アニオン

物理学 において、エニオンは準粒子の一種であり、これまで2次元系でのみ観測されてきた。3次元系では、フェルミオンとボソンの2種類の素粒子のみが観測されている。エニオンはフェルミオンとボソンの中間の統計的性質を持つ。[ 1 ]一般に、 2つの同一粒子を交換する操作は、全体的な位相シフトを引き起こす可能性があるが、観測可能なものには影響を与えない。エニオンは一般的にアーベル型と非アーベル型に分類される。2020年に2つの実験で検出されたアーベル型エニオン[ 2 ]は、分数量子ホール効果において主要な役割を果たす。

導入

大規模多体系の統計力学は、マクスウェル・ボルツマン統計によって記述される法則に従います。量子統計は、フェルミオンとボソンと呼ばれる2種類の粒子の異なる挙動のために、より複雑になります。しかし、2次元系には、エニオンと呼ばれる3種類目の粒子が存在します。

私たちが住む三次元の世界には、互いに反発し合う「フェルミオン」と、互いにくっつき合う「ボソン」という2種類の粒子しかありません。よく知られているフェルミオンは電気を運ぶ電子、ボソンは光を運ぶ光子です。しかし、二次元の世界には、フェルミオンやボソンのどちらにも似ていない、別の種類の粒子「エニオン」が存在します。

—「ついに、エニオンがその特異な量子特性を明らかにする」、アールト大学プレスリリース、2020年4月[ 3 ]

2 次元の世界では、2 つの同一のエニオンが、3 次元の物理学では起こり得ない方法で場所を交換すると、その波動関数が変化します。

...二次元では、同一の粒子を二度交換することは、それらをそのままにしておくことと同義ではありません。二度交換した後の粒子の波動関数は、元のものと異なる可能性があります。このような異常な交換統計を持つ粒子は、エニオンとして知られています。一方、三次元では、粒子を二度交換しても波動関数は変化しないため、考えられるのはボソンとフェルミオンの2つだけです。ボソンは一​​回の交換後も波動関数は変化せず、フェルミオンは交換によって波動関数の符号のみが変化します。

— キリル・シュテンゲル、「誰にでも家はあるか？」ネイチャー・フィジックス[ 4 ]

同一の粒子を交換する、あるいはある粒子を別の粒子の周りを回らせるこのプロセスは、「編み込み」と呼ばれます。2つのエニオンを編み込むことで、その出来事の歴史的記録が作成されます。これは、それらの波動関数の変化が編み込みの数を記録するためです。[ 5 ]

マイクロソフトは、トポロジカル量子コンピューティングの潜在的な基盤として、エニオンに関する研究に投資してきました。[ 6 ]エニオンは量子コンピューティングにおいてメモリの一形態として役立つ可能性があります。[ 6 ]エニオンが互いに周回する（「編み込み」する）ことで、他の既知の量子コンピューティング技術よりも堅牢な方法で情報をエンコードできます。[ 7 ]しかし、量子コンピューティングへの投資のほとんどは、エニオンを使用しない手法に基づいています。[ 7 ]

歴史

物理学における多くの深い考えと同様に、エニオンの位相的な基盤はディラックにまで遡ることができます。

— ビーデンハーン他『アニオンの祖先』[ 8 ]

1977年、オスロ大学の理論物理学者ジョン・マグネ・レイナスとヤン・ミルハイムは、粒子をフェルミオンとボソンに分類するという従来の分類は、粒子が2次元のみで運動する場合には当てはまらないことを示した。[ 9 ]ボソンでもフェルミオンでもない仮想粒子は、これまで予想されていなかった多様な特性を示すことが予想される。1982年、フランク・ウィルチェクは2次元における準粒子の分数統計を研究した2つの論文を発表し、置換による位相シフトが任意の値を取り得ることを示すために「エニオン」と名付けた。[ 10 ]

