イコサゴン

正二十角形
正二十角形
	正二十角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	20
シュレーフリ記号	{20}、t{10}、tt{5}
コクセター・ディンキン図
対称群	二面角（D 20）、次数2×20
内角（度）	162°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学において、二十角形（にゅうかくかく、または20角形）は20の辺を持つ多角形です。二十角形の内角の和は3240度です。

正二十角形

正二十角形はシュレーフリ記号 ${20}$ で表され、切頂十角形 $t{10}$ 、または二度切頂五角形tt ${5}$ として表すこともできます。

正二十角形の 1 つの内角は162° なので、1 つの外角は 18° になります。

$辺の長さがt$ である正二十角形の面積は

A={5}t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})\simeq 31.5687t^{2}.

外接円の半径 $R$ に関して、面積は

A={\frac {5R^{2}}{2}}({\sqrt {5}}-1);

円の面積は正二十角形なので、その外接円の約 98.36% を占めます。 $\pi R^{2},$

用途

アメリカの人気ゲーム番組「ザ・プライス・イズ・ライト」に登場するビッグホイールは、断面が二十角形です。

ウィリアム・シェイクスピア劇団が使用していた野外劇場「グローブ座」は、1989年に部分的な発掘調査が行われ、二十角形の基礎の上に建てられていたことが発見された。^{[ 1 ]}

卍は、正二十角形の道として、不規則な二十角形であると考えられている。^[²^]

正方形、五角形、二十角形は平面の頂点を完全に埋めることができます。

工事

$20 = 2 2 \times 5$ なので、正 2 角形はコンパスと定規、正10 角形の 2 等分、または正 5 角形を2 等分して作図できます。

正二十角形の構築	正十角形の構築

二十角形の黄金比

与えられた辺の長さを持つ作図において、半径 $CD$ $を持つC$ の周りの円弧は、黄金比の比で線分 $E$ $20$ $Fを共有します。$

{\frac {\overline {E_{20}E_{1}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{20}F}}{\overline {E_{20}E_{1}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1.618

対称

正二十角形には、 $Dih 20$ 対称性、位数 40 があります。サブグループの二面体対称性は 5 つあります: $(Dih 10 、 Dih 5)$ 、 $(Dih 4 、 Dih 2 、 Dih 1)$ 。また、巡回グループの対称性は 6 つあります: $(Z 20 、 Z 10 、 Z 5)$ 、 ( $Z 4 、 Z 2 、 Z 1)$ 。

これらの10個の対称性は、正二十角形上の16個の異なる対称性に見られます。この数は、鏡映線が頂点または辺を通過する可能性があるため、より多くなります。ジョン・コンウェイはこれらを文字と群の順序でラベル付けしています。^{[ 3 ]}正二十角形の完全な対称性は $r40$ で、対称性がない場合は $a1と$ ラベル付けされています。二面対称性は、頂点を通過するか（対角線の場合は $d$ ）、辺を通過するか（垂線の場合は $p ）、鏡映線が頂点と辺の両方を通過する場合は$ $i$ とラベル付けされています。中央の列の巡回対称性は、中心回転順序に基づいて $g$ とラベル付けされています。

$各部分群の対称性により$ 、不規則な形状に対して1つ以上の自由度が許容されます。g20部分群のみ自由度を持ちませんが、有向辺として見ることができます。

最も対称性の高い不規則二十角形は、 10枚の鏡面によって構成される等角二十角形 $（d20）$ と、等角二十角形（ p20 $）$ です。等角二十角形は、辺の長さは等しいものの、頂点の内角が2つの異なる頂点で交互に配置されます。これらの2つの形状は互いに双対であり、正二十角形の対称順序の半分を持ちます。

解剖

20角形、180個の菱形
通常	アイソトキサル

コクセターは、あらゆるゾノゴン（向かい合う辺が平行で長さが等しい $2 m角形）は$ $m (m -1)/2 個の$ 平行四辺形に分割できると述べています。^{[ 4 ]} 特に、これは辺の数が同じ正多角形に当てはまり、その場合平行四辺形はすべて菱形になります。イコサゴンの場合、 $m =10$ であり、5 つの正方形と 4 組の 10 個の菱形、合計 45 個に分割できます。この分解は、 11520 面のうち 45 面を持つ10 角立方体のペトリ多角形投影に基づいています。リストOEIS : A006245には、解の数が 18,410,581,880 個と列挙されており、これには最大 20 回の回転と反射のキラル形式が含まれます。

45個の菱形に分割
10キューブ

ペトリー多角形

正二十角形は、コクセター平面における直交投影で示される、いくつかの高次元多面体のペトリー多角形である。

A ₁₉	B10		D ₁₁	E8	H4	⁠1/2⁠ 2H ₂	2時間_2分
19単体	10-オルソプレックス	10キューブ	11デミキューブ	（4 ₂₁）	600セル	グランドアンチプリズム	10-10デュオピラミッド	10-10デュオプリズム

これは、 120 セルの 20 面体、120 セルの小星型、120 セルの大 20 面体、および120 セルの大 20 面体のペトリー多角形でもあります。

参考文献

^ミュリエル・プリチェット、ジョージア大学「地球を横断する」 2010年6月10日アーカイブ、Wayback Machine、編集者注も参照、2016年1月10日閲覧
^ワイスタイン、エリック・W. 「イコサゴン」。マスワールド。
^ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、（2008）『ものの対称性』、 ISBN 978-1-56881-220-5（第20章、一般化されたシェフリ記号、多角形の対称性の種類、pp. 275-278）
^コクセター『数学レクリエーションとエッセイ』第13版、141ページ
^数学の明るい側面：レクリエーション数学とその歴史に関するウジェーヌ・ストレンス記念会議議事録（1994年）、多角形の変形、ブランコ・グリュンバウム

外部リンク

多角形と多面体の命名 2013年5月25日アーカイブWayback Machine
二十角形

[1] ミュリエル・プリチェット、ジョージア大学「地球を横断する」 2010年6月10日アーカイブ、Wayback Machine、編集者注も参照、2016年1月10日閲覧

[2] ワイスタイン、エリック・W. 「イコサゴン」。マスワールド。

[3] ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、（2008）『ものの対称性』、 ISBN 978-1-56881-220-5（第20章、一般化されたシェフリ記号、多角形の対称性の種類、pp. 275-278）

[4] コクセター『数学レクリエーションとエッセイ』第13版、141ページ

[5] 数学の明るい側面：レクリエーション数学とその歴史に関するウジェーヌ・ストレンス記念会議議事録（1994年）、多角形の変形、ブランコ・グリュンバウム

[ 1 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

n	1	2	3	4	5
形状	凸多角形	化合物	スターポリゴン	化合物
画像	{20/1} = {20}	{20/2} = 2{10}	{20/3}	{20/4} = 4{5}	{20/5} = 5{4}
内角	162°	144°	126°	108°	90°
n	6	7	8	9	10
形状	化合物	スターポリゴン	化合物	スターポリゴン	化合物
画像	{20/6} = 2{10/3}	{20/7}	{20/8} = 4{5/2}	{20/9}	{20/10} = 10{2}
内角	72°	54°	36°	18°	0°

準正規形					準正規形
t{10}={20}					t{10/9}={20/9}
t{10/3}={20/3}					t{10/7}={20/7}