不確定性原理

粒子の位置変数qと運動量変数pの標準的な交換則、1927年。pq − qp = h /(2 πi )。ハイゼンベルクの不確定性原理、1927年。

不確定性原理（ハイゼンベルクの不確定性原理とも呼ばれる）は、量子力学における基本的な概念です。位置と運動量といった特定の物理的特性のペアを同時に知ることができる精度には限界があるというものです。言い換えれば、一方の特性をより正確に測定すればするほど、もう一方の特性をより正確に知ることは難しくなります。

より正式には、不確定性原理とは、位置xや運動量pなど、量子システムにおける特定の関連する測定値のペアの精度の積に基本的な限界があると主張するさまざまな数学的不等式のいずれかです。^{[ 1 ]}このようなペア変数は、相補変数または標準共役変数として知られています。

1927年にドイツの物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルクによって初めて導入された[ ^{2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}位置の標準偏差σxと運動量の標準偏差σp_を関係付ける正式な不等式は、^その年の後半にアール・ヘッセ・ケナード[6]によって、₁₉₂₈年^{にはヘルマン}・ワイル^{[ 7 ]}によって導出された。

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

ここで、は換算プランク定数です。 ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

量子力学の本質を成す不確定性原理は、位置・運動量以外にも様々な形で現れます。エネルギーと時間の関係は、量子状態の寿命と測定されたエネルギー幅を関連付けるために広く用いられていますが、その正式な導出には時間の性質に関する複雑な問題がつきものです。この基本原理は様々な方向に拡張されており、様々な基礎物理測定において考慮されなければなりません。

ポジション・モメンタム

複数の平面波が重ね合わされて波束を形成する。この波束は、多数の波が加わるにつれて次第に局所化していく。フーリエ変換は、波束を個々の平面波に分離する数学的演算である。ここで示されている波は、説明のために実在する波である。量子力学では、波動関数は一般に複素数である。

この原理は、人間が経験するマクロなスケール^{[ 8 ]}では識別不可能であるため、比較的理解しやすい物理的状況にどのように適用されるかを説明することは極めて重要です。量子物理学には、不確定性原理について異なる説明を提供する2つの代替的な枠組みがあります。不確定性原理の波動力学的な描像は視覚的に直感的ですが、より抽象的な行列力学的な描像は、より容易に一般化できる形で定式化しています。

数学的には、波動力学において、位置と運動量の間に不確定性関係が生じるのは、ヒルベルト空間の対応する 2 つの直交基底における波動関数の表現が互いのフーリエ変換である（すなわち、位置と運動量が共役変数である）ためである。非ゼロ関数とそのフーリエ変換は、同時に鋭く局在化することはできない。^{[ 9 ]}フーリエ共役の分散間の同様のトレードオフは、フーリエ解析が基礎となっているすべてのシステム、例えば音波で生じる。純音は単一周波数の鋭いスパイクであるが、そのフーリエ変換は時間領域における音波の形状を与え、それは完全に非局在化した正弦波である。量子力学における 2 つの重要な点は、粒子の位置が物質波の形をとり、運動量がそのフーリエ共役であり、ド・ブロイ関係p = ħk（ただしkは波数）によって保証される、という点である。

量子力学の数学的定式化である行列力学では、観測量を表す非可換な自己随伴作用素の任意のペアは、同様の不確定性限界に従う。観測量の固有状態は、特定の測定値（固有値）に対する波動関数の状態を表す。例えば、観測量Aの測定が行われると、系はその観測量の特定の固有状態Ψにある。しかし、観測量Aの特定の固有状態は、別の観測量Bの固有状態である必要はない。もしそうであれば、系はその観測量の固有状態にないため、それに関連する一意の測定は存在しない。^{[ 10 ]}

視覚化

不確定性原理は、1 次元の質量を持つ 1 つのスピンレス粒子の位置空間および運動量空間の波動関数を使用して視覚化できます。

位置空間波動関数がより局所的であるほど、粒子がその領域内の位置座標で見つかる可能性が高くなります。それに応じて、運動量空間波動関数はより局所的ではないため、粒子が取り得る運動量成分はより広範囲にわたります。逆に、運動量空間波動関数がより局所的であるほど、粒子がその領域内の運動量成分の値で見つかる可能性が高くなります。それに応じて、位置空間波動関数はより局所的ではないため、粒子が占め得る位置座標はより広範囲にわたります。これらの波動関数は互いのフーリエ変換です。数学的には、不確定性原理は変換における共役変数間の関係を表します。

量子粒子に対応する位置xと運動量p の波動関数。粒子の色の不透明度は、位置xまたは運動量成分pを持つ粒子が見つかる確率密度に対応します。上：波長λが不明な場合、運動量p、波動ベクトルk、エネルギーEも不明です（ド・ブロイの関係）。粒子は位置空間においてより局在しているため、 Δ xは Δ p _xの場合よりも小さくなります。下：波長 λが既知の場合、 p、k、Eも既知です。粒子は運動量空間においてより局在しているため、 Δ pは Δ xの場合よりも小さくなります。

波動力学の解釈

平面波

波束

1次元におけるド・ブロイ波の伝播。複素振幅の実部は青、虚部は緑で示されています。粒子が特定の点xに存在する確率（色の不透明度で表示）は波形のように広がり、粒子の位置は確定していません。振幅がゼロを超えると曲率の符号が反転し、振幅は再び減少し始めます。振幅がゼロを超えると曲率の符号が反転し、結果として振幅が交互に変化する波が発生します。

ド・ブロイの仮説によれば、宇宙のあらゆる物体は波動と関連している。したがって、素粒子から原子、分子、さらには惑星に至るまで、あらゆる物体は不確定性原理の影響を受ける。

波数k ₀または運動量p ₀の単モード平面波の時間に依存しない波動関数は^{[ 11 ]}である。$${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

ボルン則によれば、これは確率密度振幅関数として解釈されるべきであり、 aとbの間に粒子が見つかる確率は $${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

単一モード平面波の場合、は であれば1 、そうでなければ0となります。言い換えれば、粒子の位置は波束上のどこにでも存在する可能性があるという意味で、極めて不確実です。 ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$ ${\displaystyle X=x}$

一方、多数の波の和である波動関数を考えてみましょう。これは と書くことができます。 ここで、A _{n は}モードp _nの全体に対する相対的な寄与を表します。右の図は、多数の平面波を追加することで、波束がどのように局所化されるかを示しています。これをさらに進めて連続極限にすると、波動関数 はすべての可能なモードにわたって 積分され、 はこれらのモードの振幅を表し、運動量空間における波動関数と呼ばれます 。数学的に言えば、は のフーリエ変換であり、xとpは共役変数であると言えます。これらすべての平面波を足し合わせると、さまざまな運動量の波が混ざり合って、運動量の精度が低下するというコストがかかります。^{[ 12 ]}$${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$ $${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

位置と運動量の精度を定量化する一つの方法は、標準偏差 σです。は位置の確率密度関数なので、その標準偏差を計算します。 ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

平面波を多く用いることで位置の精度は向上し、すなわちσ _xは減少する。これにより運動量の精度は低下し、すなわちσ _pは増加する。言い換えれば、σ _xとσ _{p は}逆相関関係にある、あるいは少なくとも下限が定められていると言える。これが不確定性原理であり、その正確な限界はケナード限界である。

波動力学を用いたケナード不等式の証明

我々が興味を持っているのは位置と運動量の 分散であり、以下のように定義される。$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

一般性を失うことなく、平均値がゼロであると仮定します。これは単に座標の原点をずらすだけです。（この仮定を使わないより一般的な証明は以下で示します。）これにより、より単純な形が得られます。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

関数は関数空間のベクトルとして解釈できます。このベクトル空間において、 関数u ( x ) と関数v ( x ) のペアの内積を定義できます。 ここで、アスタリスクは複素共役を表します。 ${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$ $${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$

この内積を定義すると、位置の分散は次のように表せることがわかります。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

関数をベクトルとして解釈することで、運動量についてもこれを繰り返すことができますが、と が互いのフーリエ変換であるという事実を利用することもできます。逆フーリエ変換はの部分積分によって評価します。 ここで、部分積分では、波動関数が無限大と の両方で消滅するため、打ち消される項は消滅します。次に、pに依存しないため有効なディラックのデルタ関数を使用します。 ${\displaystyle {\チルダ {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ip(x-\chi )/\hbar }\,dp\right]\,d\chi \\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left({\frac {x-\chi }{\hbar }}\right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left(x-\chi \right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar {\frac {d\psi (x)}{dx}}\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }}$ ${\displaystyle |e^{-ip\chi /\hbar }|=1}$ ${\displaystyle {\dfrac {d\psi (\chi )}{d\chi }}}$

この項は位置空間における運動量演算子と呼ばれる。プランシュレルの定理を適用すると、運動量の分散は次のように書けることがわかる。 ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

コーシー・シュワルツの不等式は、 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

任意の複素数zの二乗の係数は、 と表すことができ 、これらを上記の式に代入すると、 $${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$ ${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$ $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

