ホモトピー結合代数

数学において、のような代数は、その結合性が明確に定義された乗法を持つ 。これは、任意の実数に対して、${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ ${\displaystyle \cdot}$ ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)-(a\cdot b)\cdot c=0}$ 。

しかし、必ずしも結合的ではない代数が存在する。つまり、 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a,b,c\in R}$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)-(a\cdot b)\cdot c\neq 0}$

一般に、 -代数と呼ばれる代数の概念があり、これもまた乗算に関して最初の関係式のように作用する性質を持ちます。つまり、結合法則は成り立ちますが、ホモトピーまでしか成り立ちません。ホモトピーとは、代数内の情報を「圧縮」する演算を行った後、乗算が結合法則に従うことを意味します。つまり、不等式の2番目の方程式のように見えますが、代数内の情報を「圧縮」した後は、実際には等式が得られます。 ${\displaystyle A_{\infty}}$

-代数の研究はホモトピー代数のサブセットであり、ここでは、乗算演算を伴う微分​​次数代数と、乗算が結合的でないことを生じる一連のより高次のホモトピーを介した結合代数のホモトピー概念が存在します。大まかに言えば、 -代数^{[ 1 ]}は、 の- 次テンソル冪に対する一連の演算を伴う体上の- 次数ベクトル空間です。 は連鎖複素微分に対応し、は乗算写像であり、より高次の はの結合性の失敗の尺度です。基礎となるコホモロジー代数 を見ると、写像は結合写像であるはずです。すると、これらの高次の写像は高次のホモトピーとして解釈されるはずです。ここで、は が結合的でないことの失敗、は が高次の結合的でないことの失敗、などとなります。その構造は、ジム・スタシェフ^{[ 2 ] [ 3 ]}がA∞空間の研究中に発見したものでしたが、後に純粋に代数的な構造として解釈されました。これらはホモトピーまでしか結合しない写像を備えた空間であり、A∞構造はこれらのホモトピー、ホモトピーのホモトピーなどを記録します。 ${\displaystyle A_{\infty}}$ ${\displaystyle A_{\infty}}$ ${\displaystyle (A^{\bullet },m_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle H(A^{\bullet },m_{1})}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{3},m_{4},\ldots }$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{4}}$ ${\displaystyle m_{3}}$

これらは、ホモトピー結合構造のみを持つ カラビ・ヤウ多様体上のD ブレーンの深谷カテゴリの構造を定義する上で必要なため、ホモロジーミラー対称性では遍在します。

意味

意味

固定体に対して、-代数^{[ 4 ]}は-次数付きベクトル空間 である。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }A_{p}}$

それぞれ次数の射を備え、コヒーレンス条件を満たす：すべての に対して、 ${\textstyle m_{i}\colon A^{\otimes i}\to A}$ ${\displaystyle 2-i}$ ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{j+k+l=n,\,j+1+l=i}(-1)^{jk+l}m_{i}(\mathrm {id} ^{\otimes j}\otimes m_{k}\otimes \mathrm {id} ^{\otimes l})=0}$ 。

-代数の -射影は、同様のコヒーレンス条件を満たす次数の射影の族である。すべての に対して、である。(両方のコヒーレンス条件において、和の符号は、次数を 1 つずらすことによって回避できる。) ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f_{i}:A^{\otimes i}\to B}$ ${\displaystyle i-1}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \sum _{j+k+l=n,\,j+1+l=i}(-1)^{jk+l}f_{i}(\mathrm {id} ^{\otimes j}\otimes m_{k}\otimes \mathrm {id} ^{\otimes l})=\sum _{i_{1}+\cdots +i_{r}=n}(-1)^{s}m_{r}(f_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes f_{i_{r}})}$$ ${\displaystyle s=\sum _{2\leq u\leq r}((1-i_{u})\sum _{i\leq v\leq u}i_{v})}$