ダニエル・ツィとホルスト・シュテルマーは1982年に分数量子ホール効果を発見した。ウィルチェクによって開発された数学は、ハーバード大学のベルトラン・ハルペリンがその側面を説明するのに有用であることが証明された。[ 11 ]フランク・ウィルチェク、ダン・アロヴァス、ロバート・シュリーファーは1985年に明示的な計算によってこの主張を検証し、これらのシステムに存在する粒子は実際にはエニオンであると予測した。[ 12 ] [ 13 ]

アーベルアニオン

量子力学および一部の古典的な確率システムでは、区別できない粒子には、粒子iの状態を粒子 jと(象徴的に)交換ψ私↔ψj のために 私≠j{\displaystyle \psi _{i}\leftrightarrow \psi _{j}{\text{ for }}i\neq j}しても、測定可能に異なる多体状態にはならないという特性 があります。

例えば、量子力学系において、区別できない2つの粒子を持つ系があり、粒子1が状態⁠ ⁠ψ1{\displaystyle \psi_{1}}、粒子2が状態⁠ ⁠ψ2{\displaystyle \psi_{2}}にある場合、ディラック記法では状態⁠ ⁠|ψ1ψ2⟩{\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle }となります。ここで、2つの粒子の状態を交換すると、系の状態は⁠ ⁠となります。これらの2つの状態は測定可能な差を持たないため、位相係数 を除いて同じベクトルになるはずです。 |ψ2ψ1⟩{\displaystyle \left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle }

|ψ1ψ2⟩＝e私θ|ψ2ψ1⟩。{\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle .}

ここで、⁠ ⁠e私θ{\displaystyle e^{i\theta}}は位相因子です。3次元以上の空間では、位相因子は⁠ ⁠ ⁠1{\displaystyle 1}または⁠ ⁠−1{\displaystyle -1}です。したがって、素粒子は、位相因子が⁠ ⁠−1{\displaystyle -1}であるフェルミオン、または位相因子が⁠ ⁠1{\displaystyle 1}であるボソンのいずれかです。これら2つのタイプは異なる統計的挙動を示します。フェルミオンはフェルミ–ディラック統計に従いますが、ボソンはボーズ–アインシュタイン統計に従います。特に、位相因子は、フェルミオンがパウリの排他原理に従う理由です。2つのフェルミオンが同じ状態にある場合、次のようになります。

|ψψ⟩＝−|ψψ⟩。{\displaystyle \left|\psi \psi \right\rangle =-\left|\psi \psi \right\rangle .}

状態ベクトルはゼロでなければなりません。つまり、正規化できず、非物理的です。

しかし、2次元システムでは、フェルミ・ディラック統計とボーズ・アインシュタイン統計の間を連続的に変化する準粒子が観測され、これは1977年にオスロ大学のジョン・マグネ・レイナスとヤン・ミルハイムによって初めて示された。 [ 14 ] 2粒子の場合、これは次のように表される。

|ψ1ψ2⟩＝e私θ|ψ2ψ1⟩、{\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle ,}

ここで、 ⁠ ⁠ はe私θ{\displaystyle e^{i\theta}}⁠ ⁠−1{\displaystyle -1}や⁠ ⁠1{\displaystyle 1}以外の値を取ることもできます。この略記法では表記法が多少乱用されていることに注意することが重要です。実際には、この波動関数は多値になる可能性があり、通常は多値です。この式が実際に意味するのは、粒子 1 と粒子 2 が、それぞれが他方の周りを反時計回りに半回転する過程で交換されると、2 粒子システムは、複素単位ノルム位相係数e iθが乗算されることを除いて、元の量子波動関数に戻ります。逆に、時計回りの半回転では、波動関数にe − iθが乗算されます。このような理論は明らかに、時計回りと反時計回りの方向が明確に定義されている 2 次元でのみ意味をなします。

