ハーディスペース

複素解析において、ハーディ空間（またはハーディ類）は単位円板または上半平面上の正則関数の空間である。これらはリース・フリジェス（Riesz 1923 ）によって導入され、論文（Hardy 1915 ）にちなんでGH Hardyにちなんで名付けられた。実解析において、ハーディ空間は実n空間上の超関数の空間であり、（超関数の意味で）正則関数の境界値として定義される。ハーディ空間はL ^p空間と関連がある。^{[ 1 ]}にとってこれらのハーディ空間は空間のサブセットであるが、 にとっての空間には望ましくない特性があり、ハーディ空間の方がはるかに振る舞いが良い。したがって、空間は空間の拡張と考えることができる。^{[ 2 ]}${\displaystyle H^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle H^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

ハーディ空間は、数学的解析自体だけでなく、制御理論（例えば、方法）や散乱理論などの学際的な分野でも、さまざまな用途に使用されています。 ${\displaystyle H^{\infty}}$

意味

ユニットディスク上

のハーディ空間は、開単位円板上の正則関数のクラスであり、 を満たす。 の場合、これはハーディ空間 -ノルムの定義と一致し、 で表される。${\displaystyle H^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ $${\displaystyle \sup _{0\,\leqslant \,r\,<\,1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|^{p}\;\mathrm {d} \theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}.}$

この空間は単位円板上の有界正則関数のベクトル空間として定義され、ノルムは ${\displaystyle H^{\infty }}$

${\displaystyle {\|f\|}_{H^{\infty }}=\sup _{|z|<1}\left|f(z)\right|.}$

の場合、クラスはのサブセットであり、-ノルムは とともに増加します（ヘルダーの不等式の結果、確率測度、つまり全質量が 1 である測度では -ノルムが増加することとなります）（Rudin 1987、定義 17.7）。 ${\displaystyle 0<p\leq q\leq \infty }$ ${\displaystyle H^{q}}$ ${\displaystyle H^{p}}$ ${\displaystyle H^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle H^{2}}$ はヒルベルト空間であり、ユニタリ写像を介してとユニタリ同値である。^{[ 3 ]}${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\leftrightarrow (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$

単位円上

ハーディ空間は、単位円上の複素L ^p空間の閉ベクトル部分空間とみなすこともできる。この関係は、次の定理によって示される（Katznelson 1976、Thm 3.8）： が与えられているとき、 ほぼすべての および に対して、 となるような放射状極限が存在する。が で 変化するとき、すべての極限関数 からなるのベクトル部分空間 を とすると、 p ≥ 1に対して、 となる （Katznelson 1976）。 ${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$ ${\displaystyle f\in H^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ $${\displaystyle {\tilde {f}}\!\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}\,f\!\left(re^{i\theta }\right)}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\in L^{p}(\mathbb {T} )}$ $${\displaystyle {\|{\tilde {f}}\|}_{L^{p}}={\|f\|}_{H^{p}}.}$$ ${\displaystyle H^{p}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H^{p}}$

${\displaystyle g\in H^{p}\left(\mathbb {T} \right){\text{ if and only if }}g\in L^{p}\left(\mathbb {T} \right){\text{ and }}{\hat {g}}_{n}=0{\text{ for all }}n<0,}$

ここで、はとして定義される フーリエ係数です。 空間はの閉部分空間です。はバナッハ空間（ に対して）なので、 もバナッハ空間です。 ${\displaystyle {\hat {g}}_{n}}$ $${\displaystyle {\hat {g}}_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi ,\quad \forall n\in \mathbb {Z} .}$$ ${\displaystyle H^{p}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle H^{p}(\mathbb {T} )}$

上記は逆の展開も可能である。関数（ p ≥ 1）が与えられたとき、ポアソン核P _rを用いて単位円上の（調和）関数fを復元することができる。 ${\displaystyle {\tilde {f}}\in L^{p}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1,}$

