ミラー対称性予想

数学において、ミラー対称性は、あるカラビ・ヤウ多様体と構成された「ミラー多様体」との間の推測上の関係である。この予想により、カラビ・ヤウ多様体上の有理曲線の数（グロモフ・ウィッテン不変量として符号化される）と多様体族の積分（ホッジ構造 の変分上の周期積分として符号化される）を関連付けることができる。つまり、これはカラビ・ヤウ多様体上の次数の種数代数曲線の数と双対多様体 上の積分の間に関係があることを意味する。これらの関係は、多様体 としての一般的な5 次三次多様体と、 を与える 5 次Dwork 族からの構成^{[ 2 ]}を研究した論文の中で、Candelas、de la Ossa、Green、および Parkes ^{[ 1 ]}によって最初に発見された。その後まもなく、シェルドン・カッツは、その構築の一部を概説し、厳密な数学的解釈がどのようなものになるかを推測した 要約論文^{[ 3 ]を執筆した。}${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\check {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\psi}}$ ${\displaystyle {\check {X}}={\tilde {X}}_{\psi }}$

五重三面体の鏡像の構築

もともと、ミラー多様体の構築はアドホックな手順で発見されました。本質的には、一般的な五次三次 多様体には、複数の特異点を持つカラビ・ヤウ多様体の 1 パラメータ族が関連付けられるはずです。これらの特異点を解消した後、特異点は解決され、反転したホッジダイヤモンドを持つ新しいカラビ・ヤウ多様体が構築されました。特に、同型があります が、最も重要なのは、 の状態に対する 弦理論 (のA モデル) が に状態を持つ弦理論 (のB モデル)と交換される同型があることです。A モデルの弦理論は 上のケーラー構造またはシンプレクティック構造にのみ依存していましたが、B モデルは 上の複素構造にのみ依存していました。ここでは、ミラー多様体の元々の構築について概説し、この記事の後のセクションで弦理論の背景とミラー多様体に関する予想について考察します。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{4}}$ ${\displaystyle X_{\psi}}$ ${\displaystyle X^{\vee}}$ $${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\cong H^{q}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{3-p})}$$ $${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})\cong H^{1}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{2})}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$ ${\displaystyle X^{\vee}}$ ${\displaystyle H^{1}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{2})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\vee}}$

複素係数

における一般的な五次三次多項式^{[ 2 ] [ 4 ]} は次数の同次多項式で定義されることを思い出す。この多項式は、直線束の大域セクションとして同値に記述される。^{[ 1 ] [ 5 ]}大域セクションのベクトル空間は次元を持つが、これらの多項式には 2 つの同値性があることに注意する。まず、代数トーラス^{[ 6 ]} (基本体の非ゼロのスケーリング) によるスケーリングのもとで多項式が与えられると、同値な空間が与えられる。次に、の自己同型群によって射影同値性が与えられ、これは次元である。これは であるため、次元パラメータ空間を与え、これは幾何学的不変理論を使用して構築できる。この集合は、 における滑らかなカラビ・ヤウ五次三次多項式を定義する多項式の同値類に対応し、カラビ・ヤウ五次関数のモジュライ空間を与える。^{[ 7 ]}さて、セール双対性と各カラビ・ヤウ多様体が自明な標準バンドルを持つという事実を用いると、変形空間は上のホッジ構造の部分と同型になります。レフシェッツ超平面定理を用いると、他のは と同型なので、唯一の非自明なコホモロジー群は です。オイラー標数とオイラー類 (最上位のチャーン類 )を用いると、この群の次元は です。これは であるためです。 ホッジ構造 を用いると、各成分の次元を求めることができます。まず、はカラビ・ヤウ なので、ホッジ数 を与え、カラビ・ヤウ多様体のモジュライ空間の次元を与えます。ボゴモレフ-ティアン-トドロフの定理により、このような変形はすべて妨げられず、そのため滑らかな空間は実際、五次三次多様体のモジュライ空間です。この構成の重要な点は、このモジュライ空間の複素パラメータがミラー多様体の ケーラーパラメータにどのように変換されるかを示すことです。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}$ $${\displaystyle \dim {\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}=126}$$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}(5)}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle 101}$ $${\displaystyle U_{\text{smooth}}\subset \mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5)))/PGL(5)}$$ ${\displaystyle 126-24-1=101}$ ${\displaystyle U_{\text{smooth}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle \omega_{X}}$ $${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$$ ${\displaystyle (2,1)}$ ${\displaystyle H^{3}(X)}$ ${\displaystyle H^{3}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{4})}$ ${\displaystyle 204}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (X)&=-200\\&=h^{0}+h^{2}-h^{3}+h^{4}+h^{6}\\&=1+1-\dim H^{3}(X)+1+1\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$ $${\displaystyle H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$$ ${\displaystyle h^{0,3}=h^{3,0}=1}$ $${\displaystyle \dim H^{2}(X,\Omega _{X})=h^{1,2}=101}$$ ${\displaystyle U_{\text{smooth}}}$

