表現論

表現論は、代数構造が物体にどのように「作用」するかを研究します。簡単な例としては、多角形が鏡映変換と回転変換によって対称性によってどのように変形されるかが挙げられます。これらの変換はすべて、多角形の中心を中心とする線型変換です。

表現論は、抽象的な代数構造をその要素をベクトル空間の線型変換として表現することによって研究し、これらの抽象的な代数構造上の加群を研究する数学の一分野である。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}本質的に、表現は、その要素を行列とその代数演算（たとえば、行列の加算、行列の乗算）によって記述することによって、抽象的な代数的オブジェクトをより具体的にする。

このような記述に適した代数的対象には、群、結合代数、リー代数などがある。これらの中で最も著名な（そして歴史的に最初の）のは群の表現論であり、群の要素は可逆行列で表現され、群の演算は行列の乗算となる。^{[ 3 ] [ 4 ]}

表現論は、抽象代数の問題を、よく理解されている主題である線型代数の課題に還元するため、有用な手法である。 ^{[ 5 ] [ 6 ]}より抽象的な対象を馴染みのある線型代数の用語で表現することで、より抽象的な理論における特性を明らかにし、計算を簡素化することができる。例えば、群を無限次元ヒルベルト空間で表現することで、群論に解析手法を適用することができる。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}さらに、表現論は、物理系の対称群がその系を記述する方程式の解にどのように影響するかを記述できるため、物理学において重要である。 ^{[ 9 ]}

表現論は数学のあらゆる分野に浸透しており、その応用は多岐にわたる。^{[ 10 ]}代数学への影響に加えて、表現論は

• 調和解析^を介してフーリエ解析を一般化する[ ^{11 ]}
• 不変理論とエルランゲンプログラム^を介して幾何学と関連している[ ^{12 ]}
• 保型形式とラングランズ計画を通じて数論に影響を与えた。^{[ 13 ]}

表現論には多くのアプローチがあり、代数幾何学、加群理論、解析数論、微分幾何学、作用素論、代数的組合せ論、位相幾何学などの手法を用いて同じ対象を研究することができる。^{[ 14 ]}

表現論の成功は数多くの一般化をもたらした。最も一般的なものの一つは圏論である。^{[ 15 ]}表現論が適用される代数的対象は特定の種類の圏として見ることができ、表現は対象圏からベクトル空間の圏への関手として見ることができる。^{[ 4 ]}この記述は二つの自然な一般化を指し示している。第一に、代数的対象はより一般的な圏に置き換えることができる。第二に、ベクトル空間の対象圏は他のよく理解されている圏に置き換えることができる。

定義と概念

を体上のベクトル空間とする。[ ^{6 ]例えば}、を実数 または複素数 上の標準的なn次元列ベクトル空間 と仮定する。この場合、表現論の考え方は、実数または複素数行列を用いて抽象代数を具体的に表現することである。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

これを行うことができる代数的対象には主に3種類あります。群、結合代数、リー代数です。^{[ 16 ] [ 4 ]}

• すべての可逆 行列の集合は行列乗法の下での群であり、群の表現論は群の要素を可逆行列で記述（「表現」）することによって群を分析します。${\displaystyle n\times n}$
• 行列の加算と乗算により、すべての 行列の集合が結合代数になるため、結合代数の対応する表現理論が存在します。${\displaystyle n\times n}$
• 行列の乗算を行列交換子に置き換えると、行列はリー代数になり、リー代数の表現理論につながります。${\displaystyle MN}$ ${\displaystyle MN-NM}$ ${\displaystyle n\times n}$

これは、上の任意の体と任意のベクトル空間に一般化され、行列は線型写像に、行列乗算は合成に置き換えられます。の自己同型群、のすべての自己準同型の結合代数、および対応するリー代数 が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\text{GL}}(V,\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\text{End}}_{\mathbb {F} }(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V,\mathbb {F} )}$

意味

アクション

表現を定義する方法は2つある。^{[ 17 ]}最初の方法は、行列が列ベクトルに作用する方法を行列乗算によって一般化する、 作用の概念を使用する。

ベクトル空間上の群または（結合代数またはリー代数）の表現は、 2 つの特性を持つ 写像です 。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \Phi \colon G\times V\to V\quad {\text{または}}\quad \Phi \colon A\times V\to V}$$