残っているのはこれらの内積を評価することだけです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\&=i\hbar \end{aligned}}}$$

これを上記の不等式に代入すると、 平方根を取ると $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

等式は、 pとx が線型従属関係にある場合に限ります。この証明で扱われる唯一の物理的性質は、 と が位置と運動量の波動関数であり、それらは互いのフーリエ変換であるという点です。同様の結果は、任意の共役変数のペアに対しても成り立ちます。 ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$

行列力学の解釈

行列力学では、位置や運動量などの観測量は自己随伴作用素によって表される。^{[ 12 ]}観測量のペアを考える場合、重要な量は交換子である。演算子のペアÂとに対して、それらの交換子は次のように定義される。 位置と運動量の場合、交換子は標準的な交換関係である。${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

非可換性の物理的な意味は、交換子が位置固有状態と運動量固有状態に与える影響を考えることで理解できます。 を、定数固有値x ₀を持つ位置の右固有状態とします。定義により、これは を意味します。に交換子を適用すると、が得られます 。 ここで、Îは恒等演算子です。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$

背理法による証明のために、 が定数固有値p ₀を持つ運動量の右固有状態でもあると仮定する。もしこれが真ならば、 と書くことができる。 一方、上記の標準的な交換関係は、 を要求する 。これは、いかなる量子状態も同時に位置固有状態と運動量固有状態の両方であることはできないことを意味する。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$

状態が測定されると、それは関連する観測量の基底における固有状態に投影されます。例えば、粒子の位置が測定された場合、その状態は位置固有状態になります。しかしこれは、その状態が運動量固有状態ではなく、複数の運動量基底固有状態の和として表されることを意味します。言い換えれば、運動量の精度は低くなります。この精度は標準偏差によって定量化できます。 $${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

上記の波動力学の解釈と同様に、不確定性原理によって定量化された 2 つの精度の間にはトレードオフが見られます。

量子調和振動子の定常状態

1次元の量子調和振動子を考えてみましょう。位置演算子と運動量演算子は、生成演算子と消滅演算子を用いて表すことができます。 $${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

エネルギー固有状態の生成消滅演算子の標準規則を用いると、 分散は直接計算できる。 これらの標準偏差の積は $${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$ $${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

特に、上記のケナード境界^{[ 6 ]}は基底状態n =0に対して飽和しており、その場合の確率密度は正規分布にちょうど一致する。

ガウス初期条件を持つ量子調和振動子

初期ガウス分布における位置（青）と運動量（赤）の確率密度。アニメーションは上から下へ、Ω = ω、Ω = 2 ω、Ω = ω /2の場合を示している。分布の幅のトレードオフに注目してください。

特性角周波数ωの量子調和振動子において、ポテンシャルの底から変位x ₀だけオフセットされた状態を次のように 置く 。ここで Ω は初期状態の幅を表すが、ωと同じである必要はない。伝播関数上の積分を通して、完全な時間依存解を求めることができる。多数のキャンセルの後、確率密度は まで減少する。 ここで、表記は平均μと分散σ ²の正規分布を表すために用いた。上記の分散をコピーし、三角関数の恒等式を適用すると、標準偏差の積は次のように表せる 。$${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$ $${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$ $${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

これらの関係から、 次のことが言えます（右端の等式はΩ = ωの場合にのみ成り立ちます）。 $${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

コヒーレント状態

コヒーレント状態は消滅演算子の右固有状態であり、 フォック状態を用いて次のよう に表される。$${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$ $${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

コヒーレント状態が量子調和振動子中の質量を持つ粒子であるという図式では、位置演算子と運動量演算子は、上記と同じ式で消滅演算子を用いて表すことができ、分散の計算に使用できます 。したがって、すべてのコヒーレント状態は 、位置と運動量がそれぞれ「バランスの取れた」方法で寄与することで、 ケナード限界を飽和します 。さらに、すべてのスクイーズドコヒーレント状態もケナード限界を飽和しますが、位置と運動量の個々の寄与は一般にバランスが取れている必要はありません。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$ ${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$

箱の中の粒子

長さ の1次元の箱の中にある粒子を考えます。位置空間と運動量空間における固有関数は と です 。 ここで、ド・ブロイの関係を用いました。との分散は明示的に計算できます。 ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$ ${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

したがって、標準偏差の積は となる。 すべての に対して、 は1より大きいので、不確定性原理に違反することはない。数値的に具体的な場合、最小値はの ときに発生する。$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$ ${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$ ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

絶え間ない勢い

自由空間において最小の不確実性で一定の運動量で運動する初期ガウス状態の位置空間確率密度

粒子が初期状態では、ある一定の運動量p ₀の周りを正規分布で記述される運動量空間波動関数を持っていると仮定する。ここ で、基準スケールを導入し、分布の幅を記述する（無次元化を参照）。状態が自由空間で発展することを許すと、時間依存の運動量空間波動関数と位置空間波動関数は、 $${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$ ${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}>0}$ $${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$ $${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

と であるので、これは粒子が一定の運動量で任意の高精度で運動していると解釈できる。一方、位置の標準偏差は、 不確実性積が時間とともに増加する程度であり、 ${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$ $${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

数学的形式主義

ケナードの位置・運動量不確定性の導出を出発点として、ハワード・パーシー・ロバートソンは、任意のエルミート作用素を標準偏差で表す 定式化を考案した^{[ 13 ] [ 1 ]} 。 括弧内は、作用素で表される観測量の期待値を示す。作用素のペアとに対して、それらの交換子を次のように定義し 、ロバートソンの不確定性関係は^{[ 14 ]} で与えられる。${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ $${\displaystyle \sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}},}$$ ${\displaystyle \langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},}$$ $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|.}$$

エルヴィン・シュレーディンガー^{[ 15 ]}は、演算子間の相関関係を許容する方法を示し、ロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係として知られるより強い不等式を与えた^{[ 16 ] [ 1 ]。}

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2},}$

ここで反交換子が使用されます。 ${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$

シュレーディンガーの不確定性関係の証明

ここで示す導出は、ロバートソン^{[ 13 ]} 、シュレーディンガー^{[ 16 ] 、グリフィス[ 17 ]}などの標準的な教科書に示されているものを組み込んで構築されている。138任意のエルミート演算子に対して、分散の定義に基づいて、 次のように 定義される^。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle .}$$ ${\displaystyle |f\rangle =|({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle }$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle f\mid f\rangle \,.}$$

同様に、同じ状態にある 他のエルミート演算子についても 、${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle ({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle =\langle g\mid g\rangle }$$ ${\displaystyle |g\rangle =|({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle .}$

2つの偏差の積は次のように表される。

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}=\langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle .}$

1

2つのベクトルとを関連付けるために、コーシー・シュワルツの不等式^{[ 18 ]}を用いる。これは次のように定義され 、したがって式( 1 )は次のように書ける。 ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$ $${\displaystyle \langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2},}$$

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}.}$

2

は一般に複素数なので、任意の複素数の二乗係数は と定義されるという事実を使います。ここでは の複素共役です。二乗係数は次のようにも表すことができます。 ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}\operatorname {Re} (z){\Big )}^{2}+{\Big (}\operatorname {Im} (z){\Big )}^{2}={\Big (}{\frac {z+z^{\ast }}{2}}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {z-z^{\ast }}{2i}}{\Big )}^{2}.}$

3

とを上記の式に代入すると 、${\displaystyle z=\langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$

${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}={\bigg (}{\frac {\langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle }{2}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}{\bigg )}^{2}}$

4

内積は、およびとがエルミート演算子である という事実を用いて明示的に書き表され 、${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle =\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle ,}$$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle &=\langle \Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle -{\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid {\hat {A}}{\hat {B}}\Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle \Psi \rangle +\langle \Psi \mid \langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .\end{aligned}}}$$

同様に、${\displaystyle \langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$

したがって 、 $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }$$ $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -2\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$$

ここで、上記の2つの式を式( 4 )に代入すると 、$${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}={\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}\,.}$$

上記を式（2）に代入すると、シュレーディンガーの不確定性関係が得られる。 $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}}}.}$$

この証明には、関係する演算子の定義域に関連した問題^{[ 19 ]}がある。証明が意味を成すためには、ベクトルは非有界演算子の定義域になければならないが、必ずしもそうではない。実際、が角度変数で がこの変数に関する導関数である場合、ロバートソンの不確定性関係は偽である。この例では、交換子はハイゼンベルクの不確定性関係の場合と同様にゼロ以外の定数であるが、それでも不確定性の積がゼロになる状態が存在する。^{[ 20 ]} （以下の反例のセクションを参照）。この問題は、変分法を用いて証明するか^{[ 21 ] [ 22 ]}、または標準交換関係の指数バージョンを使用することで克服できる。 ^{[ 20 ]}${\displaystyle {\hat {B}}|\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

ロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係の一般的な形式では、演算子とが自己随伴演算子であると仮定する必要がないことに注意してください。これらは単に対称演算子であると仮定するだけで十分です。（これら2つの概念の区別は物理学の文献では一般的に無視されており、エルミート演算子という用語は演算子のいずれかまたは両方のクラスに使用されています。この重要だが技術的な区別の詳細については、 ホールの著書^{[ 23 ]の第9章を参照してください。）}${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