ミラーマニホールド

カラビ・ヤウ多様体の優れた族に、ドワーク族と呼ばれるものがあります。これは、 複素平面 上の射影族です。ここで、この族の複素変形の次元は 1 つしかなく、これは が変化する値を持つことに由来することに注意してください。これは、ミラー多様体のホッジダイヤモンドがであるため重要です。族には によって作用する対称群があります。の射影性が条件の理由であることに注目してください。関連する商多様体には、特異点を爆発させることで のパラメータを持つ新しいカラビ・ヤウ多様体を与えるクレパント分解^{[ 2 ] [ 5 ]}が与えられます。これはミラー多様体であり が成り立ちます。ここで各ホッジ数は です。 ${\displaystyle X_{\psi }}$ $${\displaystyle X_{\psi }={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [\psi ][x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\right)}$$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\psi ])}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\check {X}}}$ $${\displaystyle \dim H^{2,1}({\check {X}})=1.}$$ ${\displaystyle X_{\psi }}$ $${\displaystyle G=\left\{(a_{0},\ldots ,a_{4})\in (\mathbb {Z} /5)^{5}:\sum a_{i}=0\right\}}$$ $${\displaystyle (a_{0},\ldots ,a_{4})\cdot [x_{0}:\cdots :x_{4}]=[e^{a_{0}\cdot 2\pi i/5}x_{0}:\cdots :e^{a_{4}\cdot 2\pi i/5}x_{4}]}$$ ${\displaystyle X_{\psi }}$ $${\displaystyle \sum _{i}a_{i}=0.}$$ ${\displaystyle X_{\psi }/G}$ ${\displaystyle 100}$ $${\displaystyle {\check {X}}\to X_{\psi }/G}$$ ${\displaystyle {\check {X}}}$ ${\displaystyle 101}$ ${\displaystyle H^{1,1}({\check {X}})}$ ${\displaystyle H^{3}({\check {X}})=4}$ ${\displaystyle 1}$

弦理論からのアイデア

弦理論には、非線形シグマモデルと呼ばれるモデル群があり、が種数代数曲線でがカラビ・ヤウである写像の族を研究します。これらの曲線は世界面と呼ばれ、閉じた弦として粒子の誕生と死を表します。弦は時間の経過とともに2本、あるいはそれ以上の弦に分裂する可能性があり、最終的にはこれらの弦は粒子の寿命の終わりに集まって崩壊するため、代数曲線はこの弦の寿命を数学的に表します。簡略化のため、当初は種数0の曲線のみが考慮され、数学で普及した多くの結果はこのケースのみに焦点を当てていました。 ${\displaystyle \phi :\Sigma \to X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

また、物理学用語では、これらの理論はヘテロティック弦理論と呼ばれます。なぜなら、超対称性はペアで現れるため、実際には4つの超対称性があるからです。これは、ヒルベルト空間に作用する作用素のペアが存在することを意味するため重要ですが、それらは符号までしか定義されていません。この曖昧さこそが、物理学者たちに当初示唆したものであり、双対弦理論を持つカラビ＝ヤウ多様体のペア、つまりこの曖昧さを互いに交換する理論が存在するはずであるというものでした。 ${\displaystyle (2,2)}$ ${\displaystyle N=2}$ $${\displaystyle (Q,{\overline {Q}})}$$

