コホモロジー

数学、特にホモロジー論と代数的位相幾何学 において、コホモロジーとは、アーベル群の列を指す一般的な用語であり、通常は位相空間に関連付けられ、しばしばコチェイン複体から定義される。コホモロジーは、ホモロジーよりも豊富な代数的不変量を空間に割り当てる方法と見なすことができる。コホモロジーのいくつかのバージョンは、ホモロジーの構成を双対化することによって生じる。言い換えれば、コチェインはホモロジー論におけるチェイン群上の関数である。

位相幾何学で始まって以来、この考え方は 20 世紀後半の数学で支配的な方法となった。位相空間の代数的不変量を構成する方法としてのホモロジーという最初のアイデアから、ホモロジーとコホモロジー理論の応用の範囲は幾何学と代数学全体に広がった。この用語は、反変理論であるコホモロジーの方が多くの応用においてホモロジーより自然であるという事実を覆い隠す傾向がある。基本的なレベルでは、これは幾何学的な状況での関数と引き戻しに関係している。空間と、および上のある関数が与えられれば、任意の写像に対してとの合成により上の関数 が生じる。最も重要なコホモロジー理論には、カップ積 という積があり、これによって環構造が得られる。この特徴のため、コホモロジーは通常、ホモロジーより強い不変量である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\circ f}$ ${\displaystyle X}$

特異コホモロジー

特異コホモロジーは位相幾何学における強力な不変量であり、任意の位相空間に次数可換環を関連付けます。任意の連続写像は 、のコホモロジー環から のコホモロジー環への準同型写像を決定します。これは、 からへの写像の可能性に強い制約を課します。ホモトピー群のようなより微妙な不変量とは異なり、コホモロジー環は関心のある空間に対して実際に計算可能である傾向があります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

位相空間 において、特異コホモロジーの定義は特異鎖複体から始まる。^{[ 1 ]} 定義により、の特異ホモロジーは、この鎖複体のホモロジー（ある準同型の核を前の準同型の像を法として乗じたもの）である。より詳細には、は標準-単体から への連続写像の集合上の自由アーベル群（「における特異 -単体」と呼ばれる）であり、は - 番目の境界準同型である。これらの群は負の場合、ゼロとなる。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle i}$

ここでアーベル群を固定し、各群をその双対群とその双対準同型で置き換える。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}^{*}=\mathrm {Hom} (C_{i},A),}$ ${\displaystyle \partial_{i}}$ $${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

これは、元の複合体の「すべての矢印を反転させる」効果があり、共鎖複合体を残す。$${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

整数 に対して、に係数を持つ の^番目のコホモロジー群はと定義され、 で表されます。負の場合、群は0 です。 の元は、に係数を持つ特異-コチェーンと呼ばれます。（同様に、上の -コチェーンは、 の特異-単体の集合から への関数と同一視できます。） と の元は、それぞれコサイクルとコ境界と呼ばれ、 の元はコホモロジー類と呼ばれます（コサイクルの同値類であるため）。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})}$ ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$ ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle C_{i}^{*}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ker(d)}$ ${\displaystyle {\textrm {im}}(d)}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})=H^{i}(X,A)}$

以下では、係数群は書かれない場合があります。 を可換環とするのが一般的です。その場合、コホモロジー群は-加群です。標準的な選択肢は整数環 です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