1. （または）内の任意の に対して、マップは （ 上で）線形です。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (g)\colon V&\to V\\v&\mapsto \Phi (g,v)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$
2. ( g , v )に対して 表記g · vを導入すると、Gの任意のg ₁、g ₂、Vのvに対して次の関係が成り立ちます。 ここでeはGの単位元であり、g ₁ g _2はGの群積です。 ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle (2.1)\quad e\cdot v=v}$$ $${\displaystyle (2.2)\quad g_{1}\cdot (g_{2}\cdot v)=(g_{1}g_{2})\cdot v}$$

結合代数の定義も同様であるが、結合代数は必ずしも単位元を持つとは限らず、その場合は式(2.1)は省略される。式(2.2)は行列乗算の結合性の抽象的な表現である。これは行列交換子には当てはまらず、交換子には単位元も存在しない。したがって、リー代数の場合、Aの任意のx ₁、x ₂、Vの任意のvに対して次の式が成り立つという唯一の要件がある。 ここで[ x ₁、x ₂ ]はリー括弧であり、行列交換子MN − NMを一般化する。 $${\displaystyle (2.2')\quad x_{1}\cdot (x_{2}\cdot v)-x_{2}\cdot (x_{1}\cdot v)=[x_{1},x_{2}]\cdot v}$$

マッピング

表現を定義する2つ目の方法は、Gのgを線型写像φ ( g ): V → Vに写す写像φに着目しており、これは次式を満たす 。

${\displaystyle \varphi (g_{1}g_{2})=\varphi (g_{1})\circ \varphi (g_{2})\quad {\text{すべての }}g_{1},g_{2}\in G について}$

他のケースでも同様です。このアプローチはより簡潔かつ抽象的です。この点から：

• ベクトル空間V上の群Gの表現は群準同型φ : G → GL( V , F )である。 ^{[ 8 ]}
• ベクトル空間V上の結合代数Aの表現は代数準同型φ : A →EndF ₍ V )である。 ^{[ 8 ]}
• リー代数のベクトル空間上の表現はリー代数準同型である。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi :{\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {gl}}(V,\mathbb {F} )}$

用語

ベクトル空間Vはφの表現空間と呼ばれ、その次元（有限次元の場合）は表現の次元（ ^{[ 18 ]}のように次数と呼ばれることもある）と呼ばれる。文脈から準同型φが明らかな場合は、 V自体を表現と呼ぶこともよく行われる。そうでない場合は、表現を表すために ( V , φ )という表記が用いられる。

Vが有限次元nである場合、Vの基底を選択してV をF ⁿと同一視することができ、それによって体Fの要素を持つ行列表現を復元することができます。

有効または忠実な表現とは、準同型φが単射となる表現 ( V、φ ) である。

同変写像と同型写像

およびが上のベクトル空間で、群 の表現およびを備えている場合、からへの同変写像は、および内の すべての に対してとなる 線型写像である。およびに関して、これは 内の すべての に対して となることを意味する。つまり、次の図は が可換である。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \alpha :V\rightarrow W}$ $${\displaystyle \alpha (g\cdot v)=g\cdot \alpha (v)}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \psi :G\rightarrow {\text{GL}}(W)}$ $${\displaystyle \alpha \circ \varphi (g)=\psi (g)\circ \alpha }$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$

結合代数またはリー代数の表現に対する同変写像も同様に定義される。 が可逆な場合、それは同型写像と呼ばれ、その場合、 と（より正確にはと）は同型表現であり、同値表現とも呼ばれる。同変写像はしばしば表現の絡み合い写像と呼ばれる。また、群 の場合、それは-写像または-線型写像と呼ばれることもある。^{[ 19 ]}${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

同型表現は、実用上は「同じ」ものであり、表現される群または代数に関する同一の情報を提供する。したがって、表現論は同型性に至るまで表現を分類しようとする。

部分表現、商、既約表現

が（例えば）群 の表現であり、がの線型部分空間であり、およびすべての に対して という意味での作用によって保存される場合（セールはこれらを^{[ 18 ]}の下で安定であると呼んでいる）、 は部分表現と呼ばれる。 を定義することにより、からへの制限、は の表現となり、 の包含は同変写像となる。商空間はの表現にすることもできる。がちょうど 2 つの部分表現、すなわち自明部分空間{0} とそれ自身を持つ場合、その表現は既約であると言われ、が適切な非自明部分表現を持つ場合、その表現は既約であると言われる。^{[ 20 ]}${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g\cdot w\in W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \phi :G\to {\text{Aut}}(W)}$$ ${\displaystyle \phi (g)}$ ${\displaystyle \psi (g)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (W,\phi )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W\hookrightarrow V}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