空間は複素構造、つまり積分可能なほぼ複素構造を持ち、ケーラー多様体であるため必然的にケーラー形式と呼ばれるシンプレクティック構造を持ち、これは複素化ケーラー形式、つまり閉形式に複素化できるため、そのコホモロジー類は にあります。ミラー対称性予想の背後にある主要なアイデアは、複素構造と複素化シンプレクティック構造の変形、つまりモジュライを、これら 2 つが互いに双対になるように研究することです。特に、物理学の観点から、 ^{[ 8 ] : 1–2} カラビ-ヤウ多様体の超共形場理論は、ミラー多様体の双対超共形場理論と同等であるはずです。ここで共形とは共形同値性を意味し、曲線 上の複素構造の同値類と同じです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J\in {\text{End}}(TX)}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \omega ^{\mathbb {C} }=B+i\omega }$$ ${\displaystyle (1,1)}$ $${\displaystyle [\omega ^{\mathbb {C} }]\in H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega ^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\vee }}$ ${\displaystyle \Sigma }$

非線形シグマモデルには、AモデルとBモデルと呼ばれる2つのバリエーションがあり、これらは、およびのペアとそれらの係数を考慮します。^{[ 9 ]：第38章729ページ} ${\displaystyle (X,\omega ^{\mathbb {C} })}$ ${\displaystyle (X,J)}$

Aモデル

弦理論からの相関関数

複素化ケーラー類を持つカラビ・ヤウ多様体が与えられた場合、弦理論の非線形シグマモデルには、3世代の粒子に加えて、電磁力、弱い力、強い力が含まれるはずである。^{[ 10 ] : 27} これらの力がどのように相互作用するかを理解するために、の状態に対する相関関数として機能する湯川結合と呼ばれる3点関数が導入される。この空間は、弦理論の状態のヒルベルト空間上の作用素の固有空間である点に注意すること。 ^{[ 8 ] : 3–5} この3点関数は、ファインマン経路積分法を 使用してと「計算」される 。ここで、 はホモロジー類、を持つ有理曲線の単純な数である。これらのインスタントン数の定義は、グロモフ・ウィッテン理論の主題である。この相関関数の定義では、ケーラー類にのみ依存することに注意すること。これは、多様体上のケーラー構造の仮説的モジュライ空間を研究する数学者を生み出した。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [\omega ^{\mathbb {C} }]\in H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\rangle =&\int _{X}\omega _{1}\wedge \omega _{2}\wedge \omega _{3}+\sum _{\beta \neq 0}n_{\beta }\int _{\beta }\omega _{1}\int _{\beta }\omega _{2}\int _{\beta }\omega _{2}{\frac {e^{2\pi i\int _{\beta }\omega ^{\mathbb {C} }}}{1-e^{2\pi i\int _{\beta }\omega ^{\mathbb {C} }}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n_{\beta }}$ ${\displaystyle \beta \in H_{2}(X;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \omega _{i}\in H^{1}(X,\Omega _{X})}$ ${\displaystyle n_{\beta }}$

Aモデル相関関数の数学的解釈

A-モデルにおいて、対応するモジュライ空間は擬正則曲線のモジュライ^{[ 11 ] : 153} またはコンツェビッチモジュライ空間^{[ 12 ]}である。これらのモジュライ空間は、モジュライ空間上の閉塞層と呼ばれる層の切断 の消失軌跡として表される仮想基本類または を備えることができる。この切断は、写像 の摂動として見ることができる微分方程式から得られる。また、ベクトル束である場合は、 のオイラー類のポアンカレ双対として見ることもできる。 $${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,k}(X,J,\beta )=\{(u:\Sigma \to X,j,z_{1},\ldots ,z_{k}):u_{*}[\Sigma ]=\beta ,{\overline {\partial }}_{J}u=0\}}$$ $${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )=\{u:\Sigma \to X:u{\text{ is stable and }}u_{*}([\Sigma ])=\beta \}}$$ $${\displaystyle [{\overline {\mathcal {M}}}_{g,k}(X,J,\beta )]^{virt}}$$ $${\displaystyle [{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )]^{virt}}$$ ${\displaystyle \pi _{Coker}(v)}$ ${\displaystyle {\underline {\text{Obs}}}}$ $${\displaystyle {\overline {\partial }}_{J}(u)=v}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\underline {\text{Obs}}}}$