θ = πの場合、フェルミ＝ディラック統計（e iπ = −1 ）が回復し、 θ = 0（またはθ = 2 π ）の場合、ボーズ＝アインシュタイン統計（e 2 πi = 1）が回復します。その中間では、異なる現象が起こります。フランク・ウィルチェクは1982年にこのような準粒子の挙動を研究し、粒子が交換された際に任意の位相をとることができることから、それらを記述するために「エニオン」という用語を造りました。[ 15 ]ボソンやフェルミオンとは異なり、エニオンは、同じ方法で2回入れ替えられた場合（例えば、エニオン1とエニオン2を互いの周りを半時計回りに回転させて場所を入れ替え、次に再び互いの周りを半時計回りに回転させて元の位置に戻った場合）、波動関数は必ずしも同じではなく、むしろ一般に何らかの複素位相（この例ではe 2 iθ）が乗算されるという特殊な性質を持っています。

粒子スピン量子数sでθ = 2πsを使用することもできます。ここでsはボソンの場合は整数、フェルミオンの場合は 半整数です。

e私θ＝e2私πs＝（−1）2s、{\displaystyle e^{i\theta }=e^{2i\pi s}=(-1)^{2s},}

または

|ψ1ψ2⟩＝（−1）2s|ψ2ψ1⟩。{\displaystyle |\psi _{1}\psi _{2}\rangle =(-1)^{2s}|\psi _{2}\psi _{1}\rangle .}

エッジにおいて、分数量子ホール効果エニオンは1次元空間内での移動に制限されます。1次元エニオンの数学的モデルは、上記に示した交換関係の基礎となります。

3次元位置空間では、フェルミオンとボソンの統計演算子（それぞれ-1と+1）は、波動関数の空間に作用する順列群（N個の区別できない粒子のS N 個）の1次元表現に過ぎません。同様に、2次元位置空間では、アーベル・エニオン統計演算子（e iθ ）は、波動関数の空間に作用する組紐群（N個の区別できない粒子のB N 個）の1次元表現に過ぎません。非アーベル・エニオン統計は、組紐群の高次元表現です。エニオン統計は、順列群の高次元表現である波動関数を持つ粒子の統計を記述する準統計と混同してはいけません。[ 16 ]：22

位相同値性

経路のホモトピー類（すなわち、組紐上の同値性の概念）が重要であるという事実は、より微妙な洞察を示唆している。これは、時空における始点から終点までのすべての経路が適切な位相因子を寄与するというファインマン経路積分から生じる。ファインマン経路積分は、時間を離散化するタイムスライシング[ 17 ]と呼ばれる手法を用いて伝播関数を展開することで得られる。

非ホモトピック経路では、あるタイムスライスの任意の点から次のタイムスライスの任意の点へ移動することはできません。これは、経路のホモトピック同値類が異なる重み係数を持つと考えることができることを意味します。[ 18 ]

したがって、位相的な同値性の概念は、ファインマン経路積分の研究から生まれたものであることがわかる。[ 16 ]：28

同値性のホモトピック概念が「正しい」ものであることをより明確に理解するには、アハラノフ・ボーム効果を参照してください。

実験

半導体デバイスのラフリン準粒子干渉計走査型電子顕微鏡写真。4つの薄い灰色の領域は、電子が枯渇していないAu / Tiゲートである。青い曲線は、これらの電子の等電位線から得られるエッジチャネルである。濃い灰色の曲線は、電子が枯渇したエッチングされたトレンチ、青い点はトンネル接合、黄色の点はオーミック接触である。デバイス内の電子は2次元平面内に閉じ込められている。[ 19 ]

2020年、2つの科学者チーム（パリとパデュー大学のチーム）が、エニオンの存在を示す新たな実験的証拠を発表しました。どちらの実験も、ディスカバー誌の2020年版「科学の現状」特集号で特集されました。[ 2 ]

2020年4月、パリ高等師範学校（École normale supérieure）とナノサイエンス・ナノテクノロジーセンター（C2N）の研究者らは、超小型の「粒子衝突型加速器」を用いたエニオンの実験結果を報告した。彼らは、エニオンの理論予測と一致する特性を検出した。[ 1 ] [ 20 ] [ 21 ]