位相空間

量子力学の位相空間定式化において、ロバートソン・シュレーディンガーの関係は、実スタースクエア関数の正値条件から導かれる。スター積★を持つウィグナー関数 と関数fが与えられたとき、一般に次が成り立つ。^{[ 24 ]}${\displaystyle W(x,p)}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

を選択すると、 ${\displaystyle f=a+bx+cp}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

この正値条件はa、b、cのすべて に当てはまるため、行列のすべての固有値は非負になります。

非負の固有値は、行列式に対応する非負条件を意味する。あるいは 、代数的操作の後に明示的に、 $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

例

ロバートソン関係式とシュレーディンガー関係式は一般の作用素に対するものであるため、任意の2つの観測量に適用することで、特定の不確定性関係を得ることができます。文献でよく見られる最も一般的な関係式をいくつか以下に示します。

• 位置-線形運動量不確定性関係: 位置演算子と線形運動量演算子の場合、標準交換関係は上記のケナード不等式を意味します。${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• 角運動量の不確定性関係:物体の全角運動量演算子の 2 つの直交成分について、次の関係が成り立ちます。ここで、 i、j、kはそれぞれ異なる値であり、J _{i は}x _i軸に沿った角運動量を表します。この関係は、3 つの成分すべてが同時に消えない限り、システムの角運動量の 1 つの成分のみ、通常は外部 (磁場または電場) に平行な成分のみを任意の精度で定義できることを意味します。さらに、 について、角運動量多重項で 、 、を選択することで、ψ = | j、m ⟩ はカシミール不変量(角運動量の 2 乗、) を下から制限し、j ( j + 1) ≥ m ( m + 1)などの有用な制約条件、したがってj ≥ mなどの制約条件が得られます。$${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$ ${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$ ${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$

• 超伝導体中の電子数とギンツブルグ・ランダウ秩序パラメータの位相については^{[ 25 ] [ 26 ]}$${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

制限事項

演算子 および に対するロバートソン不等式の導出には、およびが定義されている必要がある。これらの条件が成り立たない量子系も存在する。^{[ 27 ]} 一例として、リング 上の量子粒子が挙げられ、この場合、波動関数は区間 の角度変数に依存する。および によって 、 「位置」演算子および「運動量」演算子を、 および に周期境界条件とともに定義する。 の定義は、0 から の範囲に依存する。これらの演算子は、位置演算子および運動量演算子に対する通常の交換関係 を満たす。より正確には、および が両方とも定義されている場合、そのような の空間は量子ヒルベルト空間の稠密部分空間である。^{[ 28 ]}${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \psi }$

ここで、の固有状態のいずれかを とすると、 は で与えられる。これらの状態は、直線上の運動量演算子の固有状態とは異なり、正規化可能である。また、 は有界区間にわたるため、演算子は有界である。したがって、状態 では、 の不確実性はゼロであり、 の不確実性は有限であるため、 となる。 この場合、ロバートソンの不確定性原理は適用されない。 は演算子 の領域内には存在しない。を で乗算すると、 に課せられた周期境界条件が破壊されるからである。^{[ 20 ]}${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

実数直線上の通常の位置・運動量演算子およびに対しては、そのような反例は起こり得ない。およびが状態 において定義されている限り、たとえ が の領域または の領域にない場合であっても、ハイゼンベルクの不確定性原理は成立する。^{[ 29 ]}${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$

混合状態

ロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係は、密度行列の任意 の分解のすべての要素に対して成立する必要があることに留意することで改善できます。 ここで、確率とが成り立ちます。次に、 の関係式を使用すると、 ^{[ 30 ]}が成り立ちます。 ここで、境界内の関数は定義されます。 上記の関係式は、元のロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係よりも大きな境界を持つことがよくあります。したがって、量子状態ではなく、量子状態の混合要素に対してロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係の境界を計算し、それらの平方根の平均を計算する必要があります。次の式は、 右側に密度行列の分解の上に凹状の屋根があるロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係よりも強力です。上記の改善された関係は、すべての単一量子ビット量子状態によって飽和します。^{[ 30 ]}${\displaystyle \varrho _{k}}$ $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$ ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$ $${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ $${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$

同様の議論で、右辺に凸屋根を持つ関係式を導くことができる^{[ 30 ]。} ここで、は量子フィッシャー情報量を表し、密度行列は純粋状態に分解される。 この導出は、量子フィッシャー情報が分散の4倍の凸屋根である という事実を利用している。 ^{[ 31 ] [ 32 ]}$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}}$$ ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]}$ $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$$

凸屋根のないより単純な不等式が成り立ち^{[ 33 ]} 、これはハイゼンベルクの不確定性関係よりも強い。なぜなら量子フィッシャー情報量に対しては等式が 成り立つのに対し 、純粋状態に対しては等式が成り立つからである。 $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}$$ $${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]\leq 4\sigma _{B},}$$

マコーネ・パティ不確実性関係

ロバートソン–シュレーディンガーの不確定性関係は、システムの状態が観測量のいずれかの固有状態になるように選択される場合、自明になる可能性がある。ロレンゾ・マッコーネとアルン・K・パティによって証明されたより強い不確定性関係は、2 つの両立しない観測量の分散の合計に非自明な境界を与える。^{[ 34 ]}（分散の合計として定式化された不確定性関係に関する以前の研究には、例えば、Yichen Huang による文献^{[ 35 ]}が含まれる。）2 つの非可換な観測量との場合、最初のより強い不確定性関係は次のように与えられる。 ここ で、、はシステムの状態に直交する正規化されたベクトルであり、この実数を正の数にするには の符号を選択​​する必要があります。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid [A,B]|\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$$ ${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle }$

2番目に強い不確定性関係は、 が に直交する状態で ある場合に、 で与えられる。 の形は、が の固有状態でない限り、新しい不確定性関係の右辺が非ゼロであることを意味する。 は、または のいずれの固有状態であっても、の固有状態になり得ることに注意されたい。しかし、 が2つの観測量のうちの一方の固有状態である場合、ハイゼンベルク・シュレーディンガーの不確定性関係は自明になる。しかし、新しい関係の下限は、 が両方の固有状態でない限り、非ゼロである。 $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}}$$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

エネルギーと時間

のようなエネルギーと時間の不確定性関係には 、長く議論の多い歴史があります。との意味は様々で、異なる定式化には異なる妥当性領域があります。^{[ 36 ]}しかし、よく知られた応用の1つは、十分に確立されており^{[ 37 ] [ 38 ]}、実験的に検証されています。^{[ 39 ] [ 40 ]}共鳴状態の寿命とそのエネルギー幅の関係: 素粒子物理学では、ブライト-ウィグナーエネルギー分布への実験的適合からの幅は、準安定状態または減衰状態の寿命を特徴付けるために使用されます。^{[ 41 ]}$${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2,}$$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}}$ ${\displaystyle \Delta E}$ $${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}\Delta E=\pi \hbar /4.}$$

この原理の非公式で発見的な意味は以下の通りである。^{[ 42 ]}短時間しか存在しない状態は、一定のエネルギーを持つことはできない。一定のエネルギーを持つためには、状態の周波数を正確に定義する必要があり、そのためには状態が多くのサイクル、つまり必要な精度の逆数の間存在することが必要となる。例えば、分光法では、励起状態には有限の寿命がある。時間・エネルギー不確定性原理によれば、励起状態は一定のエネルギーを持たず、崩壊するたびに放出されるエネルギーはわずかに異なる。放出される光子の平均エネルギーは状態の理論上のエネルギーでピークを持つが、分布には自然線幅と呼ばれる有限の幅がある。崩壊​​の速い状態は線幅が広く、崩壊の遅い状態は線幅が狭い。^{[ 43 ]}同じ線幅効果によって、素粒子物理学では不安定で崩壊の速い粒子の静止質量を特定することも難しくなる。粒子の崩壊が速いほど（寿命が短いほど）、その質量は不確実になります（粒子の幅が大きくなります）。

量子力学における時間

量子力学における「時間」の概念には多くの課題がある。^{[ 44 ]}時間測定の量子理論は存在しない。相対性理論は時間の基礎であると同時に量子力学に含めることが難しい。^{[ 36 ]}位置と運動量は単一の粒子に関連付けられているが、時間はシステムの特性であり、ロバートソン・シュレーディンガーの関係に必要な演算子は存在しない。^{[ 1 ]}安定した量子システムと不安定な量子システムは数学的に異なる。^{[ 45 ]}これらの要因が組み合わさって、エネルギーと時間の不確定性原理は議論の的となっている。

「時間」には3つの概念が区別される：^{[ 36 ]}外的時間、内的時間、そして観測可能時間である。外的時間、すなわち実験室時間は実験者によって観察される。内的時間は、時計の針や自由粒子の運動といった動的変数の変化から推測される。観測可能時間は、観測可能な時間、つまり時間的に隔てられた事象の測定に関するものである。

