フェルミ問題

フェルミ問題（フェルミ問題、フェルミ クイズ、フェルミ クイズとも呼ばれる）は、物理学や工学教育における推定問題であり、極限科学計算の次元解析や近似値を教えるために考案されています。フェルミ問題は通常、大まかな計算です。フェルミ問題では通常、数量とその分散または下限と上限について正当な推測をします。場合によっては、次元解析を使用して桁単位の推定値を導くこともできます。フェルミ推定値（または桁単位の推定値、桁推定値）は、極限科学計算の推定値です。

歴史的背景

この推定手法は、物理学者エンリコ・フェルミにちなんで名付けられました。彼は、実際のデータがほとんど、あるいは全くなくても、優れた近似計算を行う能力で知られていました。一例として、エンリコ・フェルミは、トリニティ実験で爆発した原子爆弾の威力を、爆発中に手から落とした紙片の移動距離に基づいて推定しました。フェルミが推定したTNT火薬10キロトンは、現在認められている21キロトンとほぼ一桁近い値でした。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

正当化

フェルミ推定は、個々の項の推定値がほぼ正確であり、過大評価と過小評価が互いに打ち消し合うため、一般的に有効です。つまり、一貫したバイアスがなければ、複数の推定値（例えばシカゴのピアノ調律師の数）を乗算するフェルミ計算は、当初想定されていたよりも正確になる可能性があります。

詳細には、推定値を掛け合わせることは、それらの対数を加算することに相当する。したがって、対数スケール上の一種のウィーナー過程またはランダムウォークが得られ、これは（項数nにおいて） のように拡散する。離散的な項では、過大評価の数から過小評価の数を引いた値は二項分布となる。連続的な項では、実値から対数スケールで標準偏差σ単位のnステップのフェルミ推定を行うと、全体の推定値は標準偏差 となる。これは、和の標準偏差が被加数の個数に応じて のようにスケールするからである。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

例えば、9段階のフェルミ推定を行う場合、各段階で正しい数値を2倍（または標準偏差2）過大評価または過小評価すると、9段階後には標準誤差は対数係数で増加し、2 ³ = 8になります。したがって、正しい値の1 ⁄ 8 ～8倍以内、つまり1桁以内になると予想され、2 ⁹ = 512（約2.71桁）の誤差が生じる最悪のケースよりもはるかに小さくなります。チェーンが短くなるか、より正確に推定すれば、全体的な推定値もそれに応じて改善されます。 ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$

例

フェルミの問題は本質的に極端な場合が多く、一般的な数学的または科学的情報を使用して解決することはできないのが普通です。

公式フェルミコンペティションで出された例題:

「小さじ1杯の水の質量をすべて熱の形でエネルギーに変換できるとしたら、最初は室温だった水の何体積を沸騰させることができるでしょうか？（リットル）」

「ファンショーダムを通過するとテムズ川はどのくらい温まるのでしょうか？（摂氏度）」

「今月北米で廃車になった自動車の総重量はいくらですか？（キログラム）」^{[ 4 ] [ 5 ]}

おそらく最も有名な桁違いの問題はフェルミのパラドックスであろう。これは、銀河系に相当数の知的文明が存在する確率を考慮し、人類文明がそのような文明に遭遇したことがないという一見矛盾する事実について考察するものである。フェルミ推定というレンズを通してこのパラドックスを考察するよく知られた試みはドレイク方程式であり、これは銀河系に存在するそのような文明の数を推定しようとするものである。^{[ 6 ]}

利点と範囲

^{科学者は、より洗練された手法を用いて正確な答えを計算する前に、問題の答えのフェルミ推定値[ 7 ]}を求めることがよくあります。これは、結果の有効な検証手段となります。推定値はほぼ確実に誤りであるものの、単純な計算であるため、誤りのチェックが容易で、得られた数値が合理的に予想される範囲をはるかに超えている場合に誤った仮定を発見することができます。一方、正確な計算は非常に複雑になる場合がありますが、得られる答えが正しいと期待されます。関係する要素や演算の数が非常に多いため、数学的プロセスや方程式の前提における重大な誤りが隠れてしまう可能性があります。しかし、結果は良好な結果をもたらすと期待される正確な公式から導き出されたため、依然として正しいと想定される場合があります。適切な基準枠がなければ、結果が許容できる精度なのか、それとも何桁も（数十倍、数百倍も）大きすぎるのか小さすぎるのかは、ほとんど明らかではありません。フェルミ推定値は、合理的に予想される答えの基準枠を迅速かつ簡単に得る方法を提供します。

