ホッジ理論

数学において、ホッジ理論（ WVD Hodgeにちなんで名付けられた）は、偏微分方程式を用いて滑らかな多様体Mのコホモロジー群を研究する手法である。重要な観察は、M上のリーマン計量が与えられたとき、すべてのコホモロジー類は標準的代表、すなわち計量のラプラシアン作用素の下で消える微分形式を持つということである。このような形式は調和形式と呼ばれる。

この理論は1930年代にホッジによって代数幾何学の研究のために発展し、ジョルジュ・ド・ラームのド・ラーム・コホモロジーに関する研究を基盤としています。この理論は、リーマン多様体とケーラー多様体という2つの分野に大きく応用されています。ホッジの主たる研究対象である複素射影多様体の研究は、ケーラー多様体の場合に包含されます。ホッジ理論は代数幾何学において、特に代数サイクルの研究との関連を通じて重要なツールとなっています。

ホッジ理論は本質的に実数と複素数に依存しているが、数論の問題にも応用できる。算術的な場面では、 p進ホッジ理論のツールは、古典的なホッジ理論の代替証明や類似の結果を与えてきた。

歴史

1920年代、代数的位相幾何学の分野はまだ黎明期にありました。コホモロジーの概念はまだ発展しておらず、微分形式と位相幾何学の相互作用は十分に理解されていませんでした。1928年、エリー・カルタンは「ベッティの閉群空間の名前について」というアイデアを発表しました。その中で彼は、微分形式と位相幾何学は結び付けられるべきであると示唆しましたが、証明はしませんでした。それを読んで、当時学生だったジョルジュ・ド・ラームは感銘を受けました。彼は1931年の学位論文で、現在ド・ラームの定理と呼ばれる結果を証明しました。ストークスの定理によれば、任意のコンパクトで滑らかな多様体Mに対して、特異鎖に沿った微分形式の積分は、以下に示すような双線型ペアリングを誘導します。

H_{k}(M;\mathbf {R})\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R})\to \mathbf {R} .

元々述べられていたように、^{[ 1 ]}ド・ラームの定理は、これが完全な対であり、したがって左辺の各項が互いにベクトル空間双対であると主張している。現代の言葉では、ド・ラームの定理は、実係数を持つ特異コホモロジーがド・ラームコホモロジーと同型であるという命題として表現されることが多い。

H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).

したがって、デ・ラームの元々の主張は、実数体上では特異コホモロジーとは特異ホモロジーの双対であるという事実から導かれたものである。

これとは別に、ソロモン・レフシェッツの1927年の論文では、位相的手法を用いてリーマンの定理を証明した。^{[ 2 ]}現代の言葉で言えば、ω ₁とω _{2 が}代数曲線C上の正則微分であれば、 C は複素次元を1つしか持たないため、それらの楔積は必然的にゼロになる。したがって、それらのコホモロジー類のカップ積はゼロであり、これを明示的に示すことで、レフシェッツはリーマン関係式の新しい証明を得た。さらに、ωが非ゼロの正則微分であれば、は正の体積形式となり、そこからレフシェッツはリーマンの不等式を再び導くことができた。1929年、WVD ホッジはレフシェッツの論文を知り、同様の原理が代数曲面にも当てはまることを即座に観察した。より正確には、ω が代数曲面上の非零正則形式であるならば、ω は正となるので、 ωとのカップ積は非零でなければならない。したがって、ω自身は非零コホモロジー類を表す必要があるため、その周期がすべて零になることはない。これはセヴェリの疑問を解決した。^[³^] ${\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}$ ${\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}$ $\omega$ ${\bar {\omega }}$

ホッジは、これらの手法が高次元多様体にも適用できると考えていました。同僚のピーター・フレイザーは、彼にド・ラームの論文を勧めました。ド・ラームの論文を読んだホッジは、リーマン面上の正則1次元形式の実部と虚部が、ある意味で互いに双対であることに気付きました。彼は、高次元にも同様の双対性が存在するはずだと考えました。この双対性は現在、ホッジ・スター作用素として知られています。さらに彼は、各コホモロジー類には、その類とその双対が外微分作用素の下で消えるという性質を持つ、明確な代表が存在するはずだと予想しました。これらは現在、調和形式と呼ばれています。ホッジは1930年代の大半をこの問題に費やしました。彼が初めて発表した証明の試みは1933年に発表されましたが、彼はそれを「極めて粗雑」だと考えていました。当時最も優れた数学者の一人であったヘルマン・ワイルは、ホッジの証明が正しいかどうかを判断できませんでした。 1936年、ホッジは新たな証明を発表した。ホッジは新たな証明がはるかに優れていると考えていたが、ボーネンブラストによって重大な欠陥が発見された。ヘルマン・ワイルと小平邦彦はそれぞれ独立にホッジの証明を修正し、この誤りを修正した。これにより、ホッジが求めていた調和形式とコホモロジー類の同型性が確立された。

