台形
| 双対一様n角台形集合 | |
|---|---|
 例: 双対一様五角形台形( n = 5 ) | |
| タイプ | 双対半正多面体の意味での双対均一 |
| 顔 | 2 n 個の合同な凧 |
| エッジ | 4 n |
| 頂点 | 2n + 2 |
| 頂点構成 | V3.3.3. n |
| シュレーフリ記号 | { } ⨁ { n } [ 1 ] |
| コンウェイ記法 | dA n |
| コクセター図 |     |
| 対称群 | D n d , [2 + ,2 n ], (2* n )、次数4 n |
| 回転グループ | D n , [2, n ] + , (22 n )、次数2 n |
| 二重多面体 | （凸）一様n角形反プリズム |
| プロパティ | 凸、面推移、正則頂点[ 2 ] |
幾何学において、n -角形台面体、n -トラペゾヘドロン、n -反二角錐、n -反二角錐、n -三角面体、またはn -反正多面体[ 3 ] [ 4 ]は、 n -角形反角柱の双対多面体である。n -台面体の2 n 個の面は合同で対称的にずらされており、ねじれた凧形と呼ばれる。対称性が高い場合、その2 n個の面は凧形（台形または三角面体と呼ばれることもある）である。[ 5 ]これらは、不規則な三角形を持つ半対称の変種である不等辺三角面体と位相的に関連している。
3次元の反プリズムに高次元で一貫した類似物が存在しないため、同様に3次元台形にも一般的な一般化は存在しません。「n角形」という名称は、ここでは面ではなく、n回対称軸を中心としたn個の頂点の2つの配置を指します。双対n角形反プリズムは、実際には2つのn角形面を持ちます。n角形台形は、 2つの等しいn角形ピラミッドと1つのn角形反プリズムに分解できます。
用語
これらの図形はデルタヘドラ[3]と呼ばれることもありますが、面が正三角形であるデルタヘドラ[ 4 ] と混同しないでください。
ねじれた三方台形、正方台形、六方台形（6、8、12個のねじれた合同な凧面を持つ）が結晶として存在する。結晶学（鉱物の晶癖を記述する）では、これらは単に三方台形、正方台形、六方台形と呼ばれる。これらには対称面も反転対称中心もないが、 [ 6 ] [ 7 ] 、対称中心、つまり対称軸の交点は存在する。三方台形には、3つの2回対称軸に垂直な1つの3回対称軸がある。 [ 6 ]正方台形には、2種類の4つの2回対称軸に垂直な1つの4回対称軸がある。六角台形には1本の6回対称軸があり、これは2種類の2回対称軸6本に垂直である。 [ 8 ]
原子の結晶配列は、三角台形や六角台形格子で空間的に繰り返されることがある。[ 9 ]
結晶学においても、台形多面体という言葉は、 24個の合同な捩れのない凧面を持つ多面体を指すことが多い。これは、正式名称を三角錐二十四面体[ 10 ]といい、18個の4次頂点と8個の3次頂点を持つ。これは、同じく24個の合同な凧面を持つ十二角形台形多面体と混同しないように注意する必要がある。十二角形台形多面体も24個の合同な凧面を持つが、2個の12次頂点（すなわち極）と、それぞれ12個の3次頂点からなる2つの環を持つ。
結晶学において、三角正十二面体[ 11 ]は、12個の合同なねじれのない凧面、6個の4次頂点、8個の3次頂点を持つ（菱形正十二面体は特別な場合）。これは、 12個の合同な凧面を持つ六角形台形体[ 8 ]と混同しないように注意する必要がある。六角形台形体も2個の6次頂点（つまり極）と、それぞれ6個の3次頂点を持つ2つの環を持つ。
フォーム
n台形は、規則的なジグザグの斜め2 n角形の底面、底面の真上と真下に自由度のない2 つの対称頂点、および隣接する底面の各辺を 1 つの頂点に接続する四辺形面によって定義されます。
n台形は、その極軸上に2つの頂点を持ち、 2つの正n角形環に2 n 個の底頂点を持つ。2 n個の合同な凧面を持ち、等面体である。
| 台形体の名前 | 斜め台形面体(四面体) | 三角台形 | 正方台形 | 五角台形 | 六角台形 | ... | 非等角台形 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 多面体画像 |  |  |  | |  | ... | |