そして、がH ^p ( T )にあるとき、 f はH ^pに属します。 がH ^p ( T )にある、すなわち、n < 0のすべてに対してa _n = 0となるフーリエ係数 ( a _n ) _{n ∈ Z}を持つと仮定すると、 H ^pの関連付けられた正則関数f は次のように与えられます。 応用面では、負のフーリエ係数がゼロになる関数は、一般に因果解として解釈されます。たとえば、ハーディ空間H ^{2 は、}平均二乗値が下からと有界となる関数で構成されます。したがって、空間H ^{2は自然に}L ²空間内に位置するとみなされ、Nでインデックス付けされた無限シーケンスによって表されます。一方、L ^{2 は、} Zでインデックス付けされた双無限シーケンスで構成されます。 ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.}$$ ${\displaystyle r\to 1}$

上半分の平面

上半平面 上のハーディ空間は、有界ノルムを持つ 上の正則関数の空間として定義され、 で与えられる。 対応するは、有界ノルムを持つ の関数として定義され、ノルムは で与えられる。 単位円板は、メビウス変換によって上半平面と同型である。例えば、 がメビウス変換を表す とすると、で定義される 線型作用素は、ハーディ空間の等長同型 となる。 ${\displaystyle \mathbb {H} =\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ $${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.}$$ ${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {H} )}$ $${\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbb {H} }|f(z)|.}$$ ${\displaystyle m:\mathbb {D} \rightarrow \mathbb {H} }$ $${\displaystyle m(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}.}$$ ${\displaystyle M:H^{2}(\mathbb {H} )\rightarrow H^{2}(\mathbb {D} )}$ $${\displaystyle (Mf)(z):={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)),}$$

同様のアプローチは、たとえば右半平面にも適用されます。

実ベクトル空間上

実ベクトル空間R ⁿ上の解析において、ハーディ空間H ^p (0 <  p  ≤ ∞) は、あるシュワルツ関数Φ (∫Φ = 1) に対して最大関数

${\displaystyle (M_{\Phi }f)(x)=\sup _{t>0}|(f*\Phi _{t})(x)|}$

はL ^p ( R ⁿ )に含まれ、ここで ∗ は畳み込み、Φ _t ( x ) = t ^{− n} Φ( x / t )である。H ^pの分布fのH ^p -準ノルム|| f || _Hpは、 M _Φ fのL p ノルムと^定義される（これは Φ の選択に依存するが、シュワルツ関数 Φ の異なる選択は同等のノルムを与える）。H p -^準ノルムはp ≥ 1の場合にはノルムとなるが、p  < 1の場合にはノルムとならない。

1 < p  < ∞ のとき、ハーディ空間H ^pはL ^pと同じベクトル空間で、ノルムは等価である。p = 1 のとき、 ハーディ空間H ^1はL ¹の真部分空間である。H ^1には、 L ¹では有界だがH ¹では有界でない数列が存在する。例えば、直線

${\displaystyle f_{k}(x)=\mathbf {1} _{[0,1]}(x-k)-\mathbf {1} _{[0,1]}(x+k),\ \ \ k>0.}$

L 1ノルムとH ^{1ノルムは}H ¹上で同値ではなく、H ^1はL ¹において閉じていない。 H ¹の双対は^、有界平均振動関数の空間BMOである。BMO空間には非有界関数が含まれる（これもまた、 H 1 が L 1 において閉じていないことを証明^して^いる）。

p < 1の場合 、ハーディ空間H ^{p は}関数ではない元を持ち、その双対はn (1/ p  − 1) 位の同次リプシッツ空間である。p < 1 の場合、H ^p準正規形は劣加法ではないため、ノルムではない。p乗|| f || _Hp ^pはp < 1に対して劣加法であるため、ハーディ空間H ^p 上の計量を定義し、これが位相を定義してH ^{p を}完備計量空間にする。

原子分解

0 < p ≤ 1のとき、コンパクト台を持つ有界測定関数fがハーディ空間H ^pに含まれる場合、そのすべてのモーメントが

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}\,\mathrm {d} x,}$

i ₁ + ... + i _nの位数が高々n (1/ p  − 1) であるような積分はゼロになる。例えば、f ∈ H ^p , 0 < p ≤ 1となるためにはfの積分はゼロになる必要があり、またp  > n / ( n +1)である限り、これも十分である。