振り返ってみると、存在定理における技術的な困難は、実際には何ら目新しいアイデアを必要としたわけではなく、単に古典的な手法の慎重な拡張を必要としたに過ぎなかったことは明らかです。ホッジの主要な貢献であった真の新しさは、調和積分の概念と、それが代数幾何学とどのように関連しているかという点にあります。概念が技術に勝利したというこの出来事は、ホッジの偉大な先駆者であるベルンハルト・リーマンの研究における同様のエピソードを彷彿とさせます。
— MFアティヤ、ウィリアム・ヴァランス・ダグラス・ホッジ、1903年6月17日～1975年7月7日、「王立協会フェロー伝記」、第22巻、1976年、169～192ページ。

実多様体に対するホッジ理論

ド・ラームコホモロジー

ホッジ理論はド・ラーム複体を参照する。Mを滑らかな多様体とする。非負整数kに対して、Ω ^k ( M )をM上の次数kの滑らかな微分形式の成す実ベクトル空間とする。ド・ラーム複体は微分作用素の列である。

0\to \Omega^{0}(M)\xrightarrow {d_{0}} \Omega^{1}(M)\xrightarrow {d_{1}} \cdots \xrightarrow {d_{n-1}} \Omega^{n}(M)\xrightarrow {d_{n}} 0,

ここでd _{k は}Ω ^k ( M ) の外微分を表す。これはd _k₊₁ ∘ d _k = 0（d ² = 0とも表記される）の意味でコチェイン複体である。ド・ラームの定理によれば、実係数を持つMの特異コホモロジーはド・ラーム複体によって計算される。

H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatorname {im} d_{k-1}}}.

ホッジ理論における作用素

M上のリーマン計量gを選択し、次のことを思い出してください。

\Omega^{k}(M)=\Gamma\left(\bigwedge\nolimits^{k}T^{*}(M)\right).

計量は、各コタンジェントファイバーからgによって誘導される内積をその外積に拡張することにより（グラミアン行列を参照）、各ファイバー上の内積を生成する：。この内積は、与えられたk形式のM上の点ごとの内積をgに関連付けられた体積形式に関して積分したものとして定義される。明示的には、いくつかのk形式が与えられたとき、 $\bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))$ $T_{p}^{*}(M)$ $k^{th}$ $\bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))$ $\オメガ ^{k}(M)$ $\sigma$ $\omega ,\tau \in \Omega ^{k}(M)$

(\omega ,\tau )\mapsto \langle \omega ,\tau \rangle :=\int _{M}\langle \omega (p),\tau (p)\rangle _{p}\sigma .

当然、上記の内積は、ノルムが何らかの固定されたk形式上で有限である場合にノルムを誘導します。

\langle \omega ,\omega \rangle =\|\omega \|^{2}<\infty ,

すると、積分関数はM上の実数値の平方積分可能関数となり、与えられた点において点ごとのノルムによって評価される。

\|\omega (p)\|_{p}:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M).

これらの内積に関して dの随伴演算子を考えます。

\delta :\Omega^{k+1}(M)\to \Omega^{k}(M).

すると、フォーム上のラプラシアンは次のように定義される。

\Delta =d\delta +\delta d.

これは2階の線型微分作用素であり、R ⁿ上の関数に対するラプラシアンを一般化したものである。定義により、 M上の形式が調和形式であるとは、そのラプラシアンがゼロであることを意味する。

{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

ラプラシアンは数理物理学において初めて登場しました。特にマクスウェル方程式によれば、真空中、すなわち電荷が存在しない状態の電磁場は、 4次元ミンコフスキー空間として捉えた時空上でΔ F = 0となる2次元形式Fで表されるとされています。

閉リーマン多様体上のすべての調和形式αは閉じており、これはdα = 0であることを意味する。結果として、標準写像が存在する。ホッジの定理は、ベクトル空間の同型写像であることを述べている。 ^[⁴^]言い換えれば、M上の各実コホモロジー類には、一意の調和表現が存在する。具体的には、調和表現とは、与えられたコホモロジー類を表す最小L ^{2ノルムの一意の閉形式である。ホッジの定理は}楕円型偏微分方程式の理論を用いて証明され、ホッジの初期の議論は1940年代に小平ららによって完成された。 $\varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M,\mathbf {R} )$ $\varphi$

