4次元チャーン・サイモンズ理論

数理物理学において、4次元チャーン・サイモンズ理論は、半正則チャーン・サイモンズ理論あるいは半位相チャーン・サイモンズ理論とも呼ばれ、ニキータ・ネクラーソフによって最初に定義され、^{[ 1 ]}ケビン・コステロによって再発見・研究され、^{[ 2 ]}後にエドワード・ウィッテンと山崎正人によって研究された量子場の理論である。 ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}この理論に現れる チャーン・サイモンズ3形式を発見した数学者シー・シェン・チャーンとジェームズ・サイモンズにちなんで名付けられている。

ゲージ理論は、リープの6頂点モデルやハイゼンベルクスピン鎖などの正確に解ける格子モデル^{[ 3 ] [ 4 ]}や、主カイラルモデル、対称空間コセットシグマモデル、戸田場の理論などの積分可能場の理論を含む多くの積分可能系と関連していることが実証されている。ただし、積分可能場の理論では、2次元表面欠陥の導入が必要である。^{[ 5 ]}この理論は、ヤン・バクスター方程式やヤンジアンなどの量子群とも関連している。

この理論は位相量子場理論である3次元チャーン・サイモンズ理論に似ており、4次元チャーン・サイモンズ理論とヤン・バクスター方程式の関係は、3次元チャーン・サイモンズ理論とウィッテンによって発見されたジョーンズ多項式などの結び目不変量との関係と類似している。^{[ 6 ]}

処方

理論は、2 つの 2 次元多様体 の積である4 次元多様体上で定義されます。ここで、は滑らかな向き付け可能な2 次元多様体であり、は有理型1 形式を備えた複素曲線(したがって実数次元は 2)です。 ${\displaystyle M=\Sigma \times C}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \omega }$

場の内容はゲージ場 である。作用はチャーン・サイモンズ3次元形式をでくさび形にすることで与えられる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle CS(A)}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle S_{4d}={\frac {1}{2\pi}}\int _{M}\omega \wedge CS(A).}$$

基礎多様体に対する制約

ヒューリスティックは、考慮すべき に強い制約を課します。この理論は、プランク定数の極限で、摂動論的に研究されます。経路積分の定式化では、作用 に比 が含まれます。したがって、 の零点はの点に単純に対応し、その点で摂動法は破綻します。したがって、 は極を持つ可能性がありますが、零点は持つことができません。リーマン・ロッホの定理の系は、 で定義される標準因子の次数( の零点と極の数の差に等しく、重複度)と曲線 の種数との関連づけにより、^{[ 7 ]}が得られます。 次に、には零点がないため、または でなければなりません。後者の場合、には極がなく、複素トーラス( 2 次元格子を持つ) があります。 の場合、は複素射影直線です。この形式には 2 つの極があります。重複度2の単極の場合、上として実現できます。重複度1の2極の場合、上として実現できます。したがって、は複素平面、複素円筒、またはトーラスのいずれかです。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \hbar <<1}$ ${\displaystyle \omega /\hbar }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \hbar \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle {\text{零点の数}}\omega -{\text{極の数}}\omega =2g-2}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C=\mathbb {C} /\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda}$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =dz}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \omega ={\frac {dz}{z}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C}$

フレーミング異常の可能性により、には位相的な制約も存在します。この制約により、 は平行化可能な2次元多様体でなければならないという強い制約が課されます。例えば、がコンパクト であれば、 はトーラスです。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

表面欠陥と場の理論

上記は理論からスピン鎖を得るには十分ですが、2次元可積分場理論を得るには、いわゆる表面欠陥を導入する必要があります。表面欠陥はしばしば と表記され、複素曲線上の点に局在すると考えられる2次元の「物体」ですが、可積分場理論を設計するために に固定された を覆うものです。この欠陥は2次元場理論が存在する空間であり、この理論はバルクゲージ場 と結合します。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$

バルクゲージ場がゲージ群を持つと仮定すると、欠陥上の場の理論は、それがグローバル対称群を持つ場合、バルクゲージ場と相互作用することができ、その結果、模式的に である項を介して結合できる電流を持つことになります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \int JA}$

一般に、には複数の欠陥があり、結合理論の作用は次のようになります。この場合 、上の場の理論の場の集合は、 の座標は です。 ${\displaystyle D_{\alpha}}$ ${\displaystyle \alpha =1,\cdots ,n}$ $${\displaystyle S_{4d-2d}={\frac {1}{2\hbar \pi }}\int _{\mathbb {R} ^{2}\times C}\omega \wedge CS(A)+\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {1}{\hbar }}\int _{\mathbb {R} ^{2}\times z_{\alpha }}{\mathcal {L}}_{\alpha }(\phi _{\alpha };A_{w}|_{z_{\alpha }},A_{\overline {w}}|_{z_{\alpha }}),}$$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }}$ ${\displaystyle D_{\alpha}}$ ${\displaystyle w,{\overline {w}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

