電流（数学）

数学、特に関数解析、微分位相幾何学、幾何学的測度論において、ジョルジュ・ド・ラームの意味でk -カレントは、滑らかな多様体M上の、コンパクトに支えられた微分k -形式の空間上の関数です。カレントは、形式的には微分形式の空間上のシュワルツ分布のように振舞いますが、幾何学的な設定では、部分多様体上の積分を表すことができ、ディラックのデルタ関数を一般化したり、より一般的にはMのサブセットに沿って広がるデルタ関数 (多重極) の方向微分を表すこともできます。

意味

滑らかな多様体上にコンパクト台を持つ滑らかなm次元形式の空間を とします。電流 は、超関数の意味で連続である上の線型関数です。したがって、線型関数が m次元電流であるとは、 次の意味で連続であることを意味します。すべて同じコンパクト集合に支えられた滑らかな形式の列において、 が無限大に近づくときに、そのすべての係数のすべての導関数が一様に 0 に近づく場合、 は0 に近づくというものです。 ${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$ $${\displaystyle T:\Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle \omega_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T(\omega _{k})}$

上のm次元電流の空間は、次のように定義される演算を持つ 実ベクトル空間である。${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (T+S)(\omega ):=T(\omega )+S(\omega ),\qquad (\lambda T)(\omega ):=\lambda T(\omega ).}$$

超関数理論の多くは、最小限の調整でカレントにも適用できます。例えば、カレントの台は、最大開集合の補集合であって、 ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ ${\displaystyle U\subset M}$ $${\displaystyle T(\omega )=0}$$ ${\displaystyle \omega \in \Omega _{c}^{m}(U)}$

のコンパクト部分集合である（上記の意味で）サポートを持つカレントからなる線形部分空間は次のように表される。${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{m}(M).}$

ホモロジー理論

m次元のコンパクトな整流可能な有向部分多様体M（境界を持つ）上の積分は、次のように表されるm電流を定義します。 ${\displaystyle [[M]]}$ $${\displaystyle [[M]](\omega )=\int _{M}\omega .}$$

Mの境界∂ Mが整流可能である場合、これも積分によって電流を定義し、ストークスの定理により次の式が得られます。 $${\displaystyle [[\partial M]](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[[M]](d\omega ).}$$

これは外微分dとMのホモロジー上の境界演算子∂を関連付けます。

この式を考慮すると、 すべてのコンパクトに支えられたm形式 に対して、外微分との双対性を介して 任意のカレント上の 境界演算子を定義することができる。$${\displaystyle \partial :{\mathcal {D}}_{m+1}\to {\mathcal {D}}_{m}}$$ $${\displaystyle (\partial T)(\omega ):=T(d\omega )}$$ ${\displaystyle \omega .}$

閉包となるカレントの特定のサブクラスは、すべてのカレントの代わりに用いることができ、特定のケースにおいてアイレンベルク・スティーンロッド公理を満たすホモロジー理論を構築することができる。古典的な例としては、リプシッツ近傍上の積分カレントのサブクラスが引き下げられることがあげられる。 ${\displaystyle \partial }$

位相と規範

電流空間は自然に弱*位相を備えており、これを以下では単に弱収束と呼ぶ。電流の列が 電流に収束するのは 、${\displaystyle T_{k}}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .}$$

すべてのカレント空間の部分空間には、複数のノルムを定義することが可能である。そのようなノルムの一つは質量ノルムである。がm形式である場合、その質量を次のように 定義する。${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \|\omega \|:=\sup\{\left|\langle \omega ,\xi \rangle \right|:\xi {\mbox{ is a unit, simple, }}m{\mbox{-vector}}\}.}$$

したがって、が単純なm形式である場合、その質量ノルムはその係数の通常のL∞ノルムとなる^。したがって、電流の質量は次のように定義される。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega ):\sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\}.}$$

電流の質量は、一般化面の重み付き面積を表す。M ( T ) < ∞となる電流は、リース表現定理の一種を用いて、通常のボレル測度の積分によって表現できる。これがホモロジー積分の出発点である。

中間ノルムはホイットニーの平坦ノルムであり、次のように定義される。 $${\displaystyle \mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A):A\in {\mathcal {E}}_{m+1}\}.}$$

二つの電流が小さな部分から離れたところで一致する場合、質量ノルムでは近いと言えます。一方、小さな変形まで一致する場合、平坦ノルムでは近いと言えます。

例

次のように 0 電流が定義される ことを思い出してください 。$${\displaystyle \Omega _{c}^{0}(\mathbb {R} ^{n})\equiv C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$$ $${\displaystyle T(f)=f(0).}$$

特に、すべての符号付き正規測度 は0カレントである。 ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle T(f)=\int f(x)\,d\mu (x).}$$

( x , y , z ) を の座標とすると、次の 2 次元カレント (多数のうちの 1 つ) が定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ $${\displaystyle T(a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz):=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}b(x,y,0)\,dx\,dy.}$$

参照

• ジョルジュ・ド・ラム
• ハーバート・フェデラー
• 微分幾何学
• バリフォールド

注記

参考文献

• ド・ラム、ジョルジュ(1984)。微分可能多様体。形状、電流、高調波形状。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 266. FR スミス著、SS Chern著の序文付き。 （1955年フランス語原版の翻訳）。ベルリン: Springer-Verlag。土井：10.1007/978-3-642-61752-2。ISBN 3-540-13463-8。MR  0760450。Zbl  0534.58003。
• フェデラー、ハーバート（1969年）。幾何測度理論。 Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 153. ベルリン – ハイデルベルク – ニューヨーク: Springer-Verlag。土井：10.1007/978-3-642-62010-2。ISBN 978-3-540-60656-7。MR  0257325。Zbl  0176.00801。
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ(1978).代数幾何学の原理. 純粋数学と応用数学. ニューヨーク: John Wiley & Sons . doi : 10.1002/9781118032527 . ISBN 0-471-32792-1。MR  0507725。Zbl  0408.14001。
• サイモン、レオン(1983).幾何学的測度論に関する講義. 数学解析センター紀要. 第3巻. キャンベラ:オーストラリア国立大学数学解析センター. ISBN 0-86784-429-9。MR  0756417。Zbl  0546.49019。
• ホイットニー、ハスラー(1957).幾何積分論. プリンストン数学シリーズ. 第21巻. プリンストン、ニュージャージー州およびロンドン:プリンストン大学出版局およびオックスフォード大学出版局. doi : 10.1515/9781400877577 . ISBN 9780691652900。MR  0087148。Zbl  0083.28204。。
• 林芳華、楊小平（2003）『幾何学的測度論入門』、Advanced Mathematics（北京/ボストン）、第1巻、北京/ボストン：Science Press/International Press、pp. x+237、ISBN 978-1-57146-125-4、MR  2030862、Zbl  1074.49011

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