例えば、ホッジ定理は、閉多様体の実係数を持つコホモロジー群が有限次元であることを意味します。（もちろん、これを証明する方法は他にもあります。）実際、演算子 Δ は楕円型であり、閉多様体上の楕円型演算子の核は常に有限次元ベクトル空間です。ホッジ定理のもう1つの結果は、閉多様体M上のリーマン計量が、捩れを法とするMの積分コホモロジー上の実数値内積を決定することです。したがって、例えば、一般線型群GL( H ^∗ ( M , Z ))におけるMの等長変換群の像は有限です（格子の等長変換群が有限であるため）。

ホッジ定理の変形としてホッジ分解がある。これは、閉リーマン多様体上の任意の微分形式ωは、次の形式の3つの部分の和として一意に分解できることを示している。

\omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma ,

ここでγは調和関数である: Δγ =0。^{[ 5 ]}微分形式上のL2計量の観点から、これ^は直交直和分解を与える:

\Omega^{k}(M)\cong \operatorname {im} d_{k-1}\oplus \operatorname {im} \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M).

ホッジ分解は、ド・ラーム複体に対するヘルムホルツ分解の一般化です。

楕円複体のホッジ理論

アティヤとボットは、楕円複体をド・ラーム複体の一般化として定義した。ホッジ定理はこの設定に次のように拡張される。体積形式 dVを持つ閉滑らかな多様体M上の計量を備えたベクトル束を仮定する。 $E_{0},E_{1},\ldots ,E_{N}$

L_{i}:\Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})

^はこれらのベクトル束のC∞切断に作用する線型微分作用素であり、誘導された列

0\to \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \cdots \to \Gamma (E_{N})\to 0

は楕円複素数です。直和を導入します。

{\begin{aligned}{\mathcal {E}}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _{i}\Gamma (E_{i})\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^{\bullet }\end{整列}}

そしてL ^{∗ を}Lの随伴作用素とする。楕円作用素Δ = LL ^∗ + L ^∗Lを定義する。ド・ラームの場合と同様に、これは調和切断のベクトル空間を与える。

{\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.

を直交射影とし、GをΔのグリーン作用素とすると、ホッジ定理は以下を主張する：^[⁶^] $H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}$

HとGは明確に定義されています。
Id = H + Δ G = H + G Δ
LG = GL、L ^∗G = GL ^∗
複体のコホモロジーは、各コホモロジークラスが一意の調和関数の代表を持つという意味で、調和セクションの空間に標準的に同型です。 $H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})$

この状況ではホッジ分解も存在し、上記のステートメントを de Rham 複合体に一般化します。

複素射影多様体のホッジ理論

X を滑らかな複素射影多様体とする。つまり、Xはある複素射影空間CP ^Nの閉複素部分多様体である。チャウの定理により、複素射影多様体は自動的に代数的となる。すなわち、 CP ^N上の斉次多項式方程式が消滅することによって定義される。CP ^N上の標準リーマン計量は、X上の複素構造と強い互換性を持つリーマン計量を誘導し、 X をケーラー多様体とする。

複素多様体Xと自然数rに対して、X上のすべてのC ^∞ r形式（複素係数を持つ）は、 p + q = rとなる( p , q )型の形式の和として一意に表すことができます。これは、各項が次の形式をとる項の有限和として局所的に表すことができる形式を意味します。

f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}

となる。f はC ^∞関数であり、 z _sおよびw _s正則関数である。ケーラー多様体上では、調和形式の( p , q )成分は再び調和的である。したがって、任意のコンパクトケーラー多様体Xに対して、ホッジ定理は複素係数を持つXのコホモロジーを複素ベクトル空間の直和として分解する。 ^[⁷^]

H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).

この分解は実際にはケーラー計量の選択とは独立である（ただし、一般のコンパクト複素多様体には類似の分解は存在しない）。一方、ホッジ分解はXの複素多様体としての構造に真に依存するのに対し、群H ^r ( X , C )はXの基底位相空間のみに依存する。

これらの調和関数の代表値のウェッジ積はコホモロジーにおけるカップ積に対応するので、複素係数のカップ積はホッジ分解と互換性がある。

\smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).