外部時間エネルギー・時間不確定性原理によれば、量子系のエネルギーをある精度で測定するには時間間隔が必要であるとされる。^{[ 38 ]}しかし、ヤキル・アハロノフとデイヴィッド・ボーム^{[ 46 ] [ 36 ]}は、一部の量子系ではエネルギーを任意の短時間で正確に測定できることを示している。つまり、外部時間不確定性原理は普遍的ではない。 ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \Delta t>h/\Delta E}$

固有時間は、次節で議論するマンデルシュタム・タム関係を含む、エネルギーと時間の不確定性関係のいくつかの定式化の基礎となる。固有時間が外部実験室時間とほぼ一致する物理系は「時計」と呼ばれる。^{[ 44 ] : 31}

観測可能時間、つまり2つの事象間の時間を測定することは量子理論にとって依然として課題であるが、正の演算子値測定概念を用いることである程度進歩が遂げられている。^{[ 36 ]}

マンデリシュタム・タム

1945年、レオニード・マンデリシュタムとイゴール・タムは、非相対論的な時間とエネルギーの不確定性関係を次のように導出した。^{[ 47 ] [ 36 ]}ハイゼンベルク力学から、明示的な時間依存性のない観測可能量Bに対する一般化エーレンフェスト定理は、自己随伴演算子によって表され、の平均値の時間依存性と、ハミルトニアンの交換子の平均とを関連付ける。 ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle .}$$

次に、ロバートソンの不確定性関係においてエネルギー演算子とを代入すると、 が得られる （分母がゼロでない場合）。これは普遍的な結果であるが、選択された観測量と、偏差と が特定の状態について計算されることに依存する。 と を特性時間として識別すると、 エネルギーと時間の関係が得られる。 は時間の次元を持つ が、シュレーディンガー方程式に入る時間パラメータtとは異なる。これは、観測量の期待値が1標準偏差に等しい量だけ変化する時間として解釈できる。 ^{[ 48 ]} 例： ${\displaystyle \langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$ $${\displaystyle \sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$ ${\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{E}}$ $${\displaystyle \tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}}$$ ${\displaystyle \Delta E\tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle ,}$

• 自由量子粒子が空間内の点を通過する時間は、状態のエネルギーがより正確に制御されるにつれて不確実性が高まる。時間の広がりは粒子の位置の広がりと関連し、エネルギーの広がりは運動量の広がりと関連しているため、この関係は位置と運動量の不確実性に直接関連している。^{[ 17 ]：144} ${\displaystyle \Delta T=\hbar /2\Delta E.}$
• 陽子と中性子に関連するクォークの準安定複合体であるデルタ粒子の寿命は10 ⁻²³ 秒であるため、その測定質量はエネルギー1232 MeV/ c ^{2に相当し、±120 MeV/} c ²の範囲で変動します。この変動は固有のものであり、測定誤差によるものではありません。^{[ 17 ] : 144}
• エネルギーが重ね合わされて複合状態を形成する2つのエネルギー状態${\displaystyle \psi _{1,2}}$ ${\displaystyle E_{1,2},}$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=a\psi _{1}(x)e^{-iE_{1}t/h}+b\psi _{2}(x)e^{-iE_{2}t/h}.}$$

この状態の確率振幅には時間依存の干渉項があります。

$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}=a^{2}|\psi _{1}(x)|^{2}+b^{2}|\psi _{2}(x)|^{2}+2ab\cos({\frac {E_{2}-E_{1}}{\hbar }}t).}$$

振動周期はエネルギー差に反比例して変化する。^{[ 17 ]：144} ${\displaystyle \tau =2\pi \hbar /(E_{2}-E_{1})}$

各例では、使用される観測可能値と状態に応じて、時間の不確実性の意味が異なります。

量子場理論

量子場の理論のいくつかの定式化では、計算において仮想粒子と呼ばれる一時的な電子-陽電子対が用いられる。これらの粒子の質量-エネルギーおよび寿命は、エネルギー-時間不確定性関係によって結び付けられる。量子系のエネルギーは、その挙動を単一の単純な履歴に限定できるほど十分に正確には分かっていない。したがって、測定/計算されたエネルギー分布の平均よりもはるかに大きい、あるいははるかに小さいエネルギーを持つ履歴も含め、すべての履歴の影響を量子計算に組み込む必要がある。

エネルギー時間不確定性原理は、エネルギー保存則を一時的にでも破るものではない。つまり、短時間内に「返却」される限り、宇宙からエネルギーを「借りる」ことができるということを意味しているわけではない。^{[ 17 ]：145} 宇宙のエネルギーは、常に正確にわかっているパラメータではない。^{[ 1 ]}非常に短い時間間隔でイベントが発生する場合、これらのイベントのエネルギーには不確定性がある。

調和解析

調和解析の文脈において、不確定性原理は、関数の値とそのフーリエ変換を同時に局所化することはできないことを意味する。すなわち、次の不等式が成り立つ。 $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {\|f\|_{2}^{4}}{16\pi ^{2}}}.}$$

さらに、上記のエントロピー不確実性を含む数学的な不確実性不等式は、関数fとそのフーリエ変換ƒ̂の間に成立する。^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ]}$${\displaystyle H_{x}+H_{\xi }\geq \log(e/2)}$$

信号処理

時間–周波数解析の文脈では、不確実性原理は、デニス・ガボールにちなんでガボール限界、またはハイゼンベルク–ガボール限界と呼ばれることもあります。以下の「ベネディックスの定理」から得られる基本的な結果は、関数が時間制限と帯域制限の両方を受けることはできない（関数とそのフーリエ変換が両方とも有界領域を持つことはできない）ということです—帯域制限と時間制限を参照してください。より正確には、時間帯域幅または持続時間帯域幅の積がを満たします 。 ここで、 と はそれぞれ時間エネルギー集中の標準偏差と周波数エネルギー集中の標準偏差です。^{[ 52 ]}最小値は、ガウス形状のパルス（ガボールウェーブレット）で達成されます[非二乗ガウス（つまり信号振幅）とその非二乗フーリエ変換振幅の場合; ] もう 1 つの一般的な測定基準は、時間と周波数の積、つまり電力/エネルギーの最大値の半分における全幅です。これは、ガウス分布の場合、次の式に等しくなります(帯域幅制限パルスを参照)。 $${\displaystyle \sigma _{t}\sigma _{f}\geq {\frac {1}{4\pi }}\approx 0.08{\text{ cycles}},}$$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{f}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}\sigma _{f}=1/2\pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2\ln 2/\pi \approx 0.44}$

言い換えれば、信号fを時間領域と周波数領域の両方で同時に明確に特定することはできません。

フィルターに適用した場合、高い時間分解能と高い周波数分解能を同時に達成することはできないという結果が示されています。具体的な例としては、短時間フーリエ変換の分解能の問題があります。広いウィンドウを使用すると、時間分解能を犠牲にして優れた周波数分解能が得られますが、狭いウィンドウを使用すると逆のトレードオフがあります。

代替定理はより正確な定量的な結果をもたらし、時間周波数解析においては、（1次元）時間領域と周波数領域を別々に解釈するのではなく、（2次元）時間周波数平面における関数の台に対する下限として極限を解釈する。実際には、ガボール限界は干渉なしに達成できる時間周波数同時分解能を制限する。より高い分解能を達成することは可能であるが、信号の異なる成分が互いに干渉するという代償を払うことになる。

その結果、過渡現象が重要な信号を解析するために、フーリエ変換の代わりに ウェーブレット変換がよく使用されます。

離散フーリエ変換

をN 個の複素数の列とし、その離散フーリエ変換をとします。 ${\displaystyle \left\{\mathbf {x_{n}} \right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {X_{k}} \right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$

時間系列における非ゼロ要素の数を、周波数系列における非ゼロ要素の数を とします。すると、 ${\displaystyle \|x\|_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \|X\|_{0}}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}}$ $${\displaystyle \|x\|_{0}\cdot \|X\|_{0}\geq N.}$$

この不等式は鋭く、xまたはXがディラック質量の場合、またはより一般的には、x がNを法とする整数の部分群でサポートされているディラック コームの 0 以外の倍数である場合に等式が達成されます(この場合、Xも相補部分群でサポートされているディラック コームであり、その逆も同様です)。

より一般的には、TとW がNを法とする整数の部分集合である場合、それぞれ 時間制限作用素と帯域制限作用素を表すものとする。ここで 、ノルムはNを法とする整数関数のヒルベルト空間上の作用素の作用素ノルムである。この不等式は信号再構成に影響を与える。^{[ 53 ]}${\displaystyle L_{T},R_{W}:\ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$ $${\displaystyle \|L_{T}R_{W}\|^{2}\leq {\frac {|T||W|}{|G|}}}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$

Nが素数のとき、より強い不等式が成り立ちます。 これはテレンス・タオ によって発見されましたが、この不等式も鋭いものです。^{[ 54 ]}$${\displaystyle \|x\|_{0}+\|X\|_{0}\geq N+1.}$$