推定における初期の仮定が妥当な量である限り、得られた結果は正しい結果と同じスケール内の答えを与え、そうでない場合は、なぜそうなるのかを理解する基礎を与えます。たとえば、シカゴのピアノ調律師の数を決定するように求められたとします。最初の推定では 100 人程度だったのに、正確な答えが何千人と出た場合、予想される結果となぜこのような乖離があるのか​​を突き止める必要があることがわかります。まず誤差を探し、次に推定で考慮されなかった要因を探します。シカゴには、ピアノの数と人の比率が不釣り合いに高い音楽学校やその他の場所がいくつありますか。観測された結果に近いか非常に遠いかに関係なく、推定によって得られるコンテキストは、計算プロセスと、問題を考察するために使用された仮定の両方に関する有用な情報を与えます。

フェルミ推定は、計算方法の最適な選択が解の期待値の大きさに依存するような問題へのアプローチにも有用である。例えば、フェルミ推定は、構造物の内部応力が線形弾性によって正確に記述できるほど低いかどうか、あるいは推定値が他の値と比較して既に有意なスケール関係にあるかどうか、例えば、構造物が推定値の数倍の荷重に耐えられるように過剰に設計されているかどうかなどを示す。^{[ 8 ]}

フェルミ計算は、その仮定に多くの問題がある場合があり、正確ではないことが多いですが、この種の分析により、より良い答えを得るために何を探すべきかを知ることができます。上記の例では、ピアノ調律師が典型的な 1 日に調律するピアノの数をより正確に推定したり、シカゴの人口の正確な数を調べたりすることができます。また、いくつかの目的には十分な概算も得られます。たとえば、シカゴでピアノ調律機器を販売する店を開きたいと考えており、事業を継続するには 10,000 人の潜在的顧客が必要であると計算した場合、上記の概算は 10,000 人より十分に少ないため、別の事業計画を検討する必要があると合理的に推測できます (さらに、もう少し作業すれば、それぞれの仮定に現れる可能性のある最も極端な妥当な値を検討することで、ピアノ調律師の数のおおよその上限を計算することもできます)。

参照

• コペルニクス原理
• 推測航法
• 終末論
• 推定
• 手を振る
• ヒューリスティック
• 近似の順序
• 球形の牛
• スタインの例

参考文献

1. 「過去を振り返る：トリニティの目撃者たち」（PDF） .核兵器ジャーナル（2）. ロスアラモス国立研究所：45. 2005年. 2022年10月27日閲覧。
2. フォン・バイヤー、ハンス・クリスチャン（1988年9月）「フェルミならどう解決しただろうか」『サイエンス』28 (5): 2–4 . doi : 10.1002/j.2326-1951.1988.tb03037.x .
3. フォン・バイヤー、ハンス・クリスチャン (2001). 「フェルミ解」 . 『フェルミ解：科学エッセイ集』 . ドーバー. pp.  3– 12. ISBN 978-0-486-41707-3. OCLC  775985788 .
4. Weinstein, LB (2012). 「フェルミに関する質問」オールドドミニオン大学. 2022年10月27日閲覧。
5. カーティス、リチャード・K. (2001). 「フェルミの疑問」ウェスタンオンタリオ大学物理天文学部.
6. Ćirković, Milan M. (2018). 「3.9 ドレイク方程式、その良し悪し」『大いなる沈黙：フェルミのパラドックスの科学と哲学』オックスフォード大学出版局. p. 95–. ISBN 978-0-19-964630-2. OCLC  1032811202 .
7. 「フェルミの質問」（PDF） .
8. 「メリーランド大学フェルミ問題集」メリーランド大学物理教育研究グループ. 2025年7月30日閲覧。