さらに、f が球体Bに台を持ち、| B | ^{−1/ p}で有界となる場合、fはH ^p原子と呼ばれる（ここで | B | はR ⁿにおけるBのユークリッド体積を表す）。任意のH p 原子の H ^p準形は、p^とシュワルツ関数 Φ のみに依存する定数で有界となる。

0 < p ≤ 1のとき、 H ^pの任意の元fはH ^p原子の収束する無限の組み合わせとして原子分解を持ち、

${\displaystyle f=\sum c_{j}a_{j},\ \ \ \sum |c_{j}|^{p}<\infty }$

ここで、a _jはH ^p原子であり、 c _jはスカラーです。

たとえば、直線上では、ディラック分布の差f  = δ ₁ −δ _{0 は}、 1/2 < p < 1 のときにH ^p準形に収束する一連のハール関数として表すことができます (円上では、対応する表現は 0 < p  < 1 に対して有効ですが、直線上では、ハール関数の最大関数が、あるa ≠ 0 に対して無限大でa x ^{−2と等価であるため、} p ≤ 1/2のときにハール関数はH ^pに属しません )。  

実変数ハーディ空間と複素変数ハーディ空間のリンク

実変数法は主にR ⁿ上に定義された実ハーディ空間の研究に用いられますが、より単純な円の枠組みにおいても用いられます。これらの「実」空間では複素関数（または超関数）を許容することが一般的です。以下の定義は、実数の場合と複素数の場合を区別しません。

P _{r を}単位円T上のポアソン核とする。単位円上の 分布fに対して、

${\displaystyle (Mf)(e^{i\theta })=\sup _{0<r<1}\left|(f*P_{r})\left(e^{i\theta }\right)\right|,}$

ここで星印は分布fと円上の関数e ^iθ → P _r (θ)の畳み込みを表す。つまり、( f ∗ P _r )(e ^iθ )は、単位円上で定義される C ^∞関数fへの作用の結果である。

${\displaystyle e^{i\varphi }\rightarrow P_{r}(\theta -\varphi ).}$

0 < p  < ∞の場合、実ハーディ空間H ^p ( T )は、M fがL ^p ( T ) に含まれるような超関数fから構成されます。

単位円板上でF ( re ^iθ ) = ( f ∗ P _r )(e ^iθ ) と定義される関数Fは調和関数であり、M fはFのラジアル最大関数 である。M fがL ^p ( T ) に属し、 p  ≥ 1 のとき、分布f "はL ^p ( T )内の関数、すなわちFの境界値である。p  ≥ 1 のとき、実ハーディ空間H ^p ( T ) はL ^p ( T )のサブセットである。

共役関数

単位円上のすべての実三角関数多項式uに対して、 u + i vが単位円上の正則関数に拡張される ような実共役多項式vを関連付ける。

${\displaystyle u(e^{i\theta })={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\cos(k\theta )+b_{k}\sin(k\theta )\longrightarrow v(e^{i\theta })=\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\sin(k\theta )-b_{k}\cos(k\theta ).}$

この写像u → vは、1 < p < ∞ のとき、 L ^p ( T )上の有界線型作用素Hに拡張され （スカラー倍数を除き、単位円上のヒルベルト変換となる）、 HはL ¹ ( T ) を弱L ¹ ( T )に写す。1 ≤ p < ∞ のとき、単位円上の 実数値積分可能関数f に対して以下は同値である。

• 関数fはある関数g ∈ H ^p ( T )の実部である。
• 関数fとその共役関数H(f)はL ^p ( T )に属する
• ラジアル極大関数M fはL ^p ( T ) に属する。