| 球面タイリング画像 |  |  |  |  |  | 平面タイリング画像 |  |
| 顔の構成 | バージョン2.3.3.3 | バージョン3.3.3.3 | バージョン4.3.3.3 | バージョン5.3.3.3 | バージョン6.3.3.3 | ... | V∞.3.3.3 |
特殊なケース
- n = 2。退化した台形：6つの頂点、8つの辺、そして視覚的には三角形と一致する4つの退化した凧形面を持つ幾何学図形。そのため、台形自体は正四面体と視覚的に同一である。その双対は反プリズムの退化した形で、これも正四面体に似ている。
- n = 3 。三角形の反プリズムの双対：凧形は菱形（または正方形）であるため、これらの台形はゾノヘドラでもある。これらはロンボヘドラと呼ばれる。これらは体の対角線方向に縮尺された立方体である。また、合同な菱形面を持つ平行六面体でもある。
60°の菱面体。中央の正八面体と2つの正四面体に分割されている。 - 菱面体の特殊な例として、面を形成する菱形の角度が60°と120°であるものがあります。これは、2つの等しい正四面体と1つの正八面体に分解できます。平行六面体が空間を埋めることができるように、正四面体と正八面体の組み合わせも同様に空間を埋めることができます。
- n = 5。五角台形は、プラトン立体以外では唯一、ダンジョンズ＆ドラゴンズなどのロールプレイングゲームでサイコロとしてよく使われる。凸面であり面推移的であるため、公平なサイコロとなります。10面体であるため、繰り返し使用することで、任意の小数に基づく一様確率を生成することができます。通常、 00から99までの数字を表す2つの数字には、異なる色のサイコロが2つ使用されます。
対称
n角形台形体の対称群は、 n = 3の場合を除いて、4 n次でD n d = D n vです。立方体は、 48 = 4×(4×3)次でより大きな対称群O dを持ちます。これには、サブグループとしてD 3dの 4 つのバージョンがあります。
n台形の回転群は、 n = 3の場合を除き、2 nの位数のD nです。立方体は、 24 = 4×(2×3)の位数のより大きな回転群Oを持ち、これにはD 3の 4 つのバージョンがサブグループとしてあります。
注:規則的なジグザグの斜め2 n角形底と2 nの合同なねじれていない凧形面を持つすべてのn台形は、 n ≥ 4の場合、二重均一n台形と同じ (二面体) 対称群を持ちます。
D n d （ 4 n次）からD n（2 n次）までの対称性内の 1 つの自由度により、合同な凧形は 3 辺の長さを持つ合同な四辺形（ねじれ凧形と呼ばれる）に変わり、n台形はねじれ台形と呼ばれる。（極限では、各四辺形の 1 辺の長さが 0 になり、n台形はn両錐体になる。）
二つの峰を囲む凧形がねじれておらず、異なる形状である場合、n台形はC n v（垂直鏡面対称の巡回対称）対称性、位数2 nのみを持ち、不等台形または非対称台形と呼ばれます。その双対は不等n反プリズムであり、上面と下面のn角形の半径は異なります。
凧がねじれていて、2 つの異なる形状になっている場合、n台形はC n (巡回) 対称性、順序nのみを持つことができ、不等ねじれ台形と呼ばれます。
| 台形型 | ねじれた台形 | 不等台形 | 不等ねじれ台形 | |
|---|---|---|---|---|
| 対称群 | D 6 , (662), [6,2] + | C 6v、(*66)、[6] | C 6 , (66), [6] + | |
| 多面体画像 |  |  |  |  |
| ネット |  |  |  |  |
星型台形
星型p / q台形（2 ≤ q < 1 p）は、規則的なジグザグの斜めの星型2 p / q角形底辺、底辺の真上と真下の自由度のない2 つの対称頂点、および隣接する底辺の各ペアを1 つの頂点に 接続する四辺形面によって定義されます。
星型p / q台形は、極軸上に2つの頂点を持ち、2つの正p角形環に2つのp基底頂点を持つ。2つのp合同な凧面を持ち、等面体である。
このような星型p / q台形は、自己交差、交差、または非凸形状である。任意の正ジグザグの歪んだ星型2p / q角形（ただし2 ≤ q < 1 p）の底に対して存在する。