さらに読む

以下の書籍にはフェルミ問題の例とその解答が多数掲載されています。

• ハート、ジョン（1988年）『球形の牛を考える：環境問題解決のコース』University Science Books. ISBN 0-935702-58-X. OCLC  1289913481 .
• — (2001).円筒形の牛を考える：環境問題解決のさらなる冒険. University Science Books. ISBN 1-891389-17-3. OCLC  45066391 .
• スワーツ、クリフォード（2003年）『Back-of-the-Envelope Physics』ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 0-8018-7263-4. OCLC  50476732 .
• ワインスタイン、ローレンス、アダム、ジョン・A. (2008). 『Guesstimation: Solving the World's Problems on the Back of a Cocktail Napkin』 プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-12949-5. JSTOR  j.ctt7sgcs . OCLC  440796201 . フェルミ問題に関する教科書。
• サントス、アーロン（2009年）『何度舐めるか？：あるいは、ほとんど何でも見積もる方法』ランニング・プレス、ISBN 978-0-7624-3560-9. OCLC  431550563 .
• マハジャン、サンジョイ（2010年）『ストリートファイティング数学：推測と機会主義的問題解決の芸術』 MIT出版。ISBN 978-0-262-51429-3. OCLC  608692427 .
• マハジャン、サンジョイ (2014). 『科学と工学における洞察の芸術』 MIT出版. ISBN 978-0-262-52654-8. OCLC  1311967100 .
• グリムヴァル、ゴーラン (2010). 『Quantify! A Crash Course in Smart Thinking』 ジョンズ・ホプキンス大学出版局. ISBN 978-0-8018-9717-7. OCLC  558666861 .
• ワインスタイン、ローレンス（2012年）『Guesstimation 2.0：ナプキンの裏で今日の問題を解決する』プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-15080-2. JSTOR  j.cttq94ww . OCLC  811400575 .
• ドミトリー・ブドカー著、アレクサンダー・O・スシュコフ著（2015年）『物理学をあなたの足で』バークレー大学院試験問題集、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-968165-5. OCLC  908416902 .
• イーストアウェイ、ロブ（2019年）『封筒の裏に書かれた数学：何でも（大まかに）計算する賢い方法』ハーパーコリンズ、ISBN 978-0-00-832458-2. OCLC  1112385307 .

外部リンク

• メリーランド大学物理教育グループは、フェルミ問題のコレクションを管理しています。
• フェルミの質問: ロイド・エイブラムス著、教師、生徒、イベント監督者向けガイド。
• 「もしも​​？地球を描こう」は、ランドール・マンロー著『もしも？不条理な仮説的疑問に対する真剣な科学的回答』より。
• 自動車が発明されて以来、自動車が消費したガソリンの総量と太陽から放出されるエネルギーの出力との比較に関するフェルミ問題の例。
• Nuño Sempere による「フェルミ推定入門」には、フェルミスタイルの分解によってより良い推定値が得られる理由の証明の概要が記載されています。
• 「数学者以外の人々に数学をどのように教えるべきか？」ティモシー・ガワーズ著。

フェルミ問題の推定と解法に特化した大学レベルのコースは、現在も、あるいは過去にも数多く存在しました。これらのコースの教材は、フェルミ問題の例題や解法戦略に関する資料として役立ちます。

• 6.055J / 2.038Jマサチューセッツ工科大学(MIT)のサンジョイ・マハジャンが教える科学と工学における近似の技術。
• オールドドミニオン大学でローレンス・ワインスタインが教える「封筒の裏に書かれた物理学」。
• カリフォルニア工科大学でスタール・フィニーが教える「オーダー・オブ・マグニチュード物理学」。
• カリフォルニア大学サンタクルーズ校のパトリック・チュアンが教える「桁数の推定」。
• トロント大学の Linda Strubbe が教える「桁数問題解決」。
• カリフォルニア大学バークレー校でユージン・チャンが教える「オーダー・オブ・マグニチュード物理学」。
• 第 2 章: 封筒の裏に書かれた発見、コロンビア大学のDavid Helfand教授が教える「Frontiers of Science: Scientific Habits of Mind」より。