1 < p < ∞のとき、f ∈ L ^p ( T )のとき、 H(f)はL ^p ( T )に属する。したがって、この場合、実ハーディ空間H ^p ( T ) はL ^p ( T ) と一致する。p = 1のとき、実ハーディ空間H ¹ ( T ) はL ¹ ( T )の真部分空間である。

p = ∞の場合は、実ハーディ空間の定義から除外された。これは、 L ^∞関数 の極大関数M fが常に有界であり、実数値関数H ^∞がL ^∞と等しくなることは望ましくないためである。しかし、実数値関数fについては、以下の2つの性質は同値である。

• 関数fはある関数g ∈ H ^∞ ( T ) の実部である。
• 関数f とその共役関数H(f)^はL∞ ( T )に属する。

0 < p < 1の場合

0 < p < 1 のとき、関数FをH ^{p の}円周上の境界極限関数の実部から再構成することはできない。これは、この場合 L p が凸性を持たないためである。凸性^は失われるが、ある種の「複素凸性」、すなわちz → | z | ^qが任意のq > 0に対して劣調和的であるという事実は残る。結果として、

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad |z|<1}$

がH ^pに属する場合、 c _n = O( n ^{1/ p –1} )であることが示される。したがって、フーリエ級数は

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}e^{in\theta }}$

は超関数の意味で単位円上の超関数fに収束し、 F ( re ^iθ ) =( f  ∗  P _r )(θ)となる。関数F ∈ H ^pは円上の実超関数Re( f )から再構成できる。これは、 Fのテイラー係数c _nがRe( f )のフーリエ係数から計算できるからである。

円上の超関数は、p  < 1 の場合、ハーディ空間を扱うのに十分一般的です。関数ではない超関数も発生します。たとえば、関数F ( z ) = (1− z ) ^{− N} (| z | < 1) は、0 < N p  < 1 (かつNは整数 ≥ 1) の場合にH ^{pに属します。} 

円上の実分布が実数H ^p ( T ) に属する場合、それはF ∈ H ^pの実部の境界値となる。単位円上の任意の点xにおけるディラック分布 δ _xは、すべてのp < 1に対して実数H ^p ( T )に属する。p < 1/2 のときは導関数 δ′ _{x が}、 p < 1/3のときは2次導関数 δ′′ _{x が}、以下同様 に属す。

バーリング分解

0 <  p ≤ ∞ において、 H ^p内の任意 の非零関数f は、積f = Ghで表すことができる。ここでGは外関数、hは内関数であり、これは以下のように定義される ( Rudin 1987 , Thm 17.17)。この「Beurling分解」により、ハーディ空間は内関数と外関数の空間によって完全に特徴付けられる。^{[ 4 ] [ 5 ]}

G ( z ) が外関数であるとは、次の式で表される 関数である。

${\displaystyle G(z)=c\,\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\log \!\left(\varphi \!\left(e^{i\theta }\right)\right)\,\mathrm {d} \theta \right)}$

は、 | c | = 1を満たす複素数cと、単位円上の正の可測関数であって、円上で積分可能なものに対して成り立つ。特に、円上で積分可能な場合、GはH ¹に属する。なぜなら、上記はポアソン核の形をとるからである（Rudin 1987、Thm 17.16）。これは、 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \log(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}\left|G\left(re^{i\theta }\right)\right|=\varphi \left(e^{i\theta }\right)}$

ほぼすべての θ に対して。

hが内部関数であるとは、単位円上で | h | ≤ 1であり、極限が

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}h(re^{i\theta })}$

ほぼすべてのθに対して存在し、その絶対値は1 ae に等しい。特に、hはH ^{∞に属する。内部関数はさらに、} Blaschke積を含む形に因数分解することができる。

関数f は、 f = Ghとして分解され、 φ がL ^p ( T )に属する場合にのみH ^pに含まれます。ここで、 φ は外部関数Gの表現における正関数です。

G を円周上の関数 φ から上記のように表される外関数とする。 φ を φ α （α > 0）に置き換えると、^外関数の族 ( G _α ) が得られ、以下の性質を持つ。