一貫性条件の理解

低次数の場合、一貫性条件は簡単に記述できます。

1

これは、 ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle m_{1}(m_{1}(a_{1}))=0}$ 、

は を与えるのでとなる。つまり は上の微分である。 ${\displaystyle j+1+l=1}$ ${\displaystyle j=l=0}$ ${\displaystyle k=1=i}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle A}$

2人

に対する一貫性条件は、または となります。これは、乗算が微分 に関する連鎖写像であるという事実です。 ${\displaystyle n=2}$ $${\displaystyle m_{1}\circ m_{2}(a_{1}\otimes a_{2})-m_{2}\circ (1\otimes m_{1})(a_{1}\otimes a_{2})-m_{2}\circ (m_{1}\otimes 1)(a_{1}\otimes a_{2})=0,}$$ $${\displaystyle m_{1}(m_{2}(a_{1}\otimes a_{2}))=m_{2}(m_{1}(a_{1})\otimes a_{2})+(-1)^{|a_{1}|}m_{2}(a_{1}\otimes m_{1}(a_{2})).}$$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$

3人

この程度の一貫性条件は

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{2}(m_{2}(a_{1}\otimes a_{2})\otimes a_{3})-m_{2}(a_{1}\otimes m_{2}(a_{2}\otimes a_{3}))=&+m_{3}(m_{1}(a_{1})\otimes a_{2}\otimes a_{3})\\&-m_{3}(a_{1}\otimes m_{1}(a_{2})\otimes a_{3})\\&+m_{3}(a_{1}\otimes a_{2}\otimes m_{1}(a_{3}))\\&+m_{1}(m_{3}(a_{1}\otimes a_{2}\otimes a_{3})).\end{aligned}}}$

式の左辺は、乗算が結合的に成り立つ代数を作ることができないことを示していることに注意してください。右辺は、 の微分を三重積に適用したものと、 の微分を適用したものを に適用したもので、 によって与えられるホモトピーまで結合性が成り立つことを正確に示しています。特に、によって誘導される乗算は厳密に結合的であることが分かります。 ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\otimes A\otimes A}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle H_{*}(A,m_{1})}$

の場合にはが乗算 を含む微分次数代数であることに注意してください。が消えるということはが直接結合的であることを意味します。 ${\displaystyle m_{3}=0}$ ${\displaystyle (A,m_{1})}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

n=4以上の高次の項

高次では、コヒーレンス条件は多くの異なる項を与える。右辺をの場合と同様に、 で与えられる連鎖ホモトピーとして整理することができる。 ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\pm m_{n}(m_{1}(a_{1})\otimes \cdots \otimes a_{n}))\\&\pm \cdots \\&\pm m_{n}(a_{1}\otimes \cdots \otimes m_{1}(a_{n}))\\&\pm m_{1}(m_{n}(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})),\end{aligned}}}$

一方、左辺の項は、より低い項がある種の一般化された結合性を満たしていないことを示しています。本質的には、代数はあらゆる次数において「高次結合性」を満たさない可能性がありますが、あらゆる次数において、その不一致は、次の次数のより高い乗法によって与えられる連鎖ホモトピーによってパラメータ化されることを意味します。 ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

公理の図式的解釈

Algebra+Homotopy=Operad ^{[ 5 ]}には、高次ホモトピーを視覚的に考えるための優れた図式的な代数形式が記述されています。この直感は上記の代数的議論に要約されていますが、視覚化することも有用です。

バー構造；共導としての解釈

-代数の定義には高次の乗法の無限列が必要であるため、有限個の演算を含む単一の構造で定義を再構成する方法があるのではないかと期待する人もいるかもしれません。これは（少し準備すれば） を単一の写像の要素として再解釈することで可能です。 ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle m_{i}}$