コホモロジーの形式的な性質のいくつかは、ホモロジーの性質の小さな変種にすぎません。

• 連続写像はホモロジー上の押し出し準同型とコホモロジー上の引き戻し準同型を決定する。これにより、コホモロジーは位相空間からアーベル群（または -加群）への反変関手となる。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$ ${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$ ${\displaystyle R}$
• からの2 つのホモトピック写像は、コホモロジー上で (ホモロジー上と同様に) 同じ準同型写像を誘導します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• マイヤー・ヴィートリス列は、ホモロジーと同様に、コホモロジーにおいても重要な計算ツールです。境界準同型性はコホモロジーにおいて次数を増加させる（減少させるのではなく）ことに注意してください。つまり、空間が開部分集合と の和集合である場合、長完全列が存在するということです。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$$
• 空間 の任意の部分空間には相対コホモロジー群が存在する。それらは通常のコホモロジー群と長完全列によって関連付けられている。${\displaystyle H^{i}(X,Y;A)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }$$
• 普遍係数定理は、Ext群を用いて、ホモロジーを用いてコホモロジーを記述する。すなわち、短完全列 が存在する。関連する命題として、体に対して、はベクトル空間の双対空間と全く同じであることが示される。$${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H^{i}(X,F)}$ ${\displaystyle H_{i}(X,F)}$
• が位相多様体またはCW複体である場合、コホモロジー群はの次元より大きい場合、ゼロになります。^{[ 2 ]}がコンパクト多様体（境界を持つ可能性あり）、または各次元に有限個のセルを持つCW複体であり、が可換ノイザン環である場合、-加群は各 に対して有限生成されます。^{[ 3 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H^{i}(X,R)}$ ${\displaystyle i}$

一方、コホモロジーにはホモロジーにはない重要な構造がある。任意の位相空間と可換環に対して、カップ積と呼ばれる双線型写像が存在する。 これは特異コチェーン上の明示的な式によって定義される。コホモロジー類 と の積は、あるいは単に と表記される。この積により直和はのコホモロジー環と呼ばれる次数付き環 になる。これは以下の意味で次数付き可換である。 ^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\cup v}$ ${\displaystyle uv}$ $${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$$

任意の連続写像に対して、引き戻しは次数付き-代数の準同型写像である。したがって、2つの空間がホモトピー同値であれば、それらのコホモロジー環は同型となる。 ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ ${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$ ${\displaystyle R}$

カップ積の幾何学的解釈をいくつか示します。以下では、特に断りのない限り、多様体は境界を持たないものと理解します。閉多様体とは、境界を持たないコンパクト多様体を意味します。一方、多様体Mの閉部分多様体Nとは、 Mの閉部分集合である部分多様体を意味します。ただし、Mがコンパクトであれば、 N も自動的にコンパクトになります。

• X がn次元の閉じた有向多様体であるとします。このとき、ポアンカレ双対性により、同型H ⁱ X ≅ H _{n − i} Xが与えられます。結果として、Xの共次元iの閉じた有向部分多様体S は、 H ⁱ Xのコホモロジー類[ S ] を決定します。これらの用語では、カップ積は部分多様体の交差を記述します。つまり、SおよびTが共次元iおよびjの部分多様体であり、横方向に交差する場合、交差S ∩ Tは共次元i + jの部分多様体であり、その方向はS、T、およびXの方向によって決定されます。滑らかな多様体の場合、SおよびT が横方向に交差しない場合でも、この式を使用してカップ積 [ S ][ T ] を計算できます。そのためには、SまたはTを摂動して交差を横方向にします。$${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$$
  より一般的には、 X が向きを持つと仮定しない限り、 Xの閉部分多様体とその法束への向きは、 X上のコホモロジー類を決定する。X が非コンパクト多様体である場合、閉部分多様体（必ずしもコンパクトではない）はX上のコホモロジー類を決定する。どちらの場合も、カップ積は部分多様体の交差によって記述できる。
  トムは、滑らかな 14 次元多様体上に、いかなる滑らかな部分多様体の類でもない次数 7 の整コホモロジー類を構築したことに注意されたい。 ^{[ 5 ]}一方、彼は、滑らかな多様体上の正次数の整コホモロジー類はすべて、滑らかな部分多様体の類である正の倍数を持つことを示した。^{[ 6 ]}また、多様体上のすべての整コホモロジー類は、「擬似多様体」、つまり少なくとも 2 の余次元の閉部分集合の外側の多様体である単体複体で表すことができる。
• 滑らかな多様体Xについて、ド・ラームの定理によれば、実係数を持つXの特異コホモロジーは、微分形式を使って定義されたXのド・ラームコホモロジーと同型である。カップ積は、微分形式の積に対応する。この解釈の利点は、微分形式上の積は次数可換であるのに対し、特異コチェーン上の積はチェーンホモトピーを除いて次数可換ではないことである。実際、整数または素数pの係数を持つ特異コチェーンの定義を変更して、積を直接次数可換にすることは不可能である。コチェーンレベルで次数可換性が満たされないことから、 p を法とするコホモロジーに対するスティーンロッド演算が導かれる。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