元々の構築では、検討されたAモデルは の一般的な5次3次多様体上にありました。^{[ 9 ]}${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

Bモデル

弦理論からの相関関数

A-モデルのサブセクションの同じカラビ・ヤウ多様体に対して、演算子 の固有空間に状態を持つ双対超共形場の理論 が存在する。その3点相関関数は と定義される。 ここでは 上の正則3形式であり、無限小変形 に対して（ はを含むカラビ・ヤウ多様体のモジュライ空間の接空間であるため、小平-スペンサー写像とボゴモレフ-ティアン-トドロフの定理により）、クラスを クラスに変換するガウス-マナン接続が存在するため、 上で積分できる。この相関関数は の複素構造にのみ依存する点に注意すること。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$ ${\displaystyle {\overline {Q}}}$ $${\displaystyle \langle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\rangle =\int _{X}\Omega \wedge (\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega )}$$ ${\displaystyle \Omega \in H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nabla _{\theta }}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (p+1,q-1)}$ $${\displaystyle \Omega \wedge (\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega )\in H^{3}(X,\Omega _{X}^{3})}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

ガウス・マナン接続の別の定式化

コホモロジー類の への作用は、内積のコホモロジー的変種としても理解できる。局所的には、 は、切断 を与える十分に良好な被覆に対するチェフ・コサイクルに対応する。そして、挿入積はの元に接着可能な元を与える。これは、 の重なりにおいてを与える ためであり、したがって 1-コサイクルを定義する。このプロセスを繰り返すと、に等しい 3-コサイクルが得られる。これは、局所的にはガウス・マナン接続が内積として作用するためである。 ${\displaystyle \theta \in H^{1}(X,T_{X})}$ ${\displaystyle \Omega \in H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [\theta _{i}]_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \theta _{i}\in T_{X}(U_{i})}$ $${\displaystyle \iota _{\theta _{i}}(\Omega |_{U_{i}})\in H^{0}(U_{i},\Omega _{X}^{2}|_{U_{i}})}$$ ${\displaystyle \iota _{\theta }(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{2})}$ $${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}=U_{ij},}$$ $${\displaystyle \theta _{i}|_{ij}=\theta _{j}|_{ij}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\iota _{\theta _{i}}\Omega |_{U_{i}})|_{U_{ij}}&=\iota _{\theta _{i}|_{U_{ij}}}(\Omega |_{U_{ij}})\\&=\iota _{\theta _{j}|_{U_{ij}}}(\Omega |_{U_{ij}})\\&=(\iota _{\theta _{j}}\Omega |_{U_{j}})|_{U_{ij}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \iota _{\theta _{1}}\iota _{\theta _{2}}\iota _{\theta _{3}}\Omega \in H^{3}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$$ ${\displaystyle \nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega }$

Bモデル相関関数の数学的解釈

数学的には、B モデルは、もともと Dwork ファミリーの構築によって与えられた ホッジ構造のバリエーションです。

ミラー予想

弦理論のこれら2つのモデルを、演算子の符号の曖昧さを解決することで関連付けることで、物理学者たちは次のような予想に至った。^{[ 8 ]：22} カラビ・ヤウ多様体には、関連するAモデルとBモデルの互換性を与える鏡像同型が存在するような鏡像カラビ・ヤウ多様体が存在するはずである。これは、鏡像写像の下で、相関関数の等式が存在することを意味する。${\displaystyle (Q,{\overline {Q}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\vee }}$ $${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X})\cong H^{1}(X^{\vee },T_{X^{\vee }})}$$ ${\displaystyle H\in H^{1}(X,\Omega _{X})}$ ${\displaystyle \theta \in H^{1}(X^{\vee },T_{X^{\vee }})}$ ${\displaystyle H\mapsto \theta }$ $${\displaystyle \langle H,H,H\rangle =\langle \theta ,\theta ,\theta \rangle }$$

この方程式は、（したがって）の五次三次多様体上の次数種数曲線の数と、ホッジ構造の変種における積分とを関連付ける。さらに、これらの積分は実際に計算可能である。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle H^{1,1}\cong \mathbb {Z} }$

