_{*}(l^{1}(G))}$

は同型である。環準同型はK理論における写像を誘導する。この準同型と上側の集合写像を合成すると、バウム・コンヌ予想で現れる集合写像と全く同じものが得られる。 ${\displaystyle l^{1}(G)\rightarrow C_{r}(G)}$ ${\displaystyle K_{*}(l^{1}(G))\rightarrow K_{*}(C_{r}(G))}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{top})=H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{*}(C_{r}(G))}$

カプランスキー予想

カプランスキー予想は、整域と捩れのない群に対して、における唯一のべき等元はであると予言する。そのようなべき等元はそれぞれ、との右乗法の像をとることで射影加群を与える。したがって、カプランスキー予想と の消失の間には関連があるように思われる。カプランスキー予想とファレル・ジョーンズ予想を関連付ける定理が存在する（^{[ 8 ]}を参照）。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K_{0}(R[G])}$

参考文献

1. Farrell, F. Thomas、 Jones, Lowell E.、代数的K理論における同型予想、アメリカ数学会誌、第6巻、pp. 249–297、1993年
2. Bartels, Arthur ; Lück, Wolfgang ; Reich, Holger (2006)、「双曲群に対するK理論的ファレル・ジョーンズ予想」、arXiv : math/0609685
3. Bartels, Arthur; Lück, Wolfgang ; Reich, Holger (2009),双曲群とCAT(0)群に対するボレル予想, arXiv : 0901.0442
4. Wegner, Christian (2013)、「事実上可解な群に対するファレル・ジョーンズ予想」、Journal of Topology、8 (4): 975– 1016、arXiv : 1308.2432、Bibcode : 2013arXiv1308.2432W、doi : 10.1112/jtopol/jtv026、S2CID 119153966 
5. Bartels, Arthur; Bestvina, Mladen (2016)、「写像類群に関するファレル・ジョーンズ予想」、arXiv : 1606.02844 [ math.GT ]
6. Ranicki, Andrew A.「ノビコフ予想について」『ノビコフ予想、指数定理、剛性』第1巻、（Oberwolfach 2003）. ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局. pp.  272– 337.
7. Lück, Wolfgang ; Reich, Holger (2005). 「K理論とL理論におけるバウム＝コンヌ予想とファレル＝ジョーンズ予想」. K理論ハンドブック. 第1巻, 第2巻. ベルリン: シュプリンガー. pp.  703– 842.
8. Bartels, Arthur; Lück, Wolfgang ; Reich, Holger (2008)「Farrell-Jones予想とその応用について」Journal of Topology , 1 (1): 57– 86, arXiv : math/0703548 , doi : 10.1112/jtopol/jtm008 , S2CID 17731576