非常に非形式的に、任意の位相空間Xに対して、 の元は、X上を自由に移動できるXの余次元i部分空間によって表されると考えることができます。たとえば、 の元を定義する 1 つの方法は、 Xから多様体Mへの連続写像fと、法バンドル上に向き付けられたMの余次元i閉部分多様体N を与えることです。非形式的に、結果として得られるクラスはXの部分空間上にあると考えられます。これは、クラスが開部分集合のコホモロジーにおいて 0 に制限されるという点で正当化されます。コホモロジークラスは、 NがM内のNの任意の連続変形で置き換えられる可能性があるという意味で、X上を自由に移動できます。 ${\displaystyle H^{i}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(X)}$ ${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}(N)}$ ${\displaystyle f^{*}([N])}$ ${\displaystyle X-f^{-1}(N).}$ ${\displaystyle f^{*}([N])}$

例

以下では、特に断りのない限り、コホモロジーは整数Zの係数でとられます。

• 点のコホモロジー環は、次数 0 の環Zです。ホモトピー不変性により、これはユークリッド空間R ⁿなどの任意の収縮可能な空間のコホモロジー環でもあります。

• 

  2 次元トーラスの最初のコホモロジー群の基底は、示されている 2 つの円の類によって与えられます。

  正の整数nに対して、球面 のコホモロジー環はZ [ x ]/( x ² ) （与えられたイデアルによる多項式環の商環）であり、 xはn次である。上記のポアンカレ双対性において、x は球面上の点の類である。${\displaystyle S^{n}}$
• トーラス のコホモロジー環は、 1 次n個の生成元上のZ上の外積代数である。^{[ 7 ]}例えば、円 内の点をP、2 次元トーラス 内の点 ( P , P ) をQ とすると、 ( S ¹ ) ²のコホモロジーは、次数0 の元1、次数 1 でx :  = [ P × S ¹ ] およびy  := [ S ¹ × P ]、次数 2 でxy = [ Q ]となる形式の自由 Z 加群として基底を持つ。 (ここでは暗黙的に、トーラスと 2 つの円の向きは固定されている。) 次数可換性により、 yx = − xy = −[ Q ] となることに注意。${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle (S^{1})^{2}}$
• より一般的には、R を可換環とし、XとY を任意の位相空間とし、 H ^* ( X , R ) が各次数において有限生成自由R -加群となるものとする。( Yについては仮定は不要である。) このとき、キュネスの公式は、積空間X × Yのコホモロジー環がR -代数のテンソル積となることを示す: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$
• Z /2 係数の実射影空間 RP n のコホモロジー環は Z /2[ x ]/( x n +1 ) で、xは¹次である。 [ 9 ^]ここでxは^{RP nにおける}超平面RP ⁿ −1の類^である。これは、 RP ^{j が}jが偶数かつ正であるとき向きが定まらなくても意味をなす。なぜなら、Z /2 係数のポアンカレ双対性は任意の多様体に対して機能するからである。
  整数係数の場合、答えはもう少し複雑になります。RP ^{2 a}のZコホモロジーは次数2の元yを持ち、コホモロジー全体は、次数0の元 1 で張られた Z のコピーと、i =1,..., a の元 y i で張られた Z /2 のコピーの直和になります。RP 2 a +1の^Zコホモロジーは、次数2 ^{a +1}のZ^の追加のコピーを加えたものと同じです。^{[ 10 ]}
• 複素射影空間CP ⁿのコホモロジー環はZ [ x ]/( x ^{n +1} )であり、 xは2次である。 ^{[ 9 ]}ここでxはCP ⁿの超平面CP ^{n −1}の類である。より一般に、x ^jはCP ^{n の}線型部分空間CP ^{n − j}の類である。
• 種数g ≥ 0 の向き付けられた閉曲面Xのコホモロジー環は、次数 0 の元 1、次数 1 のA ₁、...、A _gとB ₁、...、B _g、次数 2 の点の類 P という形式の自由 Z 加群として基底を持ちます。積は次のように与えられます。すべてのiとjに対してA _i A _j = B _i B _j = 0 、i ≠ jの場合はA _i B _j = 0 、すべてのiに対してA _i B _i = Pです。^{[ 11 ]}次数可換性により、 B _i A _i = − Pとなります。
• 任意の位相空間において、コホモロジー環の次数可換性は、すべての奇数次コホモロジー類xに対して 2 x ² = 0 となることを意味する。したがって、1/2 を含む環Rに対して、 H ^* ( X , R )のすべての奇数次元は平方零を持つ。一方、RがZ /2 またはZの場合、奇数次元は平方零を持つ必要はない。これは、 RP ² (係数がZ /2 の場合) やRP ⁴ × RP ² (係数がZの場合)の例に見られる。