(次数付き) ベクトル空間 が与えられると、上の既約テンソル余代数は であり、テンソルの分割によって与えられる(非可換) 余積、すなわち となります。ここで の内部テンソル積は標準のテンソル積記号 で書き、余積の定義に用いる外部テンソル積は、明確にするために縦線で引いて書きます。任意の余代数 が与えられると、によって定義されるの標準フィルタリング が存在し、、となります。 は、のとき余完全と呼ばれます。既約テンソル余代数は 上の普遍余完全余代数です。すなわち、他の任意の余完全余代数 に対して、 からへの余代数写像と次数付きベクトル空間写像の間には自然な一対一関係が存在します。 ${\displaystyle V}$ ${\textstyle {\overline {T^{c}}}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\textstyle \bigoplus _{n\geq 1}V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \Delta _{\overline {T^{c}}}}$ ${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{1\leq i<n}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i})|(v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n})}$ ${\textstyle {\overline {T^{c}}}V}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\textstyle F_{k}C=\ker \Delta ^{(k+1)}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(2)}=\Delta _{C}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(n)}=(\mathrm {id} ^{\otimes (n-2)}\otimes \Delta _{C})\circ \Delta ^{(n-1)}}$ ${\displaystyle C}$ ${\textstyle C=\bigcup _{k}F_{k}C}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle C'}$ ${\textstyle {\overline {T^{c}}}V}$ ${\displaystyle C'\to V}$

余代数上の共微分は、 「共ライプニッツ則」を満たす- 加群写像である。次数付きベクトル空間の懸架は、 によって定義される次数付きベクトル空間である。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D:C\to C}$ ${\displaystyle \Delta _{C}\circ D=(D\otimes \mathrm {id} +\mathrm {id} \otimes D)\circ \Delta _{C}}$ ${\displaystyle SV}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (SV)^{i}=V^{i+1}}$

この表記法を用いると、次に示す事実が得られます。すなわち、次数付きベクトル空間上の -代数構造は、 が微分である 上の共微分、すなわち と同一のものです。これを確認するには、が 上の共自由共完備余代数であるため、は商との合成値によって決定されることに留意してください。合成値を に分解し、写像をからへの写像にアンシフトすることで が得られます。 が共微分であるという条件は、 の場合にを生じ、すべての に対してを生じるという条件、またはそれと同値な を生じ、これは複素数のシフトの符号則により、 上の標準の（符号付き）条件にアンシフトします。このように定義される微分次数付き余代数は、上の棒構築^{[ 4 ]}と呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle {\overline {T^{c}}}(SA)}$ ${\displaystyle D^{2}=0}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle {\overline {T^{c}}}(SA)\to SA}$ ${\textstyle {\overline {T^{c}}}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}:(SA)^{\otimes n}\to SA}$ ${\displaystyle A^{\otimes n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=b_{1}'+b_{2}'+b_{3}'+\cdots }$ ${\displaystyle b_{i}'(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{j})=\sum _{a+i+b=j}v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{a}\otimes b_{i}(v_{a+1}\otimes \cdots \otimes v_{a+i})\otimes v_{a+i+1}\otimes \cdots \otimes v_{j}}$ ${\displaystyle D^{2}=0}$ ${\textstyle \sum _{i+j-1=m}b_{i}'(b_{j}'(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m}))=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \sum _{j+k+l=m,j+1+l=i}b_{i}(\mathrm {id} ^{\otimes j}\otimes b_{k}\otimes \mathrm {id} ^{\otimes l})=0}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\textstyle ({\overline {T^{c}}}(SA),D)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BA}$

多くの概念は、-代数のバー構成を通して考察することで、より容易に記述できるようになります。例えば、-代数の射は微分次数付き余代数の射と同値であり、-代数の準同型は微分次数付き余代数の準同型と同値であり、-代数射間のホモトピーは微分次数付き余代数射間のホモトピーと同値です。 ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle f:A\to A'}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle Bf:BA\to BA'}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

例

結合代数

あらゆる結合代数は、 とに対して定義することにより、-無限大構造を持ちます。したがって、-代数は結合代数を一般化します。 ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle m_{2}(a,b)=a\cdot b}$ ${\displaystyle m_{i}=0}$ ${\displaystyle i\neq 2}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

