マブチ機能

数学、特に複素幾何学において、マブチ汎関数（まぶちはんふくふん、Kエネルギーはんふく）は、臨界点が定数スカラー曲率のケーラー計量であるコンパクト・ケーラー多様体のケーラーポテンシャル空間上の汎関数である。マブチ汎関数は、ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の存在を妨げる二木不変量を積分する汎関数として、1985年に馬渕俊樹によって導入された。^{[ 1 ]}

マブチ汎関数は、幾何学的不変量論およびシンプレクティック縮約におけるモーメント写像の対数ノルム汎関数のアナロジーである。^{[ 2 ]}マブチ汎関数は、 K安定性理論において、定スカラー曲率ケーラー計量の存在を特徴付ける解析汎関数として現れる。ケーラーポテンシャル空間における任意の測地線に沿ったマブチ汎関数の無限遠における傾きは、対応するテスト配置のドナルドソン・二木不変量によって与えられる。

^{ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の研究におけるバーマン・ブックソム・ジョンソン[ 3 ]}の変分手法のおかげで、マブチ汎関数とその様々な一般化は、特に特異点のある設定でのファノ多様体のK安定性の研究において非常に重要になってきました。

意味

マブチ汎関数は、コンパクト複素多様体上の固定ケーラーコホモロジー類内のケーラーポテンシャル空間上で定義される。^{[ 4 ]}を固定ケーラー計量 を持つコンパクトケーラー多様体とする。すると、-補題 により、ド・ラームコホモロジーの類内の任意の他のケーラー計量は、滑らかな関数、すなわちケーラーポテンシャル によってに関連付けられる。${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(M)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(X)}$

${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi .}$

この新しい2次元形式がケーラー計量であることを保証するには、正の形式である必要があります。

${\displaystyle \omega _{\varphi }>0.}$

これら2つの条件はケーラーポテンシャル空間を定義する。

${\displaystyle {\mathcal {K}}=\{\varphi :M\to \mathbb {R} \mid \varphi \in C^{\infty }(X),\quad \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$

定数関数だけ異なる任意の2つのケーラーポテンシャルは同じケーラー計量を定義するので、 クラスのケーラー計量の空間は （定数関数を法とするケーラーポテンシャル）と同一視できる。代わりに、 上の積分が 0 となるように正規化されるケーラーポテンシャルに限定することもできる。 ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$

への接空間は、上の滑らかな実数値関数の空間と同一視できる。に対応するリーマン計量のスカラー曲率を で表し、上のこのスカラー曲率の平均を で表す。これはストークスの定理によりの選択に依存しない。ケーラーポテンシャルの空間上に 微分一形式をで定義する。${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S_{\varphi}}$ ${\displaystyle \omega _{\varphi }}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \alpha _{\varphi }(\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}.}$

この一形式は閉じている。^{[ 4 ]}は収縮可能な空間なので、この一形式は正確であり、となるように正規化された汎関数が存在する。これはマブチ汎関数またはKエネルギーである。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}:{\mathcal {K}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(0)=0}$ ${\displaystyle d{\mathcal {M}}=\alpha }$

馬渕汎関数は、1形式を経路に沿って積分することで明示的に記述される。 を固定されたケーラーポテンシャルとし、 とすることができる。また、、 、をからへの経路とする。すると、 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \varphi_{0}}$ ${\displaystyle \varphi_{0}=0}$ ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi }$ ${\displaystyle \varphi_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \varphi_{0}}$ ${\displaystyle \varphi_{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}(\varphi )=\int _{0}^{1}\int _{M}{\dot {\varphi }}_{t}({\hat {S}}-S_{\varphi _{t}})\omega _{\varphi _{t}}^{n}dt.}$

この積分は経路の選択に依存しないことが示されます。 ${\displaystyle \varphi_{t}}$

定スカラー曲率ケーラー計量

1形式によるマブチ関数の定義から、ケーラーポテンシャルの場合、変化は ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}{\mathcal {M}}(\varphi +t\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}}$

がすべての接ベクトルに対して消滅する場合、かつその場合のみである。つまり、マブチ汎関数の臨界点は、定数スカラー曲率を持つケーラーポテンシャルと全く同じである。^{[ 4 ]}${\displaystyle \psi \in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\hat {S}}=S_{\varphi }}$

参考文献

1. 馬渕 毅, 1985. 二木の不変量の関数積分法. 日本学士院紀要, シリーズA, 数学科学, 61(4), pp. 119–120.
2. Thomas, RP, 2005. バンドルと多様体に対するGITとシンプレクティック還元に関するノート。微分幾何学概論、10(1)、pp.221-273。
3. Zhang, K., 2021.均一Yau-Tian-Donaldson予想の量子化証明。arXivプレプリントarXiv:2102.02438。
4. Székelyhidi, G., 2014. 極限ケーラー計量入門（第152巻）アメリカ数学会。