2020年7月、パデュー大学の科学者たちは、異なる装置を用いてエニオンを検出した。研究チームの干渉計は、ガリウムヒ素とアルミニウムガリウムヒ素で作られた、迷路のようなエッチング加工されたナノ構造を通して電子を誘導する。「私たちのエニオンの場合、編み込みによって生成された位相は2π/3でした」と彼は述べた。「これはこれまで自然界で観測されたものとは異なります。」[ 22 ] [ 23 ]

2023年現在でも、この分野は活発に研究されています。Google Quantum AIは、超伝導プロセッサを使用して、2022年10月にAndersenらによるarXivの記事で、非アーベル的エニオンのような粒子の最初の編組について報告しました。[ 24 ]これは後にNatureに掲載されました。[ 25 ] 2023年5月にリリースされたarXivの記事で、Quantinuumはトラップイオンプロセッサを使用した非アーベル的編組について報告しました。[ 26 ]

2025年5月、インスブルック大学の研究者たちは1次元量子系におけるエニオンを観測した。[ 27 ]

非可換アニオン

物理学における未解決問題
トポロジカル秩序は非ゼロ温度で安定するか？
物理学におけるさらなる未解決問題

1988 年、Jürg Fröhlich はスピン統計定理のもとで粒子交換がモノイド的（非アーベル統計）であることが妥当であることを示した。 [ 28 ]特に、これはシステムがなんらかの退化を示し、システムの複数の異なる状態が同じ粒子配置を持つ場合に達成できる。この場合、粒子の交換は位相変化に寄与するだけでなく、システムを同じ粒子配置で異なる状態に送ることもできる。粒子交換は、この退化した状態のサブスペース上の線形変換に対応する。退化がない場合、このサブスペースは 1 次元であるため、このような線形変換はすべて交換可能である（位相係数による乗算にすぎないため）。退化があり、このサブスペースがより高い次元である場合、これらの線形変換は交換する必要がなくなる（行列の乗算が交換しないのと同様）。

グレゴリー・ムーア、ニコラス・リード、シャオガン・ウェンは、非アーベル統計が分数量子ホール効果（FQHE）で実現できることを指摘した。[ 29 ] [ 30 ]当初、非アーベルエニオンは一般に数学的な好奇心と考えられていたが、アレクセイ・キタエフが非アーベルエニオンを使ってトポロジカル量子コンピュータを構築できることを示したことで、物理学者たちはその発見に向けて動き始めた。2012年現在、ν = 5/2 FQHE状態の研究では有望なヒントが出てきているものの、非アーベルエニオンの存在を決定的に証明した実験はない。[ 31 ] [ 32 ]非アーベルエニオンの実験的証拠は、まだ決定的ではなく、現在議論の的となっているものの、[ 33 ] 2013年10月に発表されました。[ 34 ]最近の研究では、トラップイオンプロセッサ上での非アーベル位相秩序とエニオンの生成が主張されており[ 26 ]、超伝導プロセッサにおけるグラフ頂点の非アーベル編組の実証も行われています。[ 25 ]

エニオンの融合

2つのフェルミオン（例えば、両方ともスピン1/2）を複合ボソン（スピンの総和が0と1の重ね合わせ）として見ることができるのと同様に、2つ以上のエニオンを合わせると複合エニオン（ボソンまたはフェルミオンのいずれか）が構成されます。複合エニオンは、その構成要素の融合の結果であると言われています。

⁠ ⁠それぞれが個別の統計北{\displaystyle N}⁠ ⁠α{\displaystyle \alpha}を持つ同一のアーベルエニオン(つまり、2 つの個別のエニオンが反時計回りに断熱交換されると、システムが位相 ⁠ ⁠ を取得する)がすべて融合した場合、それらは一緒に統計 ⁠ ⁠ を持ちます。これe私α{\displaystyle e^{i\alpha}}は、北2α{\displaystyle N^{2}\alpha } 2 つの複合エニオンが互いの周りを反時計回りに回転させると、それぞれが位相⁠ ⁠北2{\displaystyle N^{2}}を寄与する個別のエニオンのペア (最初の複合エニオンに 1 つ、2 番目の複合エニオンに 1 つ) が存在することに注目することで確認できますe私α{\displaystyle e^{i\alpha}}。同様の分析は、同一でないアーベルエニオンの融合にも適用されます。複合エニオンの統計は、そのコンポーネントの統計によって一意に決定されます。