対角線

コホモロジー上のカップ積は、対角写像 ,から来るものと見ることができる。つまり、コホモロジー類およびを持つ任意の空間 および に対して、外積（または外積）コホモロジー類が存在する。類 および のカップ積は、外積を対角線で引き戻すものとして定義できる。^{[ 12 ]}${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$ ${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$ ${\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,R)}$ ${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$ ${\displaystyle v\in H^{j}(X,R)}$ $${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$$

あるいは、外積はカップ積を用いて定義することもできます。空間とについて、 2つの射影をと と書きます。すると、類との外積は次のようになります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\times Y\to X}$ ${\displaystyle g:X\times Y\to Y}$ ${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$ ${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$ $${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

ポアンカレ双対性

ポアンカレ双対性の別の解釈は、有向閉多様体のコホモロジー環が強い意味で自己双対であるというものである。つまり、次元 の有向閉連結多様体 とし、を体とする。すると はと同型となり、積 は${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H^{n}(X,F)}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

は各整数 に対して完全対となる。^{[ 13 ]}特に、ベクトル空間と は同じ（有限）次元を持つ。同様に、の値を法とした整数コホモロジーの積は 上で完全対となる。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle H^{i}(X,F)}$ ${\displaystyle H^{n-i}(X,F)}$ ${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

特性クラス

位相空間X上の階数rの向き付けられた実ベクトル束E は、X上のコホモロジー類、すなわちオイラー類χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ) を決定する。非公式には、オイラー類はEの一般切断の零集合の類である。この解釈は、 Eが滑らかな多様体X上の滑らかなベクトル束であるとき、より明確に表現できる。なぜなら、その場合、 Xの一般滑らかな切断は、Xの余次元rの部分多様体上では消滅するからである。

コホモロジーの値をとるベクトル束の特性類には、チャーン類、スティフェル・ホイットニー類、ポンチャギン類など、他にもいくつか種類があります。

アイレンバーグ・マクレーン空間

任意のアーベル群Aと自然数jに対し、 j番目のホモトピー群が A と同型で、他のホモトピー群が零であるような空間が存在する。このような空間はアイレンバーグ・マクレーン空間と呼ばれる。この空間は、コホモロジーの分類空間であるという注目すべき性質を持つ。すなわち、の自然元uが存在し、任意の空間X上の次数jのコホモロジー類はすべて、uを何らかの連続写像 で引き戻すことで得られる。より正確には、類uを引き戻すと、全単射となる 。${\displaystyle K(A,j)}$ ${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$ ${\displaystyle X\to K(A,j)}$

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

CW複体のホモトピー型を持つ任意の空間Xに対して。 ^{[ 14 ]}ここでXからYへの連続写像のホモトピー類の集合を表す。 ${\displaystyle [X,Y]}$