既約表現の定義は、シュアーの補題を意味する。すなわち、既約表現間の同変写像は、その核と像が部分表現であるため、零写像または同型写像のいずれかである。特に のとき、これは の同変自己準同型が基底体F上の結合的除算代数を形成することを示す。 Fが代数的に閉 である場合、既約表現の同変自己準同型は恒等写像のスカラー倍のみである。 $${\displaystyle \alpha :(V,\psi )\to (V',\psi ')}$$ ${\displaystyle V=V'}$ ${\displaystyle V}$

既約表現は、多くの群の表現論の構成要素です。表現が既約でない場合、それはある意味で「より単純」な部分表現と商から構築されます。例えば、が有限次元の場合、部分表現と商はどちらもより小さな次元を持ちます。表現に部分表現があるものの、非自明な既約成分が1つしかないという反例もあります。例えば、加法群は2次元表現を持ち ます。 この群のベクトルはこの準同型によって固定されますが、補部分空間は1つの既約部分表現のみを 与えます。これはすべての単能群 に当てはまります。^{[ 21 ]：112} ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ $${\displaystyle \phi (a)={\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}}}$$

直和と分解不可能な表現

もし ( V , φ ) と ( W , ψ ) が（例えば）群Gの表現であるとすると、VとWの直和は標準的な方法で、次の式で表される表現となる。

${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$

2つの表現の直和は、群Gに関して、2つの表現がそれぞれ持つ以上の情報を持ちません。表現が2つの真で非自明な部分表現の直和である場合、それは分解可能であると言われます。そうでない場合、それは分解不可能であると言われます。

完全な還元可能性

好ましい状況下では、すべての有限次元表現は既約表現の直和となる。このような表現は半単純表現と呼ばれる。この場合、既約表現のみを理解すれば十分である。この「完全既約性」現象が（少なくとも標数ゼロの体上で）生じる例としては、有限群（マシュケの定理を参照）、コンパクト群、半単純リー代数などが挙げられる。

完全な還元可能性が成り立たない場合は、部分表現による商の 拡張を使用して、還元不可能な表現から分解不可能な表現を構築する方法を理解する必要があります。

表現のテンソル積

とが群 の表現であるとする。すると、テンソル積ベクトル空間に作用する G の表現は次のように表せる: ^{[ 22 ]}${\displaystyle \phi _{1}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{1})}$ ${\displaystyle \phi _{2}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{2})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi _{1}\otimes \phi _{2}}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(g)=\phi _{1}(g)\otimes \phi _{2}(g)}$ 。

とがリー代数の表現である場合、正しい式は^{[ 23 ]である。}${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

${\displaystyle (\phi _{1}\otimes \phi _{2})(X)=\phi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \phi _{2}(X)}$ 。

この積は、余代数上の余積として認識できます。一般に、既約表現のテンソル積は既約ではありません。テンソル積を既約表現の直和として分解する過程は、クレプシュ・ゴルダン理論として知られています。

SU(2) 群の表現論（あるいはそれと同等の、その複素化リー代数）の場合、分解は簡単に解くことができる。^{[ 24 ]}既約表現は非負の整数または半整数であるパラメータでラベル付けされる。すると、表現は 次元を持つ。ラベル とを持つ 2 つの表現の表現のテンソル積を取るとしよう。ここで を仮定する。すると、テンソル積は、ラベル を持つ各表現の 1 つのコピーの直和として分解される。ここで、は から までの範囲で 1 ずつ増分する。たとえば の場合、 の値は0、1、2 である。したがって、 次元のテンソル積表現は、1 次元表現3 次元表現5 次元表現の直和として分解される。 ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 2l+1}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2},}$ ${\displaystyle l_{1}\geq l_{2}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l_{1}-l_{2}}$ ${\displaystyle l_{1}+l_{2}}$ ${\displaystyle l_{1}=l_{2}=1}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle (2l_{1}+1)\times (2l_{2}+1)=3\times 3=9}$ ${\displaystyle (l=0),}$ ${\displaystyle (l=1),}$ ${\displaystyle (l=2)}$