ベネディックスの定理

アムライン・ベルティエ^{[ 55 ]}とベネディックスの定理^{[ 56 ]}は、直感的に、 fが非ゼロである点の集合とƒ̂が非ゼロである点の集合が両方とも小さくなることはできないことを示しています。

具体的には、 L ² ( R )の関数fとそのフーリエ変換ƒ̂が有限ルベーグ測度の集合上でサポートされることは不可能である。より定量的なバージョンは^{[ 57 ] [ 58 ]である。}$${\displaystyle \|f\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}\leq Ce^{C|S||\Sigma |}{\bigl (}\|f\|_{L^{2}(S^{c})}+\|{\hat {f}}\|_{L^{2}(\Sigma ^{c})}{\bigr )}~.}$$

因子Ce ^{C | S || Σ |は}Ce ^{C (| S || Σ |) 1/ d}に置き換えられると考えられますが、これはSまたはΣ のいずれかが凸である場合にのみ知られています。

ハーディの不確定性原理

数学者GHハーディは、次のような不確定性原理を定式化した。^{[ 59 ]} fとƒ̂が両方とも「非常に急速に減少する」ことはあり得ない。具体的には、fが（整数） と なるような 場合 、 ab > 1であればf = 0となり、 ab = 1であればN次の多項式Pが存在し、${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle |f(x)|\leq C(1+|x|)^{N}e^{-a\pi x^{2}}}$$ $${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq C(1+|\xi |)^{N}e^{-b\pi \xi ^{2}}}$$ ${\displaystyle C>0,N}$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-a\pi x^{2}}.}$$

これは後に次のように改良されました: が成り立つ 場合、 となり、 ここ でP は次数( N − d )/2の多項式であり、A は実数d × d の正定値行列です。 ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)||{\hat {f}}(\xi )|{\frac {e^{\pi |\langle x,\xi \rangle |}}{(1+|x|+|\xi |)^{N}}}\,dx\,d\xi <+\infty ~,}$$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

この結果は、Beurlingの全著作では証明なしに述べられており、Hörmander ^{[ 60 ]}（ の場合）とBonami、Demange、Jaming ^{[ 61 ]}によって一般の場合が証明されている。Hörmander–Beurlingのバージョンは、ハーディの定理におけるab > 1の場合を暗示しているのに対し、Bonami–Demange–Jamingのバージョンはハーディの定理の完全な強さをカバーしていることに注意されたい。Liouvilleの定理に基づくBeurlingの定理の別の証明は、文献^{[ 62 ]に掲載されている。}${\displaystyle d=1,N=0}$

ab < 1の場合の詳細な説明と、それに続くシュワルツ類分布への拡張については、文献^{[ 63 ]に記載されている。}

定理—緩和分布が であり 、 ある便利な多項式Pとd × d型の実正定値行列Aに対して で ある 場合。 ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle e^{\pi |x|^{2}}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$$ $${\displaystyle e^{\pi |\xi |^{2}}{\hat {f}}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})~,}$$ $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

追加の不確実性関係

ハイゼンベルク限界

量子計測学、特に干渉計において、ハイゼンベルク限界とは、測定精度が測定に用いられるエネルギーに比例する最適な速度である。典型的には、これは（ビームスプリッターの一方のアームに適用される）位相の測定であり、エネルギーは干渉計で使用される光子の数によって与えられる。ハイゼンベルク限界を破ったと主張する人もいるが、これはスケーリング資源の定義に関する意見の相違を反映している。^{[ 64 ]}適切に定義されれば、ハイゼンベルク限界は量子力学の基本原理の結果であり、弱いハイゼンベルク限界は破ることができるが、ハイゼンベルク限界は破ることができない。^{[ 65 ]}

体系的および統計的誤差

上記の不等式は、標準偏差によって定量化された観測量の統計的不正確さに焦点を当てています。しかし、ハイゼンベルクの元のバージョンは、測定装置によって生じる量子システムの擾乱、すなわち観測者効果である系統的誤差を扱っていました。 ${\displaystyle \sigma }$

観測量Aの測定誤差（つまり不正確さ）と、共役変数Bのその後の測定にAの以前の測定によって生じる擾乱を表すとすると、小澤正直によって提案された不等式（系統的誤差と統計的誤差の両方を含む）が成り立ちます。^{[ 66 ]}${\displaystyle \varepsilon _{A}}$ ${\displaystyle \eta _{B}}$

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

1927年に初めて定式化されたハイゼンベルクの不確定性原理は、系統的誤差に関する小澤不等式の第1項のみに言及している。上記の表記法を用いて、連続測定（最初にA、次にB ）の誤差／擾乱効果を記述すると、次のように表される 。

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

ハイゼンベルクの関係式の正式な導出は可能だが、直感的とは程遠い。これはハイゼンベルク自身が提唱したものではなく、近年になって初めて数学的に整合した形で定式化された。[67] [68] また、ハイゼンベルク^{の定式化では、固有の}統計誤差やが^考慮 されていないことにも注意が必要である。量子不確定性全体^{はハイゼンベルク項だけでは記述できず、小澤不等式の3つの項すべてが必要であることを示す}実験的証拠が増えている^[ 69] [70] [71] [72 ^{] 。}${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$

同じ形式論^{[ 1 ]}を使用して、前のものと混同されることが多い別の種類の物理的状況、つまり同時測定（AとBを同時に測定）のケースを導入することもできます。

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\varepsilon _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

AとBの2つの同時測定は必然的に^{[ 73 ]}不鮮明または弱いものとなる。

小澤の不確定性関係と同様に、統計的誤差と系統的誤差の両方の要素を組み合わせながらも、ハイゼンベルクの元の不等式に非常に近い形を保つ不確定性関係を導くことも可能である。ロバートソン^{[ 1 ]を加えると、}

${\displaystyle \sigma _{A}\,\sigma _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

と小澤の関係から、 4つの項は次のように表すことができます。 定義： を変数Aの測定値の不正確さ と共役 変数Bの結果としての変動 として、カズオ・フジカワ^{[ 74 ]}はハイゼンベルクの元の関係に似ていますが、系統的誤差と統計的誤差の両方に有効な不確定性関係を確立しました。 $${\displaystyle \varepsilon _{A}\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}+\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$ $${\displaystyle (\varepsilon _{A}+\sigma _{A})\,(\eta _{B}+\sigma _{B})\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$ $${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,\equiv \,(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})}$$ $${\displaystyle {\bar {\eta }}_{B}\,\equiv \,(\eta _{B}+\sigma _{B})}$$

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,{\bar {\eta }}_{B}\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

量子エントロピー不確定性原理

多くの分布において、標準偏差は構造を定量化する上で特に自然な方法ではありません。例えば、観測量の1つが角度である不確定性関係は、1周期よりも大きな変動に対しては物理的な意味をほとんど持ちません。^{[ 22 ] [ 75 ] [ 76 ] [ 77 ]}その他の例としては、高度に二峰性の分布や、分散が発散する単峰性分布などが挙げられます。

これらの問題を克服する解決策は、分散の積ではなくエントロピー的不確実性に基づく不確定性である。 1957年に量子力学の多世界解釈を定式化する際に、ヒュー・エヴェレット3世は、エントロピー的確実性に基づく不確定性原理のより強力な拡張を予想した。^{[ 78 ]}この予想は、I.I.ヒルシュマン^{[ 79 ]}によっても研究され、1975年にW.ベックナー^{[ 80 ]}とイヴォ・ビアリニッキ＝ビルラおよびイェジ・ミチェルスキ^{[ 81 ]}によって証明された。これは、2つの正規化された無次元フーリエ変換のペアf ( a )とg ( b )に対して、

${\displaystyle f(a)=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\ e^{2\pi iab}\,db}$    そして   ${\displaystyle \,\,\,g(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\ e^{-2\pi iab}\,da}$

シャノン情報エントロピーは 、 以下の制約を受ける。 $${\displaystyle H_{a}=-\int _{-\infty }^{\infty }|f(a)|^{2}\log |f(a)|^{2}\,da,}$$ $${\displaystyle H_{b}=-\int _{-\infty }^{\infty }|g(b)|^{2}\log |g(b)|^{2}\,db}$$

${\displaystyle H_{a}+H_{b}\geq \log(e/2)}$

ここで、対数は任意の底を取ることができます。

位置波動関数ψ ( x )と運動量波動関数φ ( x )に関連する確率分布関数は、それぞれ長さと運動量の逆数の次元を持つが、エントロピーは次のように無次元化できる 。 ここで、x ₀とp ₀はそれぞれ任意の長さと運動量であり、対数の引数は無次元となる。エントロピーはこれらの選択されたパラメータの関数となることに注意されたい。位置波動関数ψ ( x )と運動量波動関数φ ( p )の間のフーリエ変換関係により、上記の制約は対応するエントロピーに対して次のように表される。 $${\displaystyle H_{x}=-\int |\psi (x)|^{2}\ln \left(x_{0}\,|\psi (x)|^{2}\right)dx=-\left\langle \ln \left(x_{0}\,\left|\psi (x)\right|^{2}\right)\right\rangle }$$ $${\displaystyle H_{p}=-\int |\varphi (p)|^{2}\ln(p_{0}\,|\varphi (p)|^{2})\,dp=-\left\langle \ln(p_{0}\left|\varphi (p)\right|^{2})\right\rangle }$$

