VIIクラスの表面

数学において、 クラスVIIの曲面は、 (Kodaira 1964 , 1968 )によって研究された、小平次元が−∞で第一ベッチ数が1である非代数的複素曲面である。クラスVIIの極小曲面（自己交差が−1である有理曲線を持たない曲面）は、クラスVII ₀の曲面と呼ばれる。すべてのクラスVII曲面は、唯一の極小クラスVII曲面と双有理的であり、この極小曲面から有限回点を分解することで得られる。

「クラス VII」という名前は、（Kodaira 1964、定理21）に由来しており、これは極小曲面を I ₀から VII ₀までの7つのクラスに分けたものである。しかし、Kodairaのクラス VII _{0 は}、小平次元が−∞であるという条件ではなく、幾何学的種数が0であるという条件を持っていた。その結果、彼のクラス VII _{0には、二次}小平曲面など、小平次元が−∞ではないため、もはやクラス VII とは見なされない他の曲面も含まれていた。クラス VII の極小曲面は、（ Kodaira 1968 、定理55）の曲面一覧で番号が「7」のクラスである。

不変量

不規則性qは 1、 h ^1,0 = 0 です。すべての多属は0 です。

ホッジダイヤモンド:

		1
	0		1
0		b ₂		0
	1		0
		1

例

ホップ面は、C ² −(0,0) を自由に作用する離散群Gで割ったものであり、第二ベッティ数はゼロである。最も単純な例は、G を整数とし、2 のべき乗の乗法として作用させるものである。対応するホップ面はS ¹ × S ³と微分同相である。

井上曲面は、 C × Hで表わされる普遍被覆を持つ特定のクラス VII 曲面であり、Hは上半平面である（したがって、井上曲面はこれを自己同型群で割ったものである）。井上曲面は第二ベッチ数がゼロである。

井上–ヒルツェブルッフ面、榎木面、加藤面は、 b ₂ > 0 の VII 型曲面の例です。

分類と全体球殻

第二ベッティ数b ₂ =0の極小クラス VII 曲面は、ボゴモロフ ( 1976 , 1982 )によって分類されており、ホップ面または井上面のいずれかである。b 2 =1 の曲面は、_曲面が曲線を持つという追加の仮定の下で中村 (1984b)によって分類され、これは後にテレマン (2005)によって証明された。

大域球殻（Kato 1978 ）とは、 C ²の球面の近傍と双正則な近傍を持つ、連結補曲面上の滑らかな3次元球面である。大域球殻予想は、正の第二ベッティ数を持つすべてのVII _0系曲面が大域球殻を持つというものである。大域球殻を持つ多様体はすべてKato面であり、これらは十分に理解されているため、この予想の証明はVII系曲面の分類につながると考えられる。

正の第二ベッティ数b ₂を持つクラス VII 曲面は、最大でb _{2 本の}有理曲線を持ち、大域球殻を持つ場合はちょうど b 2 本の有理曲線を持つ。逆に、ジョルジュ・ドゥロウスキー、カール・オエリェクラウス、マテイ・トマ ( 2003 ) は、正の第二ベッティ数b ₂を持つ極小クラス VII 曲面がちょうど b 2 本の有理曲線を持つ場合_、大域球殻を持つことを示した。

第二ベッティ数がゼロであるVII型曲面の場合、一次ホップ面は大域球殻を持つが、二次ホップ面と井上面は基本群が無限巡回ではないため大域球殻を持たない。後者の曲面上の点を爆発させると、球殻を持たない正の第二ベッティ数を持つ非極小クラスVII曲面が得られる。

参考文献

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