分野とトピック

表現論は、その多様な分野と、群や代数の表現を研究するアプローチの多様性で知られています。これらの理論は、既に述べた基本概念を共有していますが、細部においてはそれぞれ大きく異なります。その違いは少なくとも3つあります。

1. 表現論は、表現される代数的対象の種類によって異なります。群、結合代数、リー代数にはいくつかの異なるクラスがあり、それぞれの表現論はそれぞれ独自の特徴を持っています。
2. 表現論は、代数的対象が表現されるベクトル空間の性質に依存します。最も重要な区別は、有限次元表現と無限次元表現です。無限次元の場合、追加の構造が重要になります（例えば、空間がヒルベルト空間、バナッハ空間などであるかどうかなど）。有限次元の場合にも、追加の代数的構造を課すことができます。
3. 表現論は、ベクトル空間が定義される体の種類に依存します。最も重要なケースは、複素数体、実数体、有限体、 p進数体です。正の標数体や代数的に閉じていない体の場合は、さらに困難が生じます。

有限群

群の表現は有限群の研究において非常に重要なツールである。^{[ 25 ]}群の表現は有限群論の幾何学や結晶学への応用においても現れる。^{[ 26 ]}有限群の表現は一般理論の多くの特徴を示し、表現論の他の分野やトピックへの道を示している。

標数 0の体上において、有限群Gの表現はいくつかの便利な性質を持つ。まず、Gの表現は半単純（完全に可約）である。これはマシュケの定理の帰結であり、 G表現Wの任意の部分表現VはG不変な補表現を持つと述べている。一つの証明は、 WからVへの任意の射影π を選び、それを以下のように定義される 平均π _{Gで置き換えることである。}

${\displaystyle \pi _{G}(x)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}g\cdot \pi (g^{-1}\cdot x).}$

π _Gは同変であり、その核は必要な補数です。

有限次元G表現は、特性理論を用いて理解することができる。表現φ : G → GL( V ) の特性は、クラス関数χ _φ : G → Fによって定義され、

${\displaystyle \chi _{\varphi }(g)=\mathrm {Tr} (\varphi (g))}$

ここで、 はトレースです。Gの既約表現はその特性によって完全に決定されます。 ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$

マシュケの定理は、素数 p が G の位数と互いに素である限り、有限体などの正の標数 p の体に対してより一般的に成立する。pと| G |が共通因数を持つ場合、半単純ではないG表現が存在し、これはモジュラー表現理論と呼ばれるサブブランチで研究されている。

平均化技術は、 Fが実数または複素数である場合、任意のG表現がVの内積を 次の意味で 保存することを示す。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle g\cdot v,g\cdot w\rangle =\langle v,w\rangle }$

任意のgがGに、v、wがWにそれぞれ属する場合。したがって、任意のG表現はユニタリである。

マシュケの結果は部分表現の直交補集合をとることで証明できるため、ユニタリ表現は自動的に半単純となる。有限でない群の表現を研究する場合、ユニタリ表現は有限群の実表現と複素表現の優れた一般化を提供する。

マシュケの定理やユニタリー性といった平均化に依存する結果は、適切な積分概念が定義できる限り、平均を積分に置き換えることで、より一般的な群に一般化することができます。これは、ハール測度を用いてコンパクト位相群（コンパクトリー群を含む）に対して行うことができ、結果として得られる理論は抽象調和解析として知られています。

任意の体上において、優れた表現論を持つ別の有限群のクラスとして、リー型有限群がある。重要な例としては、有限体上の線型代数群が挙げられる。線型代数群とリー群の表現論は、これらの例を無限次元群に拡張するものであり、後者はリー代数表現と密接に関連している。有限群における指標理論の重要性は、リー群とリー代数の表現の重み理論にも類似している。

有限群Gの表現は、群代数F [ G ]を介して代数表現にも直接リンクされます。群代数 F [ G ] は、 Gの要素を基底とするF上のベクトル空間であり、群演算によって定義される乗算演算、線形性、および群演算とスカラー乗算が交換可能であるという要件を備えています。

