無限小回転行列

無限小回転行列または微分回転行列は、無限に小さい回転を表す行列です。

回転行列は(特殊直交群)の元を表す直交行列 ですが、回転の微分は接空間(特殊直交リー代数)内の歪対称行列であり、それ自体は回転行列ではありません。 ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

無限小回転行列は次の形式をとる。

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

ここで、 は単位行列、は無視できるほど小さく、⁠ ⁠です。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n)}$

例えば、⁠ ⁠が${\displaystyle A=L_{x}}$ x軸の周りの微小な3次元回転を表す場合、 ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ の基底要素は、

${\displaystyle L_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},}$

そして

${\displaystyle I+d\theta L_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

無限小回転行列の計算規則は、2次の無限小が省略されることを除いて、通常の規則と同じです。これらの規則を用いると、これらの行列は、通常の無限小の扱いのもとでは、通常の有限回転行列と同じ性質を全て満たすわけではありません。^{[ 1 ]}無限小回転を適用する順序は無関係であることがわかります。

議論

無限小回転行列は、次の条件を満たす歪対称行列です。

• 任意の回転行列には+1 に等しい単一の実固有値があるため、対応する固有ベクトルが回転軸を定義します。
• そのモジュールは、無限小の角度変位を定義します。

マトリックスの形状は次のとおりです。 $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}}$$

関連量

無限小回転行列には無限小回転テンソルが関連付けられています。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d\Phi (t)=AI}$ $${\displaystyle d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}$$

これを時間差で割ると角速度テンソルが得られます。

${\displaystyle \Omega ={\frac {d\Phi (t)}{dt}}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}(t)&\omega _{y}(t)\\\omega _{z}(t)&0&-\omega _{x}(t)\\-\omega _{y}(t)&\omega _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}$

回転の順序

これらの行列は、通常の無限小数の扱いの下では、通常の有限回転行列と同じ性質を全て満たすわけではない。^{[ 2 ]}これが何を意味するのかを理解するために、

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

まず、直交条件Q ^T Q = Iをテストします。積は

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{\textsf {T}}\,dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+d\theta ^{2}&0\\0&0&1+d\theta ^{2}\end{bmatrix}},}$

単位行列とは2次の微小な部分で異なりますが、ここでは無視します。したがって、1次の微小回転行列は直交行列です。

次に、行列の2乗を調べます。

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1-d\theta ^{2}&-2d\theta \\0&2\,d\theta &1-d\theta ^{2}\end{bmatrix}}.}$

二次効果を再び無視すると、角度は単純に2倍になることに注意してください。これは、2つ目の微小回転の助けを借りて示すことができる、最も本質的な挙動の違いを示唆しています。

${\displaystyle dA_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\0&1&0\\-d\phi &0&1\end{bmatrix}}.}$

積dA _x  dA _yとdA _y  dA _xを比較します。

${\displaystyle {\begin{aligned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}}$

は2階なので、これを捨てる。したがって、1階までは、無限小回転行列の乗算は可換である。実際、 ${\displaystyle d\theta \,d\phi }$

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }=dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} },}$

再び一次回転に戻ります。言い換えれば、微小回転を適用する順序は無関係です。

この有用な事実により、例えば剛体の回転の導出は比較的容易になります。しかし、これらの無限小回転行列（の一次処理）を有限回転行列およびリー代数要素と常に区別する必要があります。上記のベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式における有限回転行列の挙動と、すべての交換項が二次無限小となる無限小回転行列の挙動を比較すると、真のベクトル空間が見られます。技術的には、この二次項の排除は群の縮約に相当します。

回転のジェネレータ

回転軸を単位ベクトル[ x , y , z ] で指定し、そのベクトルを中心に角度 Δ θの無限小回転があるとします。回転行列を無限加算として展開し、一次アプローチをとると、回転行列 Δ Rは次のように表されます。

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =I+A\,\Delta \theta .}$

この軸を中心とした角度θの有限回転は、同じ軸を中心とした小さな回転の連続として捉えることができます。Δ θをθ / N （ Nは大きな数）で近似すると、軸を中心とした θの回転は次のように表すことができます。

${\displaystyle R=\lim _{N\to \infty }\left(I+{\frac {A\theta }{N}}\right)^{N}=\exp(A\theta ).}$

オイラーの定理は、本質的にすべての回転がこの形式で表現できることを述べていることがわかります。積Aθは特定の回転の「生成元」であり、行列Aに関連付けられたベクトル( x , y , z )です。これは、回転行列と軸-角度形式が指数関数によって関連していることを示しています。

生成元Gの簡単な式を導くことができる。まず、直交する単位ベクトルaとbの組で定義される任意の平面^{[ 3 ]}を考える。この平面において、直交するyを持つ任意のベクトルx をとる。次に、yをxについて解き、平面における回転を表す式に代入すると回転行列Rが得られる。この行列には生成元G = ba ^T − ab ^Tが含まれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{\mathsf {T}}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{\mathsf {T}}x\\y&=-ab^{\mathsf {T}}x+ba^{\mathsf {T}}x=\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\\\end{aligned}}}$

