非標準分析の影響

確率論

エドワード・ネルソンの「根本的に初等的な確率論」は、離散確率論と連続確率論を無限小アプローチによって融合させた。^{[ 1 ]}非標準解析のモデル理論的アプローチとローブ測度論を組み合わせることで、ブラウン運動を超有限ランダムウォークとして定義することができ、煩雑な測度論的展開の必要性を排除できる。^{[ 2 ]}ジェローム・キースラーはこの古典的な非標準解析アプローチを用いて、一般確率過程を超有限過程として特徴づけた。^{[ 3 ]}

経済

経済学者は、非標準的な分析を使用して、多数のエージェントを持つ市場をモデル化してきました (ロバート M. アンダーソン (経済学者)を参照)。

教育

ミシェル・アルティーグ^{[ 4 ]}による論文は、解析学の教育について論じている。アルティーグは172ページの「非標準解析と教育へのその弱い影響」という節で、非標準解析について論じている。彼女は次のように述べている。

非標準解析の復活と教育へのその弱い影響。1966年に出版されたロビンソンの著書『NSA』は、ある意味では、評判を落としていた無限小の復活を意味した。[...] [ロビンソンの提案]は多くの数学者から疑念、さらには敵意をもって迎えられた。[...] しかし、この最初の著作があまり知られていなかったにもかかわらず、NSAは急速に発展した。[...] 簡素化の試みは、NSAを初歩的に教える方法を生み出すことを目的として行われることが多かった。キースラーとヘンレ＝クラインベルクの研究がその一例である。[...]

アルティーグは、微積分の教科書を具体的に参照しながら次のように続けている。

[キースラーの著作]は、1973年から74年にかけてシカゴ地域の大学1年生を対象とした教育実験の参考文献として用いられました。サリバンは、このコースの効果を評価するために、教師用と学生用の2つのアンケートを使用しました。参加した11名の教師は、この経験について非常に肯定的な意見を示しました。学生へのアンケートでは、技術的なパフォーマンスに有意な差は見られませんでしたが、NSAコースを受講した学生は、微積分の数学的形式主義の意味をより深く理解する能力が高いことが示されました。[…] キースラーの2冊目の著書の出版は、ビショップによる痛烈な批判を招きました。ビショップは、キースラーが[…]数学は現実から切り離された「難解で無意味な技術演習」に過ぎないと学生に信じ込ませようとしていると非難しました。これらの批判は、NSAの簡潔さと直感的な性質を熱心に主張するNSA支持者たちの主張とは相容れないものでした。[…]しかしながら、NSAが現代教育に及ぼした影響は小さいことを強調しておく必要があります。このアプローチの報告例は少数ですが、熱心な擁護が伴うことが多いですが、個人的な信念のレベルを超えることはめったにありません。

超実数に関する本の著者

参照

非標準分析に対する批判

注記

^ネルソン、エドワード (2016年3月2日). 『根本的に初等的な確率論』 (AM-117), 第117巻. プリンストン大学出版局. doi : 10.1515/9781400882144 . ISBN 978-1-4008-8214-4。
^アンダーソン, ロバート・M. (1976). 「ブラウン運動と伊藤積分の非標準表現」 .イスラエル数学ジャーナル. 25 ( 1–2 ): 15–46 . doi : 10.1007/BF02756559 . ISSN 0021-2172 .
^ Keisler, H. Jerome (1984).確率解析への無限小アプローチ. プロビデンス, RI, USA. ISBN 978-1-4704-0707-0. OCLC 884584431 .{{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
^ Artigue, Michèle (2002)、「Analysis」、Tall, David (ed.)、『Advanced Mathematical Thinking』、数学教育図書館、第11巻、Springer-Verlag、p. 172、doi : 10.1007/0-306-47203-1_11、ISBN 0-7923-2812-4

参考文献

Zdzislaw Pawlak：「知識ベース意思決定支援へのラフセットアプローチ」、European Journal of Operational Research、第99巻、第1号、1997年5月16日、48～57ページ。
メルビン・フィッティング：一階述語論理と自動定理証明．Springer，1996．
ダニエル・レーマン、メナヘム・マギドール：「条件付き知識ベースとは何か？」『Journal of Artificial Intelligence』第55巻第1号（1992年5月）pp. 1–60。第68巻（1994年）p. 411に訂正あり。

[1] ネルソン、エドワード (2016年3月2日). 『根本的に初等的な確率論』 (AM-117), 第117巻. プリンストン大学出版局. doi : 10.1515/9781400882144 . ISBN 978-1-4008-8214-4。

[2] アンダーソン, ロバート・M. (1976). 「ブラウン運動と伊藤積分の非標準表現」 .イスラエル数学ジャーナル. 25 ( 1–2 ): 15–46 . doi : 10.1007/BF02756559 . ISSN 0021-2172 .

[3] Keisler, H. Jerome (1984).確率解析への無限小アプローチ. プロビデンス, RI, USA. ISBN 978-1-4704-0707-0. OCLC 884584431 .{{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)

[4] Artigue, Michèle (2002)、「Analysis」、Tall, David (ed.)、『Advanced Mathematical Thinking』、数学教育図書館、第11巻、Springer-Verlag、p. 172、doi : 10.1007/0-306-47203-1_11、ISBN 0-7923-2812-4

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