モジュラー表現

有限群Gのモジュラー表現は、その特性が | G |と互いに素でない体上の表現であるため、マシュケの定理は成立しなくなります（| G | はFにおいて逆ではないため、割り切れないため）。^{[ 27 ]}それでも、リヒャルト・ブラウアーは特性理論の多くをモジュラー表現に拡張し、この理論は有限単純群の分類に向けた初期の進歩において重要な役割を果たしました。特に、シロー 2 部分群が「小さすぎる」ために純粋に群論的な方法で特性評価を行うことができなかった単純群において重要な役割を果たしました。^{[ 28 ]}

モジュラー表現は群論に応用されるだけでなく、代数幾何学、符号理論、組合せ論、数論など、数学の他の分野でも自然に生じます。

ユニタリ表現

群Gのユニタリ表現とは、実または（通常は）複素ヒルベルト空間V上のGの線型表現φであり、φ ( g ) は任意のg ∈ Gに対してユニタリ作用素となるようなものである。このような表現は、特にヘルマン・ワイルの影響により、 1920年代から量子力学で広く応用されてきた。 ^{[ 29 ]}この影響は、ユージン・ウィグナーによるポアンカレ群の表現の解析を通じて、理論の発展を促した。^{[ 30 ]}ユニタリ表現の一般理論（応用に有用な特定の群だけでなく、任意の群Gに対して）を構築した先駆者の一人はジョージ・マッキーであり、 1950年代と1960年代にはハリシュ＝チャンドラらによって広範な理論が展開された。 ^{[ 31 ]}

主な目標は、 Gの既約ユニタリ表現の空間である「ユニタリ双対」を記述することです。^{[ 32 ]}理論は、 Gが局所コンパクト(ハウスドルフ)位相群であり、表現が強連続である場合に最もよく発達しています。^{[ 11 ]} G がアーベル群の場合、ユニタリ双対は指標の空間にすぎず、G がコンパクトの場合、ピーター・ワイルの定理により、既約ユニタリ表現は有限次元であり、ユニタリ双対は離散的であることが示されています。^{[ 33 ]}たとえば、Gが円群S ¹の場合、指標は整数で与えられ、ユニタリ双対はZです。

非コンパクトGの場合、どの表現がユニタリであるかという問題は微妙である。既約ユニタリ表現は（ハリシュ・チャンドラ加群のように）「許容」されなければならないが、どの許容表現が非退化不変セクリニア形式を持つかは容易に検出できるが、この形式が正定値であるかを判断するのは困難である。ユニタリ双対の有効な記述は、実簡約リー群（後述）のような比較的振る舞いの良い群であっても、表現論における重要な未解決問題である。これは、 SL(2, R )やローレンツ群など、多くの特殊群に対して解決されている。^{[ 34 ]}

調和解析

円周群S ¹と整数Z、あるいはより一般的にはトーラスT ⁿとZ ⁿの間の双対性は、解析学においてはフーリエ級数論としてよく知られており、フーリエ変換も同様に、実ベクトル空間上の指標空間が双対ベクトル空間であるという事実を表現する。このように、ユニタリ表現論と調和解析は密接に関連しており、抽象調和解析はこの関係を利用して、局所コンパクト位相群および関連空間上の関数の解析を展開している。^{[ 11 ]}

主要な目標は、フーリエ変換とプランシュレルの定理の一般形を提供することである。これは、ユニタリ双対上の測度と、 G上の平方可積分関数の空間L ² ( G )上のGの正規表現と、ユニタリ双対上のL ²関数の空間上の表現との間の同型性を構築することによって行われる。ポントリャギン双対性とピーター・ワイルの定理は、それぞれアーベルGとコンパクトGに対してこれを実現する。^{[ 33 ] [ 35 ]}

別のアプローチでは、既約表現だけでなく、すべてのユニタリ表現を考慮する。これらは圏を形成し、タナカ・クライン双対性は、そのユニタリ表現の圏からコンパクト群を復元する方法を提供する。

群がアーベル群でもコンパクト群でもない場合は、プランシュレルの定理やフーリエ反転に相当する一般理論は知られていないが、アレクサンダー・グロタンディークはタンナカ・クラインの双対性を線型代数群とタンナキアンカテゴリーの関係に拡張した。

調和解析は、群G上の関数の解析から、 Gの同質空間上の関数の解析へと拡張されている。この理論は特に対称空間においてよく発展しており、保型形式の理論（後述）を提供する。