しかし、もしp/q < 3/2、その後( p − q ) 360°/p < q/2 360°/p、したがって、（星型台形の）二重星型反プリズムは均一にはならない（つまり、等しい辺の長さを持つことはできない）。そして、もしp/q = 3/2、その後( p − q ) 360°/p = q/2 360°/p、したがって、二重星の反プリズムは均一であるためには平らで、したがって縮退している必要があります。
双対一様星型p / q台形はコクセター・ディンキン図を持つ
。
| 5/2 | 5/3 | 7月2日 | 7月3日 | 7/4 | 8月3日 | 8/5 | 9月2日 | 9月4日 | 9/5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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| 10月3日 | 11/2 | 11月3日 | 11月4日 | 11月5日 | 11月6日 | 11月7日 | 12月5日 | 12月7日 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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参照
- 縮小台形
- 菱形十二面体
- 菱形三十面体
- 双錐体
- 切頂台形
- コンウェイ多面体記法
- 『闇をさまよう者』は、 H・P・ラヴクラフトの短編小説で、「輝くトラペゾヘドロン」として知られる架空の古代の遺物が重要な役割を果たします。
参考文献
- ^ NWジョンソン：幾何学と変換、（2018） ISBN 978-1-107-10340-5第11章有限対称群、11.3 ピラミッド、プリズム、反プリズム、図11.3c
- ^ "duality" . maths.ac-noumea.nc . 2020年10月19日閲覧。
- ^ a b Weisstein, Eric W. 「Trapezohedron」 . MathWorld . 2024年4月24日閲覧。備考: 三角錐または面体の面は三角錐またはイドです。(ねじれていない) 凧形または三角錐は、底辺同士で 2 つの二等辺三角形または「デルタ」(Δ)に分割できます。
- ^ a b Weisstein, Eric W. 「デルタヘドロン」 . MathWorld . 2024年4月28日閲覧。
- ^ Spencer 1911、p. 575、またはWikisourceのp. 597、「結晶学」、1. 立方体、正四面体クラス、脚注：「[三角錐]：ギリシャ文字のδ、Δに由来。一般的に三角形の物体。台形の別名でもある。」注：ねじれた凧は台形のように見え、台形であることもある。
- ^ a b Spencer 1911、p. 581、またはWikisourceのp. 603、結晶学、6. 六方晶系、菱面体分割、台形型、図74。
- ^ Spencer 1911、p. 577、またはWikisourceのp. 599、結晶学、2. 正方晶系、台形クラス。
- ^ a b Spencer 1911、p. 582、またはWikisourceのp. 604、結晶学、6. 六角形系、六角形の区分、台形クラス。
- ^三方台形クラス、3 2 および六方台形クラス、6 2 2
- ^ Spencer 1911、p. 574、またはWikisourceのp. 596、結晶学、1. 立方系、正対称クラス、図17。
- ^ Spencer 1911、p. 575、またはWikisourceのp. 597、結晶学、1. 立方系、四面体クラス、図27。
- アンソニー・ピュー（1976年）『多面体：視覚的アプローチ』カリフォルニア州：カリフォルニア大学出版局バークレー校、ISBN 0-520-03056-7。第4章：アルキメデスの多面体の双対、プリズマとアンチプリズム
- スペンサー、レナード・ジェームズ(1911). ヒュー・チザム編.ブリタニカ百科事典第7巻（第11版）. ケンブリッジ大学出版局. pp. 569– 591.
外部リンク
- ワイスタイン、エリック W. 「トラペゾヘドロン」。MathWorld 。
- ワイスタイン、エリック W. 「等面体」。MathWorld 。
- 紙製の正方台形模型