参照

• 余接複素数
• ホモトピー結合代数
• 倉西構造
• ミラー対称性（弦理論）
• 代数曲線のモジュライ
• コンツェビッチモジュライ空間

外部リンク

• https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-969-topics-in-geometry-mirror-symmetry-spring-2009/lecture-notes/

参考文献

1. Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991-07-29). 「A pair of Calabi-Yau manifolds as an exact soluble superconformal theory」. Nuclear Physics B. 359 ( 1): 21– 74. Bibcode : 1991NuPhB.359...21C . doi : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 . ISSN  0550-3213 .
2. Auroux, Dennis. 「五次三重項とその鏡像」(PDF) .
3. Katz, Sheldon (1993-12-29). 「カラビ・ヤウ三次元多様体上の有理曲線」. arXiv : alg-geom/9312009 .
4. 例えば、集合として、カラビ・ヤウ多様体は複素射影空間の部分集合である。${\displaystyle \{[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=0\}}$
5. Morrison, David R. (1993). 「五次三次元多様体上のミラー対称性と有理曲線：数学者のためのガイド」J. Amer. Math. Soc . 6 : 223–247 . arXiv : alg-geom/9202004 . doi : 10.1090/S0894-0347-1993-1179538-2 . S2CID 9228037 . 
6. これは複素射影空間を構築する作用と考えられる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}-\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$
7. より一般的には、このようなモジュライ空間は、固定されたヒルベルトスキーム上の固定された射影空間におけるスキームの射影同値性を用いて構成される。
8. Cox, David A.; Katz, Sheldon (1999).ミラー対称性と代数幾何学. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-2127-5. OCLC  903477225 .
9. パンダリパンデ、ラーフル;堀健太郎（2003）。鏡面対称。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-2955-6. OCLC  52374327 .
10. Hamilton, MJD (2020-07-24). 「数学者のためのヒッグス粒子。ゲージ理論と対称性の破れに関する講義ノート」arXiv : 1512.02632 [ math.DG ].
11. McDuff, Dusa (2012). J-ホロモルフィック曲線とシンプレクティック位相幾何学. Salamon, D. (Dietmar) (第2版). プロビデンス, RI: アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-8746-2. OCLC  794640223 .
12. Kontsevich, M.; Manin, Yu (1994). 「グロモフ＝ウィッテン類、量子コホモロジー、列挙幾何学」 . Communications in Mathematical Physics . 164 (3): 525– 562. arXiv : hep-th/9402147 . Bibcode : 1994CMaPh.164..525K . doi : 10.1007/BF02101490 . ISSN 0010-3616 . S2CID 18626455 .  

本/ノート

• 鏡面対称性-クレイ数学研究所電子書籍
• ミラー対称性と代数幾何学- コックス、カッツ
• 鏡面対称性に関するギブンタルの研究について

初版

• 同変グロモフ-ウィッテン不変量- 射影完全交差に対するギブンタルの原初証明
• 五次三重項の鏡像公式
• 超曲面上の有理曲線（A. Givental に倣って） - Givental の証明の説明
• ミラー原理I - リアン、リウ、ヤウの証明はギブンタルの証明の欠陥を埋める。彼の証明には、未発達のフロアーホモロジー理論が必要であった。
• トーリック多様体におけるカラビ・ヤウ超曲面の双対多面体と鏡映対称性- トーリック多様体におけるカラビ・ヤウの鏡映多様体の最初の一般的な構成
• アーベル多様体のミラー対称性

鏡面対称における派生幾何学

• 2次元および4次元における超対称性および正則性場の理論に関するノート

研究

• ミラー対称性：カテゴリから曲線数まで-ホモロジーミラー対称性と古典的ミラー対称性の関係
• 本質的なミラー対称性と穴あきグロモフ・ウィッテン不変量

ホモロジーミラー対称性

• 圏論的ミラー対称性：楕円曲線
• ホモロジーミラー対称性と楕円曲線の場合の入門
• 種数2の曲線のホモロジーミラー対称性
• 五次三次元多様体のホモロジーミラー対称性
• 射影空間におけるカラビ・ヤウ超曲面のホモロジーミラー対称性
• 超曲面のホモロジーミラー対称性に関する考察${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n}}$