微分次数代数

すべての微分次数代数は、-代数^{[ 1 ]}として標準構造を持ち、ここでと は乗法写像である。他のすべての高次の写像は に等しい。極小モデルの構造定理を用いると、次数付きコホモロジー代数には、元の微分次数代数の準同型構造を保存する標準 -構造が存在する。このような dga の一般的な例の1つは、正則な列から生じるKoszul 代数である。これは、ホモトピーカテゴリの同値性への道を開くため、重要な結果である。${\displaystyle (A^{\bullet },d)}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle m_{1}=d}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle HA^{\bullet }}$

${\displaystyle {\text{Ho}}({\text{dga}})\simeq {\text{Ho}}(A_{\infty }{\text{-alg}})}$

微分次数代数と-代数の。 ${\displaystyle A_{\infty }}$

H空間のコチェイン代数

-代数の動機となる例の一つは、H空間の研究から得られる。位相空間がH空間であるとき、それに伴う特異鎖複体は、H空間としての構造から、標準的な-代数構造を持つ。 ^{[ 3 ]}${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{*}(X)}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

無限に多くの非自明なm _iの例

特性体上の次数代数を考える。ここで、は次数ベクトルによって張られ、は次数ベクトルによって張られる。^{[ 6 ] [ 7 ]}この単純な例でさえ、あらゆる次数で微分を与える非自明な-構造が存在する。これは、次数ベクトルが存在し、階数の次数ベクトル空間を与えるという事実に部分的に起因している。微分を次のように 定義する。${\displaystyle V^{\bullet }=V_{0}\oplus V_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (V^{\bullet })^{\otimes k}}$ ${\displaystyle m_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(v_{0})=w\\m_{1}(v_{1})=w,\end{aligned}}}$

そして${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes k}\otimes v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)-k})&=(-1)^{k}s_{d}v_{1}&0\leq k\leq d-2\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)}\otimes v_{2})&=s_{d+1}v_{1}\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-1)})&=s_{d+1}w,\end{aligned}}}$

ここで、上に挙げていない任意の写像では となる。次数なので、乗法写像については、 となり、 上記の関係式 から次の式が得られる。${\displaystyle m_{n}=0}$ ${\displaystyle s_{n}=(-1)^{(n-1)(n-2)/2}}$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}m_{2}(v_{1},v_{1})&=-v_{1}\\m_{2}(v_{1},v_{2})&=v_{1}\\m_{2}(v_{1},w)&=w.\end{aligned}}}$ ${\displaystyle d=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{3}(v_{1},v_{1},w)&=v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{1})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{2})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,w)&=-w.\end{aligned}}}$

これらの方程式を結合性の破綻と関連付けると、非零項が存在します。例えば、 のコヒーレンス条件は、結合性が全く成り立たない非自明な例を与えます。コホモロジー代数では、は微分 によって打ち消されるため、次数項のみが存在することに注意してください。 ${\displaystyle v_{1},v_{2},w}$ ${\displaystyle H^{*}(V^{\bullet },[m_{2}])}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle m_{1}}$

プロパティ

A∞構造の転移

-代数の重要な性質の一つは、正しい仮定が与えられれば、その構造を他の代数的対象に転用できることである。この性質の初期の解釈は次の通りであった。-代数と複体のホモトピー同値性 が与えられたとき、${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$

${\displaystyle f\colon B^{\bullet }\to A^{\bullet }}$ 、

と を継承した-代数構造が存在し、 -代数の射に拡張できる。このタイプの定理は と に関して異なる仮定に基づいて複数存在し、その中には 上の構造がホモトピーまで一意であることや 写像 が正則であることなど、より強力な結果をもたらすものもある。^{[ 8 ]}${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle B^{\bullet }}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle B^{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B^{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$