欠陥には 2 つの異なるクラスがあります。

1. 秩序欠陥。これは欠陥に新たな自由度を導入し、それがバルクゲージ場と結合します。
2. 無秩序欠陥。バルクゲージ場には特異点がいくつかあります。

秩序欠陥は定義しやすいですが、既知の 2 次元の積分可能な場の理論の多くを設計するには無秩序欠陥が必要です。

4次元チャーン・サイモンズ理論で記述されるシステム

スピンチェーン

• 6頂点モデル
• 8頂点モデル
• XXZハイゼンベルクスピン鎖

積分可能な場の理論

• グロス・ヌヴーモデル
• サーリングモデル
• ウェス・ズミノ・ウィッテンモデル
• 主カイラルモデルと変形
• 対称空間剰余類シグマモデル

可積分系の理論をマスターする

4次元チャーン・サイモンズ理論は可積分系の「マスター理論」であり、多くの可積分系を包含する枠組みを提供する。この特徴を共有しながらもラグランジアンではなくハミルトニアンで記述されるもう一つの理論は、「二面角ねじれ」を持つ古典アフィン・ゴーダン模型である^{[ 8 ]}。そして、この二つの理論は密接に関連していることが示されている^{[ 9 ] 。}

可積分系のもう一つの「マスター理論」は、反自己双対ヤン＝ミルズ（ASDYM）系である。ウォード予想とは、すべての可積分常微分方程式または偏微分方程式は実際にはASDYMから導かれるという予想である。4次元チャーン＝サイモンズ理論とASDYMの間には関連性が見出されており、それらは実際にはツイスター空間上に定義された6次元正則チャーン＝サイモンズ理論から導かれる。この6次元チャーン＝サイモンズ理論から、4次元チャーン＝サイモンズ理論とASDYMの代替経路を経て可積分系を導出することは、実際には可換平方に当てはまる。^{[ 10 ]}

参照

• チャーン・サイモンズ理論
• 無限次元チャーン・サイモンズ理論
• 積分可能なシステム
• 古典的なゴーダンモデル
• 反自己双対のヤン・ミルズ方程式

外部リンク

• nLabページ

参考文献

1. ネクラーソフ, ニキータ (1996年11月).四次元正則理論(PDF) (論文).プリンストン大学.
2. コステロ、ケビン (2013). 「超対称ゲージ理論とヤンジアン」. arXiv : 1303.2632 [ hep-th ].
3. コステロ, ケビン; ウィッテン, エドワード; 山崎正人 (2018). 「ゲージ理論と積分可能性, I」.国際中国数学者会議のお知らせ. 6 (1): 46– 119. arXiv : 1709.09993 . doi : 10.4310/ICCM.2018.v6.n1.a6 .
4. コステロ, ケビン; ウィッテン, エドワード; 山崎正人 (2018). 「ゲージ理論と積分可能性 II」.国際中国数学者会議のお知らせ. 6 (1): 120– 146. arXiv : 1802.01579 . doi : 10.4310/ICCM.2018.v6.n1.a7 . S2CID 119592177 . 
5. コステロ, ケビン; 山崎正人 (2019). 「ゲージ理論と積分可能性 III」. arXiv : 1908.02289 [ hep-th ].
6. Witten, Edward (2016). 「ゲージ理論からの積分可能格子モデル」. arXiv : 1611.00592 [ hep-th ].
7. ドナルドソン、サイモン(2011).リーマン面(PDF) .オックスフォード大学出版局. pp. 88, 命題16. ISBN 978-0-19-852639-1。
8. Vicedo, Benoît (2020年8月4日). 「二面体アフィンゴーダンモデルとしての積分可能体理論について」 .国際数学研究通知. 2020 (15): 4513– 4601. arXiv : 1701.04856 . doi : 10.1093/imrn/rny128 .
9. Vicedo, Benoît (2021年2月24日). 「4次元チャーン・サイモンズ理論とアフィン・ゴーダンモデル」 . Letters in Mathematical Physics . 111 (1) 24. Bibcode : 2021LMaPh.111...24V . doi : 10.1007/s11005-021-01354-9 . ISSN 1573-0530 . S2CID 254800771 .  
10. Bittleston, Roland; Skinner, David (2023年2月22日). 「ツイスター、ASDヤン＝ミルズ方程式、そして4次元チャーン＝サイモンズ理論」. Journal of High Energy Physics . 2023 (2): 227. arXiv : 2011.04638 . Bibcode : 2023JHEP...02..227B . doi : 10.1007/JHEP02(2023)227 . S2CID 226281535 .