局所コンパクト群の群代数

関数解析および関連する数学分野において、群代数（ぐんたいかく）とは、局所コンパクト群に作用素代数（より一般的にはバナッハ代数）を割り当てる様々な構成のいずれかであり 、その代数の表現は群の表現と関連する。したがって、それらは離散群に関連付けられた 群環に類似している。

コンパクト台を持つ連続関数の代数C _c ( G )

Gが局所コンパクト・ハウスドルフ群であるとき、Gは本質的に唯一の左不変可算加法ボレル測度μを持ち、これはハール測度と呼ばれる。ハール測度を用いることで、G上のコンパクト台を持つ複素数値連続関数の空間C _c ( G ) 上で畳み込み演算を定義することができる。そして、 C _c ( G ) には様々なノルムを与えることができ、その完備化は群代数となる。

畳み込み演算を定義するために、fとgをC _c ( G )の2つの関数とする。Gのtに対して、次のように定義する 。

${\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).}$

が連続であるという事実は、優勢収束定理から直接得られる。また、 ${\displaystyle f*g}$

${\displaystyle \operatorname {支持係数} (f*g)\subseteq \operatorname {支持係数} (f)\cdot \operatorname {支持係数} (g)}$

ここでドットはGの積を表す。C _c ( G ) には次式で定義される自然な反転もある。

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Delta (s^{-1})}$

ここで Δ はG上のモジュラー関数である。この反転により、それは*-代数 となる。

定理。ノルムの場合：

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|\,d\mu (s),}$

C _c ( G ) は近似恒等式を持つ混成ノルム代数になる。

近似恒等関数は、コンパクト集合からなる恒等関数の近傍基数に基づいてインデックス付けできる。実際、Vが恒等関数のコンパクト近傍である場合、f _VをVに支えられた非負連続関数とし、

${\displaystyle \int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.}$

すると、{ f _V } _Vは近似恒等式となる。群代数は、単なる近似恒等式ではなく、群上の位相が離散位相である場合に限り、恒等式を持つ。

離散群の場合、C _c ( G )は複素群環C [ G ]と同じものであることに注意してください。

群代数の重要性は、次に示すように Gのユニタリ表現理論を捉えていることである。

定理。Gを局所コンパクト群とする。Uがヒルベルト空間H上のGの強連続ユニタリ表現であるとき、

${\displaystyle \pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)}$

はノルム代数C _c ( G )の非退化有界*-表現である。写像

${\displaystyle U\mapsto \pi _{U}}$

は、 G の強連続ユニタリ表現の集合とC _c ( G )の非退化有界*-表現との間の一対一である。この一対一はユニタリ同値性と強包含性を満たす。特に、π _Uが既約となるのは、 Uが既約となる場合のみである。

ヒルベルト空間_Hπ上のC _c ( G )の表現πの非退化 とは、

${\displaystyle \left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}}$

はH _πにおいて稠密である。

畳み込み代数L ¹ ( G )

測度論の標準定理は、 L ¹ ( G ) ノルムにおけるC _c ( G )の完備化が、ハール測度に関して積分可能な関数の同値類の空間L ¹ ( G )と同型であるということであり、ここで通常どおり、2 つの関数は、ハール測度ゼロの集合上でのみ異なる場合にのみ、同値であるとみなされる。

定理. L ¹ ( G )は、上で定義した畳み込み積と畳み込みを持ち、L ^{1ノルムを持つ}バナッハ*-代数である。L 1 ( G )^は有界近似恒等式も持つ。

群C*-代数C* ( G )

C [ G ] を離散群Gの群環とする 。

局所コンパクト群Gに対して、 Gの群C*-代数C* ( G ) はL ¹ ( G )の C*-包絡代数、すなわち最大 C*-ノルムに関する C _c ( G )の完備化として定義されます。

${\displaystyle \|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|,}$

ここでπはヒルベルト空間上のC _c ( G )の非退化*-表現すべてにわたって存在する。Gが離散的な場合、三角不等式から、任意のπに対して次式が成り立つ。

${\displaystyle \|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},}$

したがって、規範は明確に定義されています。

定義から、Gが離散群である場合、C* ( G )は次の普遍的性質を持つことがわかります。C [ G ] から何らかのB ( H )(何らかのヒルベルト空間H上の有界作用素のC*-代数)への任意の*-準同型は、包含写像によって因数分解されます。

${\displaystyle \mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).}$

縮約群C*-代数C _r * ( G )

被約群C*-代数C _r * ( G )は、ノルムに関する C _c ( G )の完備化である。

${\displaystyle \|f\|_{C_{r}^{*}}:=\sup \left\{\|f*g\|_{2}:\|g\|_{2}=1\right\},}$

どこ

${\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{G}|f|^{2}\,d\mu }}}$

はL ^{2ノルムで}ある。L 2ノルムに関するC _c ( G )の完備化はヒルベルト空間となるので、C _r *ノルムはfとの畳み込みによってL ² ( G )に作用する有界作用素のノルムであり、したがってC*ノルムである。

同様に、C _r * ( G )はℓ ² ( G )上の左正規表現の像によって生成されるC*-代数である。

一般に、C _r * ( G ) はC* ( G )の商である。被約群C*-代数は、上で定義した非被約群C*-代数と同型であるためには、 Gが従属的であることが必要である。

群に関連するフォン・ノイマン代数

Gの群フォン・ノイマン代数W* ( G )はC* ( G )の包絡フォン・ノイマン代数である。

離散群Gに対して、 G が直交基底となるヒルベルト空間ℓ ² ( G )を考えることができる。Gはℓ ² ( G ) 上の基底ベクトルの置換によって作用素となるので、複素群環C [ G ] をℓ ² ( G ) 上の有界作用素環の部分代数と同一視することができる。この部分代数の弱閉包NGはフォン・ノイマン代数である。

NGの中心は、共役類が有限であるGの元によって記述できる。特に、Gの単位元がその性質を持つ唯一の群元である場合（つまり、Gが無限共役類の性質を持つ場合）、 NGの中心は単位元の複素倍数のみで構成される。

NGが超有限タイプ II ₁因子と同型であるためには、Gが可算、従順、無限共役類特性を持つ必要があります。

参照

• グラフ代数
• 発生代数
• 局所コンパクト群のヘッケ代数
• パス代数
• 群代数
• ステレオタイプ代数
• ステレオタイプ群代数
• ホップ代数

注記

参考文献

• ラング、S. (2002).代数学. 大学院数学テキスト. シュプリンガー. ISBN 978-1-4613-0041-0。
• Vinberg, E. (2003年4月10日). 『代数学講座』 . 『数学大学院研究』. 第56巻. アメリカ数学会. doi : 10.1090/gsm/056 . ISBN 978-0-8218-3413-8。
• ディクスミア、ジャック (1982). C*-代数. 北ホラント. ISBN 978-0-444-86391-1。
• キリロフ、アレクサンドル A. (1976)。表現理論の要素。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 220.シュプリンガー・フェルラーク。土井: 10.1007/978-3-642-66243-0。ISBN 978-3-642-66245-4。
• ルーミス、リン・H. (2011年7月19日). 『抽象調和解析入門 (ドーバー数学ブックス)』リン・H・ルーミス著 (2011年) ペーパーバック. Dover Publications. ISBN 978-0-486-48123-4。
• AI Shtern (2001) [1994]、「局所コンパクト群の群代数」、数学百科事典、EMSプレスこの記事にはPlanetMathの Group $C^*$-algebra の資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution/Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。