ホッジ分解の断片H ^{p , q} ( X )は、複素多様体Xのみに依存する（ケーラー計量の選択には依存しない）コヒーレント層コホモロジー群と同一視することができる。 ^[⁸^]

H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),

ここで、 Ω ^{p は}X上の正則p形式の層を表す。例えば、H ^p^,⁰ ( X ) はX上の正則p形式の空間である。（Xが射影的である場合、セールのGAGA定理は、 X全体上の正則p形式が実際には代数的であることを意味する。）

一方、積分は、Zのホモロジー類とで表されるコホモロジー類のキャップ積として表すことができます。ポアンカレ双対性により、 Zのホモロジー類は[ Z ]と呼ばれるコホモロジー類と双対であり、キャップ積は [ Z ] と αのカップ積をとり、 Xの基本類でキャップすることで計算できます。 $\alpha$

[ Z ] はコホモロジー類なので、ホッジ分解を持つ。上で行った計算により、この類を型の任意の類とカップ状にすると、はゼロになる。なので、[ Z ] はに含まれると結論できる。 $(p,q)\neq (k,k)$ $H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)$ $H^{nk,nk}(X)$

ホッジ数h ^{p , q} ( X ) は、複素ベクトル空間H ^{p . q} ( X )の次元を意味します。これらは滑らかな複素射影多様体の重要な不変量です。X の複素構造を連続的に変化させても不変ですが、一般に位相不変量ではありません。ホッジ数の特性には、ホッジ対称性h ^p^,^q = h ^q^,^p（H ^p^,^q ( X ) はH ^q^,^p ( X )の複素共役であるため）とh ^p^,^q = h ⁿ⁻^p^,ⁿ⁻^q （セール双対性により）があります。

滑らかな複素射影多様体（またはコンパクトなケーラー多様体）のホッジ数は、ホッジダイヤモンドに列挙することができる（複素次元2の場合に示す）。

		時間^2,2
	時間^2,1		時間^1,2
h ^2,0		h ^1,1		時間^0,2
	h ^1,0		h ^0,1
		時間^0,0

例えば、種数gの滑らかな射影曲線はすべてホッジダイヤモンドを持つ。

	1
グラム		グラム
	1

別の例として、すべてのK3面はホッジダイヤモンドを持つ。

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Xのベッティ数は、与えられた行におけるホッジ数の和である。ホッジ理論の基本的な応用は、滑らかな複素射影多様体（またはコンパクト・ケーラー多様体）の奇ベッティ数b ₂_a_{+1は、ホッジ対称性により偶数となることである。これは一般にコンパクト複素多様体には当てはまらない。}ホップ面の例が示すように、ホップ面はS ¹ × S ³と微分同相であり、したがってb ₁ = 1となる。

「ケーラーパッケージ」は、ホッジ理論に基づく、滑らかな複素射影多様体（またはコンパクトケーラー多様体）のコホモロジーに対する強力な制約群である。その成果には、レフシェッツ超平面定理、硬レフシェッツ定理、ホッジ・リーマン双線型関係が含まれる。^{[ 9 ]}これらの結果の多くは、ケーラー恒等式や-補題など、ホッジ理論を用いてコンパクトケーラー多様体に対して証明できる基本的な技術的ツールから導かれる。 $\partial {\bar {\partial }}$

ホッジ理論や非可換ホッジ理論などの拡張も、コンパクトケーラー多様体の可能な基本群に強い制限を与えます。

代数的循環とホッジ予想

を滑らかな複素射影多様体とする。の余次元の複素部分多様体は、コホモロジー群の元を定義する。さらに、結果として得られるクラスは特別な性質を持つ。複素コホモロジーにおけるその像は、ホッジ分解の中間部分に含まれる。ホッジ予想は逆の性質を予測する。つまり、の複素コホモロジーにおける像が部分空間に含まれるすべての元は、の複素部分多様体のクラスの -線型結合となる正の整数倍を持つはずである。（このような線型結合は上の代数的サイクルと呼ばれる。） $X$ $Y$ $X$ $p$ $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )$ $H^{2p}(X,\mathbb {C} )$ $H^{p,p}(X)$ $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )$ $H^{p,p}(X)$ $\mathbb {Z}$ $X$ $X$

重要な点は、ホッジ分解は複素係数を持つコホモロジーの分解であり、通常は整数（または有理数）係数を持つコホモロジーの分解からは生じないという点である。その結果、交点

(H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )

ホッジ数が大きい場合でも、群全体よりもはるかに小さくなる可能性があります。つまり、ホッジ予想は、（コホモロジーによって記述される）複素部分多様体の可能な「形」が、（整数コホモロジーと複素コホモロジーのホッジ分解の組み合わせ）のホッジ構造によって決定されることを予言しています。 $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}}$ $h^{p,p}$ $X$ $X$

レフシェッツ(1,1) 定理によれば、ホッジ予想は(整数であっても、つまり文に正の整数倍を必要とせずに) 真である。 $p=1$

多様体のホッジ構造は、のホモロジー類上の上の代数微分形式の積分を記述する。この意味で、ホッジ理論は微積分学における基本的な問題、すなわち代数関数の積分に対する「公式」が一般に存在しないことに関連している。特に、代数関数の定積分（周期と呼ばれる）は超越数となる可能性がある。ホッジ予想の難しさは、そのような積分一般に対する理解の欠如を反映している。 $X$ $X$ $X$

例: 滑らかな複素射影 K3 曲面の場合、群はと同型であり、はと同型です。それらの交差の階数は 1 から 20 までの範囲にあり、この階数はのピカール数と呼ばれます。すべての射影 K3 曲面のモジュライ空間には、それぞれが複素次元 19 である可算無限個の要素の集合があります。ピカール数を持つ K3 曲面の部分空間の次元はです。^[¹⁰^] (したがって、ほとんどの射影 K3 曲面では、との交差はと同型ですが、「特別な」K3 曲面では交差が大きくなることがあります。) $X$ $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $\mathbb {Z} ^{22}$ $H^{1,1}(X)$ $\mathbb {C} ^{20}$ $X$ $a$ $20-a$ $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $H^{1,1}(X)$ $\mathbb {Z}$

この例は、複素代数幾何学においてホッジ理論が果たすいくつかの異なる役割を示唆している。第1に、ホッジ理論は、どの位相空間が滑らかな複素射影多様体の構造を持ち得るかについての制約を与える。第2に、ホッジ理論は、与えられた位相型を持つ滑らかな複素射影多様体のモジュライ空間に関する情報を与える。最良のケースは、トレリの定理が成り立つ場合であり、これは、多様体がそのホッジ構造によって同型性まで決定されることを意味する。最後に、ホッジ理論は、与えられた多様体上の代数サイクルのチャウ群に関する情報を与える。ホッジ予想は、チャウ群から通常のコホモロジーへのサイクル写像の像に関するものであるが、ホッジ理論は、たとえばホッジ構造から構築される中間ヤコビアンを使用して、サイクル写像の核に関する情報も与える。

一般化

ピエール・ドリーニュによって開発された混合ホッジ理論は、必ずしも滑らかまたはコンパクトである必要はなく、すべての複素代数多様体にホッジ理論を拡張する。すなわち、任意の複素代数多様体のコホモロジーは、より一般的なタイプの分解、すなわち混合ホッジ構造を持つ。

ホッジ理論の特異多様体への別の一般化は、交差ホモロジーによって提供される。すなわち、斎藤守彦は、任意の複素射影多様体（必ずしも滑らかではない）の交差ホモロジーは、滑らかな場合と同様に純粋ホッジ構造を持つことを示した。実際、ケーラーパッケージ全体が交差ホモロジーに拡張される。

複素幾何学の基本的な側面は、非同型複素多様体の連続族（これらはすべて実多様体として微分同相である）が存在することである。フィリップ・グリフィスのホッジ構造の変分の概念は、滑らかな複素射影多様体のホッジ構造がが変化する場合にどのように変化するかを記述する。幾何学的に言えば、これは多様体の族に関連付けられた周期写像を研究することに相当する。斎藤のホッジ加群の理論はこれを一般化したものだ。大まかに言えば、多様体上の混合ホッジ加群は上の混合ホッジ構造の層であり、滑らかまたはコンパクトである必要のない多様体の族から生じる。 $X$ $X$ $X$ $X$

参照

注記

^ Chatterji, Srishti; Ojanguren, Manuel (2010), A glimpse of the de Rham era (PDF) , ワーキングペーパー, EPFL ,オリジナル(PDF)から2023-12-04 にアーカイブ, 2018-10-15取得
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参考文献

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[glimpse-1] Chatterji, Srishti; Ojanguren, Manuel (2010), A glimpse of the de Rham era (PDF) , ワーキングペーパー, EPFL ,オリジナル(PDF)から2023-12-04 にアーカイブ, 2018-10-15取得

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