解けるリー代数

数学において、リー代数が可解であるとは、その導来級数が零部分代数で終結する場合を言う。リー代数の導来リー代数は、 の部分代数であり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

の元対のリー括弧のすべての線形結合からなる。導来級数は部分代数の列である 。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

導来級数が最終的に零部分代数に到達する場合、リー代数は可解と呼ばれる。^{[ 1 ]}リー代数の導来級数は群論における交換子部分群の導来級数に類似しており、可解リー代数は可解群の類似物である。

任意の冪零リー代数はより強く可解であるが、その逆は成り立たない。可解リー代数と半単純リー代数は、レヴィ分解によって示されるように、2つの大きな、そして一般的に相補的なクラスを形成する。可解リー代数は、まさに0から始めて1次元ずつ加算していく半直積から得られるものである。 ^{[ 2 ]}

最大可解な部分代数はボレル部分代数と呼ばれる。リー代数の最大の可解なイデアルは根基と呼ばれる。

特徴づけ

を標数0の体上の有限次元リー代数とする。以下の2つは同値である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• (i)は解ける。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (ii)の随伴表現は解ける。${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (iii)のイデアルの有限列が存在する: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$

• （iv）は冪零である。^{[ 3 ]}${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• (v) 次元の場合、の部分代数の有限列が存在する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$

それぞれにイデアルが含まれる。^{[ 4 ]}このタイプの列は基本列と呼ばれる。${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$

• (vi)の部分代数の有限列が存在する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$

は のイデアルであり、はアーベル的である。^{[ 5 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$

• (vii) のキリング形式 は、内のすべてのXと内のすべてのYに対して を満たす。^{[ 6 ]}これはカルタンの可解性の基準である。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B(X,Y)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

プロパティ

リーの定理は、が特性 0 の代数的閉体上の有限次元ベクトル空間であり、 が可解なリー代数であり、 が上の の表現である場合、すべての元 に対する自己準同型の同時固有ベクトルが存在することを述べている。^{[ 7 ]}${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \pi (X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

• 全てのリー部分代数と可解なリー代数の商は可解である。^{[ 8 ]}
• リー代数とその中の イデアルが与えられたとき、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ が解けるのは、と が両方とも解ける場合のみである。 ^{[ 8 ] [ 2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

中心に が含まれる限り、同様の命題は冪零リー代数にも成り立つ。したがって、可解代数の可解代数による拡大は可解であり、冪零代数の冪零代数による中心拡大は冪零である。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• 解ける非零リー代数は、導出級数の最後の非零項である非零アーベルイデアルを持つ。^{[ 2 ]}
• が可解なイデアルであれば、 も可解である。^{[ 1 ]}したがって、が有限次元であれば、内のすべての可解なイデアルを含む唯一の可解なイデアルが存在する。このイデアルはの根号である。^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• 可解リー代数は、最大の冪零イデアル を唯一つ持ち、これは冪零基数 と呼ばれる。これは、 が冪零であるようなすべてのものの集合である。Dがの任意の微分であるとき、 となる。^{[ 9 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$

完全に解けるリー代数

リー代数は、からまでのイデアルの基本列を持つ場合、完全に可解または分割可解と呼ばれます。有限次元冪零リー代数は完全に可解であり、完全に可解なリー代数は可解です。代数的に閉体上では可解なリー代数は完全に可解ですが、平面のユークリッド等長変換群の -次元実リー代数は可解ではあっても完全には可解ではありません。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 3}$

可解リー代数が分割可解であるための必要十分条件は、 の固有値が のすべての に対して となることである。^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

例

アーベルリー代数

任意のアーベルリー代数は 定義により可解である。なぜなら、その交換子は であるからである。これには の対角行列のリー代数も含まれ、これは以下の形式をとる。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

に対して。任意の2つの行列に対して自明な括弧で与えられるベクトル空間上のリー代数構造は別の例を与える。 ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [m,n]=0}$ ${\displaystyle m,n\in {\text{End}}(V)}$

冪零リー代数

もう一つの例は、随伴表現が可解な冪零リー代数から得られる。例えば、上対角行列、例えば以下のような形式の行列のクラスが挙げられる。

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}}$

は、真上三角行列のリー代数と呼ばれる。さらに、上対角行列のリー代数は可解なリー代数を形成する。これには、次のような形式の行列が含まれる。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

と表記されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$

解決可能だが分割解決は不可能

を次の形の行列の集合とする 。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

するとは解けるが、分割解けない。^{[ 2 ]}これは平面上の並進と回転の群のリー代数と同型である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

非例

半単純リー代数は、その根号 （最大の可解イデアル）が自明であるため、決して解くことができない。^{[ 1 ] 11ページ}${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\text{Rad}}({\mathfrak {l}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$

解けるリー群

「可解」という用語は群論における可解群にも用いられるため、可解リー群の定義は複数考えられる。リー群の場合、 ${\displaystyle G}$

• 群の通常の導来級の終了（抽象群として）${\displaystyle G}$
• 導出級数の閉包の終了。
• 解けるリー代数を持つ

参照

• カルタンの基準
• 殺害形態
• リー・コルチン定理
• ソルブマニフォールド
• ディクスミアマッピング

注記

1. ハンフリーズ 1972
2. ナップ 2002
3. Knapp 2002 Proposition 1.39.
4. ナップ 2002提案 1.23。
5. フルトン＆ハリス 1991
6. Knapp 2002 Proposition 1.46.
7. Knapp 2002定理 1.25.
8. Serre 2001、第I章、§6、定義2。
9. Knapp 2002 Proposition 1.40.

参考文献

• フルトン, W. ;ハリス, J. (1991).表現論 入門.数学大学院テキスト. 第129巻. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-97527-6. MR  1153249 .
• ハンフリーズ, ジェームズ・E. (1972).リー代数と表現論入門. 大学院数学テキスト第9巻. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90053-5。
• Knapp, AW (2002).リー群入門を超えて. Progress in Mathematics. 第120巻（第2版）. ボストン・バーゼル・ベルリン: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5。。
• ジャン・ピエール・セール (2001)。複素半単純リー代数。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-5406-7827-1。

外部リンク

• EoM記事リー代数、解ける
• EoM 記事リー群、可解