非可換アニオンはより複雑な融合関係を持つ。一般的に、非可換アニオンを含む系には、その統計ラベルがその構成要素の統計ラベルによって一意に決定されない複合粒子が存在し、量子重ね合わせとして存在する（これは、スピン1/2を持つことが知られている2つのフェルミオンが、合計スピン1と0の量子重ね合わせ状態にあるのと完全に類似している）。複数のアニオンすべての融合の全体統計が既知であっても、それらのアニオンのいくつかのサブセットの融合には依然として曖昧性があり、それぞれの可能性は固有の量子状態を持つ。これらの多重状態は、量子計算を行うことができるヒルベルト空間を提供する。 [ 35 ]

位相的基底

反時計回りの回転
時計回りの回転
2+1次元時空における2つの粒子の回転による交換。回転は等価ではない。なぜなら、一方が他方に変形することはできないからである（世界線が平面から離れない限り、これは2次元空間では不可能である）。

2次元を超える次元では、スピン統計定理によれば、区別できない粒子からなる任意の多粒子状態は、ボーズ＝アインシュタイン統計またはフェルミ＝ディラック統計のいずれかに従わなければならない。任意のd  > 2に対して、リー群SO( d ,1) （ローレンツ群を一般化したもの）とポアンカレ群( d ,1)は、 Z 2を第一ホモトピー群とする。巡回群Z 2は2つの要素から構成されるため、残る可能性は2つだけである。（詳細はこれより複雑であるが、これが重要な点である。）

状況は2次元では変化する。ここではSO(2,1)、そしてポアンカレ(2,1)の第一ホモトピー群はZ （無限巡回）である。これはSpin(2,1)が普遍被覆ではない、つまり単連結ではないことを意味する。詳細には、特殊直交群SO(2,1)の射影表現は、SO(2,1)の線型表現、あるいはその二重被覆であるスピン群Spin(2,1)からは生じない。エニオンは、荷電粒子によるスピン偏極の均等相補表現である。

この概念は非相対論的系にも適用されます。ここで重要なのは、空間回転群SO(2)が無限第一ホモトピー群を持つという点です。

この事実は、結び目理論でよく知られている組紐群にも関連しています。この関係は、2次元において2つの粒子の順列群がもはや対称群S 2（2つの要素を持つ）ではなく、組紐群B 2（無限個の要素を持つ）であるという事実を考慮すると理解できます。重要な点は、一方の組紐がもう一方の組紐に巻き付くことができ、この操作は時計回りにも反時計回りにも、無限に繰り返すことができるということです。

量子コンピューティングにおける安定性とデコヒーレンスの問題に対する全く異なるアプローチは、準粒子であるエニオンを糸として使い、組紐理論に基づいて安定した量子論理ゲートを形成するトポロジカル量子コンピュータを作成することである。[ 36 ] [ 37 ]

高次元への一般化

点粒子としての分数化励起は、2+1次元時空においてはボソン、フェルミオン、またはエニオンとなり得る。3+1次元以上の高次元時空においては、点粒子はボソンかフェルミオンのいずれかしか取り得ないことが知られている。しかし、ループ状（あるいは弦状）あるいは膜状の励起は、分数化統計を持つ拡張された物体である。

現在の研究では、3+1次元時空における位相秩序に対してループやストリングのような励起が存在し、その多重ループ/ストリング編組統計が3+1次元位相秩序を識別するための重要な特徴であることが示されています。 [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] 3+1次元位相秩序の多重ループ/ストリング編組統計は、4次元時空における特定の位相量子場理論のリンク不変量によって捉えることができます。 [ 40 ]口語的に説明すると、拡張されたオブジェクト（ループ、ストリング、膜など）は、長距離エンタングルメントシステムにおいて、3+1次元および高次元時空で潜在的にエニオンである可能性があります。

参照

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参考文献

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