${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)}$

ここでhはプランク定数です。

x ₀ p ₀の積の選択に応じて、この式は様々な方法で表すことができます。x 0 p _0をhとすると、 $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$

代わりにx ₀ p ₀が と選択された場合、 ${\displaystyle \hbar }$ $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log(e\,\pi )}$$

どのような単位系を用いて もx ₀とp ₀が1とすれば、 h は選択された単位系におけるプランク定数の値に等しい無次元数として解釈される。これらの不等式は、多モード量子状態、あるいは複数の空間次元における波動関数にも拡張できることに注意されたい。^{[ 82 ]}$${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2}}\right)}$$

量子エントロピー的不確定性原理は、ハイゼンベルクの不確定性原理よりも制約が強い。逆対数ソボレフ不等式^{[ 83 ]} （つまり、正規分布は与えられた分散を持つすべての分布のエントロピーを最大化するという事実）から、このエントロピー的不確定性原理は標準偏差に基づく不確定性原理よりも強いことが容易に分かる。 $${\displaystyle H_{x}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{x}^{2}/x_{0}^{2})~,}$$ $${\displaystyle H_{p}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{p}^{2}/p_{0}^{2})~,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}\exp \left(H_{x}+H_{p}-\log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

言い換えれば、ハイゼンベルクの不確定性原理は量子エントロピーの不確定性原理の帰結であり、その逆は成り立ちません。これらの不等式についていくつか注意点を挙げます。まず、底 eの選択は物理学における一般的な慣習です。対数は、不等式の両辺で矛盾がなければ、任意の底を取ることができます。次に、量子フォン・ノイマン・エントロピーではなく、シャノン・エントロピーが使用されていることに注意してください。最後に、正規分布は不等式を飽和させますが、これはこの特性を持つ唯一の分布です。なぜなら、正規分布は固定分散を持つ分布の中で最大エントロピー確率分布だからです（証明は こちらを参照）。

正規分布のエントロピー的不確実性

この方法をQHOの基底状態に適用して実証する。QHOは、上述のように標準偏差に基づく通常の不確かさを飽和させる。長さのスケールは任意の値に設定できるので、 $${\displaystyle x_{0}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)}\\&=\left({\frac {1}{2\pi x_{0}^{2}}}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4x_{0}^{2}}}\right)}\end{aligned}}}$$ 確率分布は シャノンエントロピーを持つ 正規分布である$${\displaystyle |\psi (x)|^{2}={\frac {1}{x_{0}{\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{2x_{0}^{2}}}\right)}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=-\int |\psi (x)|^{2}\ln(|\psi (x)|^{2}\cdot x_{0})\,dx\\&=-{\frac {1}{x_{0}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{2x_{0}^{2}}}\right)}\ln \left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{2x_{0}^{2}}}\right)}\right]\,dx\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)}\left[\ln({\sqrt {2\pi }})+{\frac {u^{2}}{2}}\right]\,du\\&=\ln({\sqrt {2\pi }})+{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$ 運動量分布についても全く同様の計算が行われます。標準運動量として を選びます。 ${\displaystyle p_{0}=\hbar /x_{0}}$ $${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {2x_{0}^{2}}{\pi \hbar ^{2}}}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {x_{0}^{2}p^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)}}$$ $${\displaystyle |\varphi (p)|^{2}={\sqrt {\frac {2x_{0}^{2}}{\pi \hbar ^{2}}}}\exp {\left(-{\frac {2x_{0}^{2}p^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{p}&=-\int |\varphi (p)|^{2}\ln(|\varphi (p)|^{2}\cdot \hbar /x_{0})\,dp\\&=-{\sqrt {\frac {2x_{0}^{2}}{\pi \hbar ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {2x_{0}^{2}p^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)}\ln \left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp {\left(-{\frac {2x_{0}^{2}p^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)}\right]\,dp\\&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-2v^{2}\right)}\left[\ln \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\right)+2v^{2}\right]\,dv\\&=\ln \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$ エントロピー不確実性は限界値である $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}+H_{p}&=\ln({\sqrt {2\pi }})+{\frac {1}{2}}+\ln \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\\&=1+\ln \pi =\ln(e\pi ).\end{aligned}}}$$

測定装置は、出力をビンに離散分割することで有限の解像度を持ち、いずれかのビンに含まれる確率はボルン則によって与えられる。ここでは、ビンが均一な大きさである最も一般的な実験状況を考える。空間解像度の尺度をδxとする。ゼロ番目のビンは原点付近を中心とし、場合によっては小さな定数オフセットcを持つものとする。幅δxのj番目の区間に含まれる確率は、 $${\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\int _{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}|\psi (x)|^{2}\,dx}$$

この離散化を考慮するために、与えられた測定装置における波動関数のシャノンエントロピーを次のように定義することができる。 $${\displaystyle H_{x}=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}].}$$

上記の定義によれば、エントロピー的不確定性関係は $${\displaystyle H_{x}+H_{p}>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln \left({\frac {\delta x\delta p}{h}}\right).}$$

ここで、 δx δp / hは、分配関数の計算に用いられる典型的な無限小位相空間体積であることに注意する。この不等式も厳密であり、飽和していない。この上界を改善するための取り組みは、活発な研究分野である。

正規分布の例

まず、この方法を QHO の基底状態で実証します。これは、上で説明したように、標準偏差に基づく通常の不確実性を飽和させます。 $${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)}}$$ これらのビンのいずれかに含まれる確率は、誤差関数で表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [x_{j}]&={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}\int _{(j-1/2)\delta x}^{(j+1/2)\delta x}\exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{\hbar }}\right)\,dx\\&={\sqrt {\frac {1}{\pi }}}\int _{(j-1/2)\delta x{\sqrt {m\omega /\hbar }}}^{(j+1/2)\delta x{\sqrt {m\omega /\hbar }}}e^{u^{2}}\,du\\&={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left(\left(j+{\frac {1}{2}}\right)\delta x\cdot {\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}\right)-\operatorname {erf} \left(\left(j-{\frac {1}{2}}\right)\delta x\cdot {\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}\right)\right]\end{aligned}}}$$ 運動量確率は完全に類似しています。 $${\displaystyle \operatorname {P} [p_{j}]={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left(\left(j+{\frac {1}{2}}\right)\delta p\cdot {\frac {1}{\sqrt {\hbar m\omega }}}\right)-\operatorname {erf} \left(\left(j-{\frac {1}{2}}\right)\delta x\cdot {\frac {1}{\sqrt {\hbar m\omega }}}\right)\right]}$$ 簡単にするために、確率が次のように減少するように 解像度を設定する。 $${\displaystyle \delta x={\sqrt {\frac {h}{m\omega }}}}$$ $${\displaystyle \delta p={\sqrt {hm\omega }}}$$ $${\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\operatorname {P} [p_{j}]={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left(\left(j+{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {2\pi }}\right)-\operatorname {erf} \left(\left(j-{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {2\pi }}\right)\right]}$$ シャノンエントロピーは数値的に評価できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}=H_{p}&=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}]\\&=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left(\left(j+{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {2\pi }}\right)-\operatorname {erf} \left(\left(j-{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {2\pi }}\right)\right]\ln {\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left(\left(j+{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {2\pi }}\right)-\operatorname {erf} \left(\left(j-{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {2\pi }}\right)\right]\\&\approx 0.3226\end{aligned}}}$$ エントロピーの不確実性は確かに限界値よりも大きいです。 $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\approx 0.3226+0.3226=0.6452>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln 1\approx 0.3069}$$ 最適なケースであるにもかかわらず、不等式は飽和していないことに注意してください。

シンク関数の例

無限分散を持つ単峰分布の例としては、sinc関数が挙げられる。波動関数が正しく正規化された一様分布である場合、 $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}{1}/{\sqrt {2a}}&{\text{for }}|x|\leq a,\\[8pt]0&{\text{for }}|x|>a\end{cases}}}$$ すると、そのフーリエ変換はsinc関数となり、 中心関数の形状を持つにもかかわらず、運動量分散は無限大となる。一方、エントロピー不確実性は有限である。簡単のため、空間分解能は2ビン測定、δx  =  a、運動量分解能はδp  =  h / aと仮定する。 $${\displaystyle \varphi (p)={\sqrt {\frac {a}{\pi \hbar }}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {ap}{\hbar }}\right)}$$  一様空間分布を2つの等しいビンに分割するのは簡単です。2つのビンが分布をまたぐように、 オフセットc = 1/2を設定します。$${\displaystyle \operatorname {P} [x_{0}]=\int _{-a}^{0}{\frac {1}{2a}}\,dx={\frac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {P} [x_{1}]=\int _{0}^{a}{\frac {1}{2a}}\,dx={\frac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle H_{x}=-\sum _{j=0}^{1}\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}]=-{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1}{2}}=\ln 2}$$ 運動量のビンは実数直線全体をカバーする必要があります。空間分布の場合と同様に、オフセットを適用することもできます。しかし、運動量の0番目のビンを原点に中心を置くと、シャノンエントロピーが最小化されることがわかります。（読者の皆さんはオフセットを追加してみることをお勧めします。）任意の運動量ビン内に存在する確率は、正弦積分で表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [p_{j}]&={\frac {a}{\pi \hbar }}\int _{(j-1/2)\delta p}^{(j+1/2)\delta p}\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {ap}{\hbar }}\right)\,dp\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{2\pi (j-1/2)}^{2\pi (j+1/2)}\operatorname {sinc} ^{2}(u)\,du\\&={\frac {1}{\pi }}\left[\operatorname {Si} ((4j+2)\pi )-\operatorname {Si} ((4j-2)\pi )\right]\end{aligned}}}$$ シャノンエントロピーは数値的に評価できます。 $${\displaystyle H_{p}=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [p_{j}]\ln \operatorname {P} [p_{j}]=-\operatorname {P} [p_{0}]\ln \operatorname {P} [p_{0}]-2\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\operatorname {P} [p_{j}]\ln \operatorname {P} [p_{j}]\approx 0.53}$$ エントロピーの不確実性は確かに限界値よりも大きいです。 $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\approx 0.69+0.53=1.22>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln 1\approx 0.31}$$