回転に平面外のベクトルを含めるには、空間を分割する2つの射影演算子を追加して、Rの上記の式を修正する必要があります。この修正された回転行列は指数関数として書き直すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=\exp(G\beta )\\\end{aligned}}}$

解析は、回転行列全体よりも、これらの生成元を用いた方が容易になることが多い。生成元を用いた解析は、回転群の リー代数として知られている。

指数マップ

リー代数をリー群に結びつけるのは指数写像であり、これはexp( A )の標準行列指数級数を使って定義される^{[ 4 ]。}任意の歪対称行列Aに対して、exp( A )は常に回転行列である。^{[ a ]}

重要な実例として3×3の場合が挙げられます。回転群SO(3)において、任意のA∈so (3)をオイラーベクトルω = θ uと同一視できることが示されます。ここでu = ( x , y , z )は単位大きさのベクトルです。

同一視の性質su (2) ≅ R ³により、uはAの零空間に含まれる。したがって、uはexp( A )によって不変であり、回転軸となる。

θ = ⁠の行列形式でロドリゲスの回転公式を使用するθ/2⁠ + ⁠θ/2⁠ 、標準的な二倍角の公式と組み合わせると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})^{2},\end{aligned}}}$

これは、 u軸を 中心とした角度θの回転行列（半角形式）です。詳細については、指数写像SO(3)を参照してください。

無限小角度の場合、2次の項は無視でき、exp( A ) = I + Aのままとなることに注意する。

歪対称行列との関係

実数体上の歪対称行列は、単位行列における実直交群の接空間を形成します。正式には、特殊直交リー代数と呼ばれます。この意味で、歪対称行列は無限小回転と考えることができます。 ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$

これを別の言い方で言うと、歪対称行列の空間はリー群⁠ ⁠のリー代数 を形成する。この空間上のリー括弧は交換子 ⁠によって与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}$

2つの歪対称行列の交換子が再び歪対称であることは簡単に確認できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}$

歪対称行列の指数行列は直交行列となる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}$

リー代数の指数写像の像は、常に単位元を含むリー群の連結成分に存在します。リー群⁠ ⁠の場合、この連結成分は特殊直交群⁠ ⁠であり、行列式が1であるすべての直交行列から構成されます。したがって、 は行列式が+1になります。さらに、連結コンパクトリー群の指数写像は常に射影的であるため、単位行列式を持つすべての直交行列は、何らかの歪対称行列の指数写像として表すことができます。 ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle R=\exp(A)}$

特に重要な次元の場合、直交行列の指数表現は、単位係数の複素数のよく知られた極形式に簡約される。実際、 ⁠ ⁠の場合には、特別な直交行列は次の形をとる。 ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}$

⁠ ⁠${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ と⁠ ⁠を合わせる と、${\displaystyle a=\cos \theta }$ ${\displaystyle b=\sin \theta }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}$

これは単位係数の複素数の 極形式に正確に対応します。${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =\exp(i\theta )}$

3 次元では、行列指数は行列表記のロドリゲス回転式であり、オイラー・ロドリゲス式で表現すると、その 4 つのパラメータの代数から四元数が生成されます。

次元の直交行列の指数表現は、任意の特殊直交行列が⁠ ⁠ と表記できるという事実から始めて得ることもできます。ここで、は直交行列であり、S は2 次ブロックと、 が奇数の場合は 1 次ブロックを 1 つ持つブロック対角行列です。2 次ブロックの各単一ブロックも直交行列であるため、指数形式を許容します。対応して、行列 Sは上記の形式の歪対称ブロック行列の指数として表記されるため、⁠ ⁠は歪対称行列⁠ ⁠の指数となります。逆に、指数写像の射影性と、前述の歪対称行列のブロック対角化を合わせると、直交行列のブロック対角化が意味を持ちます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S=\exp(\Sigma )}$ ${\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}})}$ ${\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}$

参照

• 回転のジェネレータ
• 微小回転
• 無限小回転テンソル
• 微小変換
• 回転群 SO(3)#無限小回転

注記

1. この歪対称行列から回転行列への指数写像は、前述のケイリー変換とはまったく異なり、3 次まで異なります。 逆に、ケイリー写像を通じて回転行列を指定する歪対称行列A は、写像exp(2 artanh A )を通じて同じ回転行列。${\displaystyle e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.}$

参考文献

1. (ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、§4.8)
2. (ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、§4.8)
3. ユークリッド空間において
4. (ウェダーバーン 1934、§8.02)

出典

• ゴールドスタイン、ハーバート、プール、チャールズ・P.、サフコ、ジョン・L.（2002年）、古典力学（第3版）、アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-201-65702-9
• ウェダーバーン、ジョセフ HM (1934)、「行列に関する講義」、AMS、ISBN 978-0-8218-3204-2