戸田場の理論

数学と物理学、特に場の理論と偏微分方程式の研究において、戸田守一にちなんで名付けられた戸田場の理論は、リー代数と特定のラグランジアンの選択によって規定される。^[¹^]

処方

リー代数の階数を、つまり代数のカルタン部分代数が次元を持つように固定すると、ラグランジアンは次のように書ける。 $r$ $r$

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left\langle \partial _{\mu }\phi ,\partial ^{\mu }\phi \right\rangle -{\frac {m^{2}}{\beta ^{2}}}\sum _{i=1}^{r}n_{i}\exp(\beta \langle \alpha _{i},\phi \rangle ).$

背景時空は2次元ミンコフスキー空間であり、空間的座標と時間的座標を持つ。ギリシャ語の添え字は時空座標を示す。 $x$ $t$

根基底の何らかの選択に対して、は番目の単純根である。これはカルタン部分代数の基底を与え、と同一視することを可能にする。 $\alpha _{i}$ $i$ $\mathbb {R} ^{r}$

すると、場の内容はスカラー場の集合となり、基礎となる時空のローレンツ変換によって自明に変換されるという意味でスカラーとなります。 $r$ $\phi _{i}$

内積は、キリング形式をカルタン部分代数に制限するものです。 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$

これらは、 Kac ラベルまたはDynkin ラベルと呼ばれる整数定数です。 $n_{i}$

物理定数は質量と結合定数です。 $m$ $\beta$

戸田場の理論の分類

戸田体理論は、関連するリー代数に応じて分類されます。

戸田体理論は通常、有限リー代数を持つ理論を指す。リー代数がアフィンリー代数である場合、（ φ の分離成分を取り除いた後に）アフィン戸田体理論と呼ばれる。リー代数が双曲型である場合、双曲型戸田体理論と呼ばれる。

戸田場の理論は積分可能なモデルであり、その解はソリトンを記述します。

例

リウヴィル体理論はA ₁カルタン行列に関連付けられており、これはカルタン行列によるリー代数の分類におけるリー代数に対応する。この代数は単一の単純根のみを持つ。 ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {su}}(2)$

シン・ゴードンモデルは、一般化されたカルタン行列を持つアフィン戸田場理論である。

{\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}

φ の分離する成分を投影した後の β は正の値になります。

サイン・ゴードンモデルは、同じカルタン行列を持つが虚数βを持つモデルである。このカルタン行列はリー代数に対応する。これは単一の単純根とコクセターラベルを持つが、ラグランジアンはアフィン理論に合わせて修正されており、アフィン根とコクセターラベルも存在する。をと展開できるが、アフィン根についてはであるため、成分は分離する。 ${\mathfrak {su}}(2)$ $\alpha _{1}=1$ $n_{1}=1$ $\alpha _{0}=-1$ $n_{0}=1$ $\phi$ $\phi _{0}\alpha _{0}+\phi _{1}\alpha _{1}$ $\langle \alpha _{0},\alpha _{0}\rangle =0$ $\phi _{0}$

和はです。が純虚数で、実数が正で、一般性を失うことなく正であれば、これはです。ラグランジアンはで、これはサインゴードンラグランジアンです。 $\sum _{i=0}^{1}n_{i}\exp(\beta \alpha _{i}\phi )=\exp(\beta \phi )+\exp(-\beta \phi ).$ $\beta$ $\beta =ib$ $b$ $2\cos(b\phi )$ ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi +{\frac {2m^{2}}{b^{2}}}\cos(b\phi ),$