3つの角運動量成分の不確定性関係

全角運動量 の粒子に対して、次の不確定性関係が成り立つ 。 ここで、は角運動量成分である。この関係は 、および から導かれる。 この関係は、次のように強化することができる。 ^{[ 30 ] [ 84 ]} ここで、は量子フィッシャー情報量である。 ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+\sigma _{J_{z}}^{2}\geq j,}$$ ${\displaystyle J_{l}}$ $${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle =j(j+1),}$$ $${\displaystyle \langle J_{x}\rangle ^{2}+\langle J_{y}\rangle ^{2}+\langle J_{z}\rangle ^{2}\leq j.}$$ $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j,}$$ ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,J_{z}]}$

歴史

1925年、ハイゼンベルクは「再解釈」論文を発表し、量子論の中心的な側面は非可換性にあることを示した。この理論は、位置と運動量の測定における相対的な順序が重要であることを示唆していた。彼はマックス・ボルンとパスクアル・ジョルダンと共同で、行列力学の開発を続け、これが現代量子力学の最初の定式化となった。^{[ 85 ]}

ヴェルナー・ハイゼンベルクとニールス・ボーア

1926年3月、ボーアの研究所で研究していたハイゼンベルクは、非可換性が不確定性原理を意味することに気づいた。1927年2月にヴォルフガング・パウリに宛てた手紙の中で、彼はその基本概念を解明した。^{[ 86 ]}

ハイゼンベルクは1927年の著名な論文『量子論的運動学と力学の知覚内容について』において、この式をあらゆる位置測定によって生じる避けられない運動量擾乱の最小量として確立した^{[ 2 ]。}しかし、彼は不確実性ΔxとΔpについて正確な定義を与えなかった。その代わりに、彼はそれぞれの場合について妥当な推定値を個別に与えた。彼の論文では顕微鏡を用いた分析が行われたが、ボーアはそれが誤りであることを示しており、ハイゼンベルクは論文に補遺を加えた。

1930年のシカゴ講演^{[ 87 ]}で彼はその原理をさらに洗練させた。

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\gtrsim h}$

A1

その後の研究でこの概念は拡張されました。交換関係にない2つの変数は同時に測定することはできません。つまり、片方の変数の精度が高ければ高いほど、もう片方の変数の精度は低くなるのです。ハイゼンベルクは次のように記しています。

これを最も単純な形で表現すると、次のように言える。「最小の粒子の一つの運動を決定する二つの重要な要素、すなわちその位置と速度の両方を、完全な正確さで知ることは決してできない。粒子の位置と方向と速度を同時に正確に決定することは不可能である。^{」[ 88 ]}

ケナード^{[ 6 ] [ 1 ] :204は} 1927年に初めて現代の不等式を証明した。

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

A2

ここでħ = ⁠h/2π​⁠、 σ _x、 σ _pは位置と運動量の標準偏差です。（ハイゼンベルクは関係式（ A2）をガウス状態の特殊なケースについてのみ証明しました。 ^{[ 87 ]}）1929年にロバートソンはこの不等式をすべての観測量に一般化し、1930年にシュレーディンガーはこの形式を拡張して演算子の非ゼロ共分散を許容しました。この結果はロバートソン・シュレーディンガー不等式と呼ばれています。 ^{[ 1 ]：204}

用語と翻訳

1927年にドイツ語で書かれたハイゼンベルクの論文本文全体を通して、彼は理論の基本原理を説明するために「Ungenauigkeit」 （不正確さ） ^{[ 2 ]} （英訳：Ungenauigkeit）[2] （英訳：Imprecision）という語を用いていた。脚注においてのみ「Unsicherheit」（英訳：Uncertainty）という語に切り替えた。その後、彼は常に「Unbestimmtheit」（英訳：Indefiniteness）という語を用いた。しかし、1930年にハイゼンベルクの教科書『量子論の物理的原理』の英語版が出版された際には、英語の「uncertainty」という語のみが用いられ、それが英語の用語となった。^{[ 89 ]}

ハイゼンベルクの顕微鏡

電子の位置を特定するためのハイゼンベルクのガンマ線顕微鏡（青色で表示）。入射ガンマ線（緑色で表示）は電子によって散乱され、顕微鏡の開口角θまで到達する。散乱ガンマ線は赤色で表示されている。古典光学によれば、電子の位置は、 θと入射光の波長λに依存する不確かさ Δ xまでしか特定できない。

この原理は極めて直感に反するため、初期の量子論研究者たちは、この原理に違反するような単純な測定は常に実行不可能であることを確信せざるを得なかった。ハイゼンベルクが不確定性原理の破れが本質的に不可能であることを最初に示した方法の一つは、仮想の顕微鏡を測定装置として用いた観測者効果であった。 ^{[ 87 ]}

彼は、実験者が光子を照射して電子の位置と運動量を測定しようとしているところを想像している。^{[ 90 ]：49–50}

• 問題1 – 光子の波長が短く、したがって運動量が大きい場合、位置を正確に測定できます。しかし、光子はランダムな方向に散乱し、電子に大きな不確定な運動量を渡します。光子の波長が長く、運動量が低い場合、衝突は電子の運動量をそれほど乱しませんが、散乱によって位置は漠然としか分かりません。
• 問題2 –顕微鏡に大きな開口部を使用すると、電子の位置は十分に分解できます（レイリーの基準を参照）。しかし、運動量保存の原理により、入射光子の横方向運動量は電子のビームライン運動量に影響を与えるため、電子の新しい運動量の分解は不十分になります。小さな開口部を使用すると、両方の分解能の精度は逆転します。

これらのトレードオフの組み合わせは、どのような光子波長と開口部のサイズが使用されても、測定された位置と測定された運動量の不確実性の積が下限以上になることを意味しており、これは（小さな数値係数を除いて）プランク定数に等しい。^{[ 91 ]}ハイゼンベルクは不確定性原理を正確な限界として定式化することを気にせず、代わりに小さな数値係数まで修正された発見的な定量的記述として使用することを好み、それが量子力学の根本的に新しい非可換性を不可避にする。

固有の量子不確定性

歴史的に、不確定性原理は物理学における関連効果である観測者効果と混同されてきました^{[ 92 ] [ 66 ]} 。観測者効果とは、あるシステムの測定は、システムに影響を与えることなく、つまりシステム内の何かを変えることなく行うことができないというものです^{[ 93 ] [ 94 ]}。ハイゼンベルクは、量子レベル（下記参照）におけるこのような観測者効果を量子不確定性の物理的な「説明」として用いました^{[ 95 ]} 。しかしその後、不確定性原理はすべての波動系の性質に内在しており^{[ 69 ]}、量子力学においてはすべての量子物体の物質波動性によって生じることが明らかになりました^{[ 96 ]} 。したがって、不確定性原理は実際には量子系の基本的な性質を述べているものであり、現在の技術の観測の成功を述べているものではありません^{[ 97 ] 。}

批判的な反応

実際、量子力学のコペンハーゲン解釈とハイゼンベルクの不確定性原理は、当初、批判者によって対になる標的とみなされていました。量子力学のコペンハーゲン解釈によれば、量子状態が記述する根本的な実在は存在せず、実験結果を計算するための規定のみが存在するとされています。系の状態が根本的に何であるかを述べる方法はなく、観測結果が何であるかを述べることしかできないのです。

アルバート・アインシュタインは、ランダム性は現実の根本的な性質に対する我々の無知を反映していると信じていました。一方、ニールス・ボーアは、確率分布は根本的かつ既約であり、我々がどのような測定を行うかによって決まると信じていました。アインシュタインとボーアは、不確定性原理について長年にわたり議論を交わしました。