リー群

リー群は滑らかな多様体でもある群である。実数や複素数上の行列の古典的な群の多くはリー群である。^{[ 36 ]}物理学や化学で重要な群の多くはリー群であり、それらの表現論はこれらの分野における群論の応用において極めて重要である。^{[ 9 ]}

リー群の表現論は、まずコンパクト群を考察することによって展開することができ、コンパクト群にはコンパクト表現論の結果が適用される。^{[ 32 ]}この理論は、ワイルのユニタリトリックを用いて半単純リー群の有限次元表現に拡張することができる。すなわち、半単純実リー群Gはそれぞれ複素化を持ち、これは複素リー群G ^cであり、この複素リー群は最大コンパクト部分群Kを持つ。G の有限次元表現はKの有限次元表現とほぼ一致する。

一般リー群は、可解リー群と半単純リー群（レヴィ分解）の半直積である。^{[ 37 ]}可解リー群の表現の分類は一般には扱いにくいが、実用上は容易なことが多い。半直積の表現は、マッキー理論と呼ばれる一般的な結果を用いて解析することができる。マッキー理論は、ウィグナーによるポアンカレ群の表現の 分類に用いられた手法の一般化である。

リー代数

体F上のリー代数は、リー括弧と呼ばれる歪対称双線型演算を備えたF上のベクトル空間であり、ヤコビ恒等式を満たす。リー代数は、特に単位元におけるリー群の接空間として現れ、「無限小対称性」として解釈される。^{[ 37 ]}リー群の表現論への重要なアプローチは、対応するリー代数の表現論を研究することであるが、リー代数の表現にも本質的な興味がある。^{[ 38 ]}

リー代数はリー群と同様に、半単純部分と可解部分へのレヴィ分解を持ち、可解リー代数の表現論は一般に扱いにくい。対照的に、半単純リー代数の有限次元表現は、エリー・カルタンの研究によって完全に理解されている。半単純リー代数 𝖌 の表現は、カルタン部分代数𝖌 を選択することによって解析される。カルタン部分代数は本質的に、リー括弧がゼロ（「アーベル的」）となる 𝖌 の一般的な最大部分代数 𝖍 である。𝖌 の表現は、 𝖍 の作用の固有空間と指標の無限小類似体である重み空間に分解できる。半単純リー代数の構造は、表現の解析を、起こり得る重みの容易に理解できる組合せ論へと縮減する。^{[ 37 ]}

無限次元リー代数

無限次元リー代数には、その表現が研究されている多くのクラスが存在する。その中でも重要なクラスの一つがカツ・ムーディ代数である。^{[ 39 ]}これらは、独立に発見したヴィクター・カツとロバート・ムーディにちなんで名付けられている。これらの代数は有限次元半単純リー代数の一般化を形成し、それらの多くの組合せ論的性質を共有している。これは、これらの代数が半単純リー代数の表現と同様に理解できる表現のクラスを持つことを意味する。

アフィン・リー代数はカック・ムーディ代数の特殊なケースであり、数学と理論物理学、特に共形場理論と厳密に解けるモデルの理論において特に重要です。カックは、アフィン・カック・ムーディ代数の表現論に基づく 、ある種の組合せ恒等式、すなわちマクドナルド恒等式のエレガントな証明を発見しました。

リー超代数

リー超代数は、リー代数の一般化であり、その基礎ベクトル空間はZ ₂ -次数を持ち、リー括弧の歪対称性とヤコビ恒等式の性質は符号によって修正される。その表現論はリー代数の表現論に類似している。^{[ 40 ]}

線型代数群

線型代数群（あるいはより一般的にはアフィン群スキーム）は、代数幾何学におけるリー群の類似物であるが、 RやCだけでなくより一般的な体上でのものである。特に有限体上では、リー型有限群が生じる。線型代数群の分類はリー群と非常によく似ているが、その表現論はかなり異なり（そしてあまりよく理解されていない）、ザリスキー位相が比較的弱く、解析学の手法がもはや利用できないため、異なる手法が必要となる。^{[ 41 ]}

不変理論

不変理論は、代数多様体への作用を、群の表現を形成する関数への影響の観点から研究する。古典的には、この理論は、与えられた線型群からの変換によって変化しない、すなわち不変である多項式関数の明示的な記述の問題を扱っていた。現代的なアプローチは、これらの表現の既約表現への分解を解析する。^{[ 42 ]}