G ₁  = G、G _α+β = G _α  G _β  および | Gα _| ​= | G |円上のほぼどこでも^αです。

したがって、 0 < p、q、r < ∞ かつ 1/ r = 1/ p + 1/ qの場合には、 H ^rのすべての関数f は、 H ^pの関数とH ^qの関数の積として表すことができます。例えば、H ^{1のすべての関数は、} H ²の2つの関数の積です。また、 H ^p（p < 1）のすべての関数は、H ^q（q > 1）の複数の関数の積として表すことができます 。

マーチンゲールH ^p

( M _n ) _{n ≥0}を、ある確率空間 (Ω, Σ,  P ) 上の、σ-体の増加系列 (Σ _n ) _{n ≥0}に関するマルチンゲールとする。簡単のため、Σ は系列 (Σ _n ) _{n ≥0}によって生成されるσ-体に等しいと仮定する。マルチンゲールの 極大関数は次のように定義される。

${\displaystyle M^{*}=\sup _{n\geq 0}\,|M_{n}|.}$

1 ≤ p < ∞とする。M * ∈ L ^pのとき、^マルチンゲール( M _n ) _{n ≥0は}マルチンゲール-H pに属する。

If M* ∈ L^p, the martingale (M_n)_n≥0 is bounded in L^p; hence it converges almost surely to some function f by the martingale convergence theorem. Moreover, M_n converges to f in L^p-norm by the dominated convergence theorem; hence M_n can be expressed as conditional expectation of f on Σ_n. It is thus possible to identify martingale-H^p with the subspace of L^p(Ω, Σ, P) consisting of those f such that the martingale

${\displaystyle M_{n}=\operatorname {E} {\bigl (}f|\Sigma _{n}{\bigr )}}$

belongs to martingale-H^p.

Doob's maximal inequality implies that martingale-H^p coincides with L^p(Ω, Σ, P) when 1 < p < ∞. The interesting space is martingale-H¹, whose dual is martingale-BMO (Garsia 1973).

The Burkholder–Gundy inequalities (when p > 1) and the Burgess Davis inequality (when p = 1) relate the L^p-norm of the maximal function to that of the square function of the martingale

${\displaystyle S(f)=\left(|M_{0}|^{2}+\sum _{n=0}^{\infty }|M_{n+1}-M_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$

Martingale-H^p can be defined by saying that S(f)∈ L^p (Garsia 1973).

Martingales with continuous time parameter can also be considered. A direct link with the classical theory is obtained via the complex Brownian motion (B_t) in the complex plane, starting from the point z = 0 at time t = 0. Let τ denote the hitting time of the unit circle. For every holomorphic function F in the unit disk,

${\displaystyle M_{t}=F(B_{t\wedge \tau })}$

is a martingale, that belongs to martingale-H^p iff F ∈ H^p (Burkholder, Gundy & Silverstein 1971).

Example

In this example, Ω = [0, 1] and Σ_n is the finite field generated by the dyadic partition of [0, 1] into 2ⁿ intervals of length 2⁻ⁿ, for every n ≥ 0. If a function f on [0, 1] is represented by its expansion on the Haar system (h_k)

${\displaystyle f=\sum c_{k}h_{k},}$

then the martingale-H¹ norm of f can be defined by the L¹ norm of the square function

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\Bigl (}\sum |c_{k}h_{k}(x)|^{2}{\Bigr )}^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x.}$

This space, sometimes denoted by H¹(δ), is isomorphic to the classical real H¹ space on the circle (Müller 2005). The Haar system is an unconditional basis for H¹(δ).

See also

• H²
• H^∞ methods
• Paley-Wiener theorem

Notes

1. Folland 2001.
2. Stein & Murphy 1993, p. 88.
3. (Garcia, Mashreghi & Ross 2023, Sec. 5.3)
4. Beurling, Arne (1948). "On two problems concerning linear transformations in Hilbert space". Acta Mathematica. 81: 239–255. doi:10.1007/BF02395019.
5. Voichick, Michael; Zalcman, Lawrence (1965). "Inner and outer functions on Riemann surfaces". Proceedings of the American Mathematical Society. 16 (6): 1200–1204. doi:10.1090/S0002-9939-1965-0183883-1.

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