構造

極小モデルとカデイシュビリの定理

-代数の重要な構造定理の一つは、極小モデルの存在と一意性である。極小モデルとは、微分写像が零となる -代数として定義される。 -代数のコホモロジー代数を微分からとると、次数付き代数として、 ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle m_{1}=0}$ ${\displaystyle HA^{\bullet }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle m_{1}}$

${\displaystyle HA^{\bullet }={\frac {{\text{ker}}(m_{1})}{m_{1}(A^{\bullet })}}}$ 、

乗法写像 を持つ。この次数付き代数は、標準的に -構造を備えることができることが分かる。 ${\displaystyle [m_{2}]}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )}$ 、

これは -代数の準同型を除いて一意である。^{[ 9 ]}実際、この主張はさらに強い。つまり、 -代数の標準的-射 が存在する。${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )\to A^{\bullet }}$ 、

これは の恒等写像を持ち上げる。これらの高次の積はMassey 積によって与えられることに注意すること。 ${\displaystyle A^{\bullet }}$

モチベーション

この定理は、もともと環のホモトピー理論を研究するために導入されたため、微分次数代数の研究にとって非常に重要です。コホモロジー演算はホモトピー情報を殺し、すべての微分次数代数がそのコホモロジー代数に準同型であるとは限らないため、この演算を行うことで情報が失われます。しかし、極小モデルを使用すると、微分を忘れたまま準同型類を回復できます。Maxim KontsevichとYan SoibelmanによるA∞-カテゴリに対する類似の結果があり、 dg-カテゴリのコホモロジーカテゴリに、微分次数層の Cech 双複体の全複体によって与えられる特性と射の体上の非特異多様体上の連接層のコチェーン複体で構成されるA∞-カテゴリ構造を与えています^{[ 1 ] pg 586-593}。この場合、カテゴリの次数射は によって与えられます。 ${\displaystyle H^{*}(D_{\infty }^{b}(X))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {Hom}}^{\bullet }({\mathcal {F}}^{\bullet },{\mathcal {G}}^{\bullet })}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{*}(D_{\infty }^{b}(X))}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}({\mathcal {F}}^{\bullet },{\mathcal {G}}^{\bullet })}$

アプリケーション

この定理にはいくつかの応用があります。特に、ド・ラーム代数 やホックシルトコホモロジー代数などのdg代数は、 -構造を備えることができます。 ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(X),d,\wedge )}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

DGAのMassey構造

微分次数代数が与えられた場合、その-代数としての最小モデルはマッセイ積を用いて構成される。すなわち、 ${\displaystyle (A^{\bullet },d)}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{3}(x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\m_{4}(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\&\cdots &\end{aligned}}}$

上の任意の -代数構造はこの構成と密接に関連していることがわかる。上の別の -構造と写像が与えられると、関係式^{[ 10 ]が成立する。}${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle HA^{\bullet }}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle HA^{\bullet }}$ ${\displaystyle m_{i}'}$

${\displaystyle m_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle +\Gamma }$ 、

どこ

${\displaystyle \Gamma \in \sum _{j=1}^{n-1}{\text{Im}}(m_{j})}$ 。

したがって、コホモロジー代数上のそのようなすべての-enrichment は互いに関連しています。 ${\displaystyle A_{\infty }}$

外積代数からの次数代数

もう一つの構造定理は、外代数から代数を再構成するものである。連結な次数代数が与えられたとき、

${\displaystyle A=k_{A}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }$ 、

これは正準的に結合代数である。その外積代数と呼ばれる結合代数は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})}$ 、

ここで、乗算は米田積で与えられる。すると、と の間には -準同型性が存在する。この同一視は、すべての導来圏がアフィン導来圏であることを示す方法を与えるため重要である。つまり、それらは何らかの代数の導来圏と同型である。 ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle (A,0,m_{2},0,\ldots )}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})}$

参照

• A∞カテゴリ
• アソシアヘドロン
• ミラー対称性予想
• ホモロジーミラー対称性
• ホモトピーリー代数
• 導出代数幾何学

参考文献

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