無限群の不変量論は、線型代数学、特に二次形式と行列式の理論の発展と密接に結びついています。強い相互影響を持つもう一つの分野は射影幾何学であり、この分野では不変量論を用いてこの分野を体系化することができます。そして1960年代には、デイヴィッド・マンフォードによる幾何学的不変量論によって、この分野に新たな息吹が吹き込まれました。^{[ 43 ]}

半単純リー群の表現論は不変理論にその起源を持ち^{[ 36 ]}、表現論と代数幾何学との強い結びつきは微分幾何学にも多くの類似点を持つ。その始まりはフェリックス・クラインのエアランゲン・プログラムとエリー・カルタンのつながりで、群と対称性が幾何学の中心に据えられている。^{[ 44 ]}現代の発展により、表現論と不変理論はホロノミー、微分作用素、多変数複素数理論など多様な分野に結び付けられている。

保型形式と数論

保型形式はモジュラー形式をより一般的な解析関数（おそらく複数の複素変数）に一般化し、同様の変換特性を持たせたものである。^{[ 45 ]}一般化には、モジュラー群PSL ₂ ( R )と選ばれた合同部分群を半単純リー群Gと離散部分群Γに置き換えることが含まれる。モジュラー形式が上半空間H = PSL ₂ ( R )/SO(2)の商上の微分形式とみなせるのと同様に、保型形式はΓ\ G / K上の微分形式（または類似の対象）とみなせる。ここでKは（典型的には）Gの極大コンパクト部分群である。ただし、商は通常特異点を持つので注意が必要である。半単純リー群をコンパクト部分群で割った商は対称空間であるため、保型形式の理論は対称空間上の調和解析と密接に関連している。

一般理論の発展以前には、ヒルベルト・モジュラー形式やジーゲル・モジュラー形式など、多くの重要な特殊ケースが詳細に解明された。この理論における重要な成果としては、セルベルグの軌跡公式や、ロバート・ラングランズによるリーマン・ロッホの定理を保型形式の空間の次元計算に適用できるという認識などが挙げられる。その後の「保型表現」という概念は、Gが代数群であり、アデル代数群として扱われる場合を扱う上で、大きな技術的価値を持つことが証明された。その結果、ラングランズ・プログラムという哲学全体が、保型形式の表現と数論的性質との関係を中心に発展してきた。^{[ 46 ]}

結合代数

ある意味では、結合代数の表現は群とリー代数の両方の表現を一般化します。群の表現は対応する群環または群代数の表現を誘導しますが、リー代数の表現はその普遍包絡代数の表現に全単射に対応します。しかし、一般結合代数の表現論は、群やリー代数の表現論の優れた性質のすべてを備えているわけではありません。

モジュール理論

結合代数の表現を考える際、基礎となる体を忘れ、結合代数を環、その表現を加群と単純に考えることができます。このアプローチは驚くほど有益です。表現論における多くの結果は、環上の加群に関する結果の特別な場合として解釈できるからです。

ホップ代数と量子群

ホップ代数は、群とリー代数の表現論を特別なケースとして保持しつつ、結合代数の表現論を改良する方法を提供する。特に、2つの表現のテンソル積は、双対ベクトル空間と同様に表現である。

群に付随するホップ代数は可換代数構造を持つため、一般のホップ代数は量子群として知られる。ただし、この用語はしばしば群またはその普遍包絡代数の変形として生じる特定のホップ代数に限定される。量子群の表現論は、例えば柏原の結晶基底を通して、リー群およびリー代数の表現論に驚くべき洞察をもたらしてきた。

歴史

一般化

集合論的表現

集合X上の群Gの集合論的表現(群作用または順列表現とも呼ばれる)は、GからX Xへの関数ρ ( Xから^Xへの関数の集合)によって与えられ、 Gのすべてのg ₁、g ₂およびXのすべてのxに対して次のようになります。

${\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]].}$

この条件と群の公理から、ρ ( g ) はGのすべてのgに対して単射（または順列）となることが分かる。したがって、順列表現をG からXの対称群S _Xへの群準同型として定義することも同値である。

他のカテゴリーでの表現

任意の群G は、単一の対象を持つ圏と見なすことができます。この圏における射は、 Gの元に過ぎません。任意の圏Cが与えられたとき、CにおけるGの表現は、 GからCへの関手となります。このような関手は、 C内の対象Xと、 GからXの自己同型群である Aut( X )への群準同型を選択します。