理想的な客観的な観察者

ヴォルフガング・パウリは、不確定性原理に対するアインシュタインの根本的な反論を「客観的な観察者の理想」と呼んだ（ドイツ語からの翻訳フレーズ）。

「月が明確な位置を持っているように」とアインシュタインは昨冬、私に言った。「私たちが月を見るかどうかに関わらず、原子核にも同様のことが当てはまるはずだ。なぜなら、原子核とマクロな物体の間には明確な区別が不可能だからだ。観察は位置のような現実の要素を作り出すことはできない。物理的現実の完全な記述の中には、実際に観察が行われる前から、位置を観察する可能性に対応する何かが含まれているはずだ。」アインシュタインの言葉を正しく引用できていれば幸いだ。記憶から、自分の意見と異なる人物を引用するのは、常に難しい。まさにこの種の仮定こそが、私が「超然とした観察者の理想」と呼んでいるものだ。

— パウリからニールス・ボーアへの手紙、1955年2月15日^{[ 98 ]}

アインシュタインのスリット

不確定性原理に挑戦する アインシュタインの最初の思考実験は次の通りです。

幅dのスリットを通過する粒子を考えてみましょう。スリットは運動量に約 ⁠ の不確実性をもたらします。h/d⁠粒子は壁を通過するからです。しかし、壁からの反動を測定することで粒子の運動量を求めましょう。そうすることで、運動量保存則によって粒子の運動量を任意の精度で求めることができます。

ボーアの反論は、壁も量子力学的であり、反跳運動をΔ pの精度で測定するには、粒子が壁を通過する前に壁の運動量をこの精度で知っておく必要があるというものでした。これは壁の位置、ひいてはスリットの位置の不確実性をもたらします。その不確実性は⁠h/Δ p⁠、そして壁の運動量が反動を測定できるほど正確にわかっている場合、スリットの位置は位置測定が不可能なほど不確実です。

複数のスリットを通過する粒子の回折に関する同様の分析は、リチャード・ファインマンによって行われている。^{[ 99 ]}

アインシュタインの箱

ボーアは、アインシュタインが「アインシュタインの箱」として知られる思考実験を提唱した際に同席していました。アインシュタインは、「ハイゼンベルクの不確定性方程式は、時間の不確定性はエネルギーの不確定性と関連しており、両者の積はプランク定数と関連している」と主張しました。^{[ 100 ]}彼は、光を無限に閉じ込めることができるように鏡が並べられた理想的な箱を考えてみましょう。時計仕掛けの機構が理想的なシャッターを特定の瞬間に開き、光子を1つだけ放出する前に、箱の重さを測ることができます。「これで、光子が箱から出た正確な時刻が分かりました」とアインシュタインは説明しました。^{[ 101 ]}「さて、もう一度箱の重さを測ってみましょう。質量の変化から、放出された光のエネルギーが分かります。このようにして、不確定性原理に反して、放出されたエネルギーとその放出時間を任意の精度で測定できるとアインシュタインは言いました。」^{[ 100 ]}

ボーアはこの議論を一晩中考え続け、最終的にそれが誤りであることに気づきました。彼は、箱の重さを、例えばバネと秤の針で測る場合、「箱は重さの変化に伴って垂直方向に移動するため、垂直方向の速度に不確実性が生じ、ひいては台からの高さにも不確実性が生じる。…さらに、地表からの高度に関する不確実性は、時計の速度にも不確実性をもたらす」と指摘しました。 ^{[ 102 ]}これは、アインシュタイン自身の重力が時間に与える影響に関する理論によるものです。「この一連の不確実性を通して、ボーアはアインシュタインの光箱実験では、光子のエネルギーと脱出時間の両方を正確に同時に測定できないことを示したのです。」^{[ 103 ]}

エンタングルメント粒子のEPRパラドックス

1935年、アインシュタイン、ボリス・ポドルスキー、ネイサン・ローゼンは、空間的に分離されたエンタングル粒子（EPRパラドックス）の解析を発表しました。 ^{[ 104 ]} EPRによれば、エンタングル粒子の一方の位置ともう一方の粒子の運動量を測定し、それらの測定値から両方の粒子の位置と運動量を任意の精度で推定することができ、不確定性原理に違反します。このような可能性を回避するためには、一方の粒子の測定は、もう一方の粒子の確率分布を瞬時に変更する必要があり、局所性原理に違反する可能性があります。^{[ 105 ]}

1964年、ジョン・スチュワート・ベルは、この仮定は異なる実験の確率間に一定の不等性が生じることを示唆するため、反証可能であることを示しました。実験結果は量子力学の予測を裏付け、EPRの局所的隠れた変数という基本仮定を否定しました。

ポパーの批判

科学哲学者カール・ポパーは、論理学者であり形而上学的実在論者として不確定性の問題に取り組んだ。^{[ 106 ]}彼は不確定性関係を、同一に準備された粒子の集団ではなく個々の粒子に適用することに反対し、それを「統計的散乱関係」と呼んだ。^{[ 106 ] [ 107 ]}この統計的解釈では、量子論を無効にすることなく、特定の測定を任意の精度で行うことができる。

1934年、ポパーは『自然科学』誌[ ^{108 ]}に「不確定性関係批判」を、また同年に『科学的発見の論理』 ^（ 1959年に著者自身によって翻訳・改訂され『科学的発見の論理』となった^{[ 106 ]}）を刊行し、統計的解釈の論拠を概説した。1982年には『量子論と物理学の分裂』で自身の理論をさらに発展させ、次のように記した。

[ハイゼンベルクの]公式は、疑いの余地なく、量子論から導出可能な統計公式である。しかし、これらの公式は測定精度の上限を定めるものとして解釈できると主張する量子理論家たちによって、常習的に誤解されてきた。[原文強調] ^{[ 109 ]}

ポッパーは不確定性関係を否定する実験を提案したが、後にカール・フリードリヒ・フォン・ヴァイツゼッカー、ハイゼンベルク、アインシュタインとの議論の末、当初の提案を撤回した。ポッパーはその論文をアインシュタインに送り、それがEPRパラドックスの定式化に影響を与えた可能性がある。^{[ 110 ] : 720}

自由意志

アーサー・コンプトン^{[ 111 ]}やマルティン・ハイゼンベルク[ ^{112 ]}を含む一部の科学者は、不確定性原理、あるいは少なくとも量子力学の一般的な確率的性質が、自由意志の二段階モデル​​の証拠になり得ると示唆している。しかしながら、化学の基礎としての量子力学の基本的な役割を除けば、^室温での量子系のデコヒーレンス時間が短いため、量子力学を必要とする非自明な生物学的メカニズムは考えにくいという批判もある。 ^{[ 113 ]}この理論の支持者は、このデコヒーレンスは生物学的細胞に見られる遮蔽部分空間とデコヒーレンスフリー部分空間の両方によって克服されると一般的に主張している。 ^{[ 113 ]}

熱力学

不確定性原理に違反することは、熱力学の第二法則にも違反することを強く示唆していると考えられる理由がある。^{[ 114 ]}ギブスのパラドックスを参照。

原則の拒否

不確定性原理は、量子粒子（例えば電子）を、位置と運動量といった古典的な概念に関連付ける。これは、量子粒子が位置と運動量を持つことを前提としている。エドウィン・C・ケンブルは1937年に^{[ 115 ]}、このような性質は実験的に検証できず、存在すると仮定すると多くの矛盾が生じると指摘した。同様に、ルドルフ・ハーグは、量子力学における位置は、例えば電子と検出器との間の相互作用の属性であり、固有の性質ではないと指摘している^{[ 116 ] 。 [ 117 ]}この観点から見ると、不確定性原理は基本的な量子特性ではなく、ケンブルが言うように「先祖の言語から受け継がれた」概念である。

アプリケーション

不確定性原理は量子力学における基本的な結果であるため、量子力学の典型的な実験では、その側面が日常的に観察されています。素粒子物理学を含むあらゆる分光学では、この関係を用いて測定されたエネルギー線幅と量子状態の寿命を関連付けています。しかし、特定の実験では、主要な研究プログラムの一環として、特定の形態の不確定性原理を意図的に検証することがあります。これには、例えば、超伝導^{[ 118 ]}や量子光学^{[ 119 ]}システムにおける数と位相の不確定性関係の検証が含まれます。不確定性原理に依存して動作するアプリケーションには、重力波干渉計に必要なような極低ノイズ技術が含まれます。^{[ 120 ]}

参照

• 対応原理 – ニールス・ボーアによって定式化された物理学の原理
• グッドハートの法則 - 統計的尺度に関する格言 - 統計的尺度を制御（指示）の目的で使用しようとすると、その統計的妥当性は崩壊する
• 量子力学入門 – 数学を使わない入門
• キュプフミュラーの不確定性原理
• 量子不確定性 – 量子システムを測定する前には明確な状態が存在しないように見えること
• 量子重ね合わせ – 量子力学の原理
• 量子トンネル効果 – 量子力学的現象
• 物理学とその先 - ヴェルナー・ハイゼンベルク著、1969年（ハイゼンベルクの回想録）
• より強い不確定性関係 – ハイゼンベルクの原理のその後の発展

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外部リンク

• 「不確定性原理」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• スタンフォード哲学百科事典の項目