Cが体F上のベクトル空間の圏Vect F_である場合、この定義は線型表現と同値である。同様に、集合論的表現は集合の圏におけるGの表現に過ぎない。

別の例として、位相空間のカテゴリTop を考えてみましょう。Top における表現は、Gから位相空間Xの同相群への準同型写像です。

線形表現に密接に関連する 3 種類の表現は次のとおりです。

• 射影表現：射影空間のカテゴリに属する​​。これらは「スカラー変換を除いた線型表現」として記述できる。
• アフィン表現：アフィン空間のカテゴリに属する​​。例えば、ユークリッド群はユークリッド空間にアフィン的に作用する。
• ユニタリ群と反ユニタリ群の共表現: 線形または反線形変換である射を持つ複素ベクトル空間のカテゴリ内。

カテゴリーの表現

群は圏であるため、他の圏の表現も考察できます。最も単純な一般化はモノイドへの一般化です。モノイドは単一の対象を持つ圏です。群は、すべての射が可逆であるモノイドです。一般モノイドは、任意の圏において表現を持ちます。集合の圏においては、これらはモノイド作用ですが、ベクトル空間やその他の対象におけるモノイド表現も研究できます。

より一般的には、表現されるカテゴリが1つのオブジェクトしか持たないという仮定を緩和することができます。完全に一般化すると、これは単にカテゴリ間の関数の理論であり、あまり言及できません。

表現論に大きな影響を与えた特殊なケースが一つあります。それは、箙（きり）の表現論です。^{[ 15 ]}箙は単なる有向グラフ（ループと複数の矢印が許容される）ですが、グラフ内のパスを考慮することで、圏（および代数）にすることができます。このような圏／代数の表現は、表現論のいくつかの側面を明らかにしてきました。例えば、群に関する非半単純表現論の問題を、場合によっては箙に関する半単純表現論の問題に還元することを可能にしました。

漸近的表現理論

とりあえず、以下を参照してください。

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• G.オルシャンスキー、漸近的表現論、講義ノート2009-2010
• https://ncatlab.org/nlab/show/asymptotic+representation+theory

参照

• ガロア表現
• 表現論用語集
• グループの代表
• 伊藤の定理
• 表現論のトピック一覧
• 調和解析トピックのリスト
• 数値解析
• カスプフォームの哲学
• 表現（数学）
• 表現定理
• 普遍代数

注記

1. 表現論の古典的な文献としては、 Curtis & Reiner (1962)とSerre (1977)が挙げられる。その他の優れた文献としては、 Fulton & Harris (1991)とGoodman & Wallach (1998)が挙げられる。
2. 「nLabにおける表現理論」ncatlab.org . 2019年12月9日閲覧。
3. 有限群の表現論の歴史についてはLam (1998)を参照。代数群とリー群についてはBorel (2001)を参照。
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12. グッドマン＆ウォラック 1998、オルバー 1999、シャープ 1997。
13. ボレル＆カッセルマン 1979、ゲルバート 1984。
14. 前の脚注を参照してください。
15. シムソン、スコウロンスキー、アセム、2007 年。
16. Fulton & Harris 1991、 Simson、Skowronski & Assem 2007、 Humphreys 1972a。
17. この資料は、 Curtis & Reiner (1962)、 Fulton & Harris (1991)、 Goodman & Wallach (1998)、 James & Liebeck (1993) 、 Humphreys (1972a) 、、 Knapp (2001 )およびSerre (1977)などの。
18. セール 1977 .
19. フルトン＆ハリス 1991、4ページ。
20. 次元 0 の表現 {0} は、数値 1 が合成数でも素数でもないと見なされるのと同様に、約数でも約数でもないと見なされます。
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22. ホール 2015セクション 4.3.2
23. ホール 2015命題 4.18 と定義 4.19
24. ホール 2015付録 C
25. アルペリン 1986、ラム 1998、セール 1977。
26. キム 1999 .
27. Serre 1977、パートIII。
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29. Weyl 1928を参照。
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外部リンク

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• ケビン・ハートネット（2020年）、Quanta誌の表現理論に関する記事
• グラボウスキー、ヤン（2025年）『表現理論：カテゴリー的アプローチ』オープンブック出版社。ISBN 978-1-80511-716-2。