例えば、空間（ホモトピー同値性まで定義される）は円 とみなすことができます。したがって、上記の記述は、 のすべての元が、何らかの写像 によって上の点の類uから引き戻されることを意味します。 ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle X\to S^{1}}$

任意のアーベル群Aの係数を持つ最初のコホモロジーの関連した記述が、CW 複体Xに対してなど、存在します。つまり、は、 Xのガロア被覆空間の同型類の集合（ X上の主Aバンドルとも呼ばれます） と 1 対 1 に対応します。X が連結である場合、 は（ はXの基本群）と同型であることが分かります。たとえば、はXの二重被覆空間を分類し、その元は自明な二重被覆、つまり 2 つのXのコピーの互いに素な和集合に対応します。 ${\displaystyle H^{1}(X,A)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$

キャップ製品

任意の位相空間Xに対して、キャップ積は双線型写像である

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

任意の整数iとjおよび任意の可換環Rに対して、結果として得られる写像

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

Xの特異ホモロジーをXの特異コホモロジー環上の加群にします。

i = jの場合、キャップ積は自然準同型を与える。

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

これはR体 の同型である。

例えば、X を必ずしもコンパクトではない有向多様体とします。すると、Xの閉じた有向余次元部分多様体Y (必ずしもコンパクトではない) はH ⁱ ( X , R )の元を決定し、 Xのコンパクトなj次元有向部分多様体ZはH _j ( X , R )の元を決定します。キャップ積 [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j − i} ( X , R ) は、 YとZを横方向に交差するように摂動し、それらの交差の類、すなわち次元j − iのコンパクトな有向部分多様体を取ることによって計算できます。

n次元の閉有向多様体XはH _n ( X , R )の基本類[ X ]を持つ。ポアンカレ双対同型は、 X の基本類とのキャップ積によって定義される。 $${\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}$$

特異コホモロジーの簡単な歴史

コホモロジーは現代代数位相幾何学の基礎となるが、その重要性はホモロジーの発展から約40年もの間認識されなかった。アンリ・ポアンカレがポアンカレ双対定理の証明に用いた双対セル構造の概念は、コホモロジーの発想の始まりを含んでいたが、それが認識されるのはもっと後のことである。

コホモロジーには様々な先駆的な理論が存在した。^{[ 15 ]} 1920年代半ば、JWアレクサンダーとソロモン・レフシェッツは多様体上のサイクルの交差理論を確立した。閉じた有向n次元多様体Mにおいて、 iサイクルとjサイクルの交差が空でない場合、一般の位置にあると、それらの交差は( i  +  j  −  n )サイクルとなる。これはホモロジー類の多重性につながる。

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

これは（振り返ってみると） Mのコホモロジー上のカップ積と同一視できる。

アレクサンダーは 1930 年までに、空間X上のi -コチェーンをX ^{i +1}の対角線の小さな近傍上の関数として考えることにより、コチェーンの最初の概念を定義しました。

1931年、ジョルジュ・ド・ラームはホモロジーと微分形式を関連付け、ド・ラームの定理を証明した。この結果はコホモロジーという用語でより簡潔に述べることができる。

1932年から1933年にかけて、コホモロジーはハインツ・ホップ^{[ 16 ]}とエグバート・ファン・カンペン^{[ 17 ]}の 障害に関する研究で本質的に登場した。ホップは、k次元多面体からk次元球面への連続写像のホモトピー（およびホモトピー分類）に対する障害を発明した。彼の研究でコホモロジーは暗黙的に登場し、コホモロジーを明示的に含むより自然な定式化は、1937年にハスラー・ホイットニーによって与えられた^{[ 18 ]} 。ファン・カンペンは、 k次元多面体の2k次元ユークリッド空間への埋め込み可能性に対する障害（および、k>2の場合は、埋め込み可能性の基準）を発明した。彼の研究でコホモロジーは明示的に登場したが、特定の場合（特定の配置空間、削除積）に対してのみであった。

1934年、レフ・ポンチャギンはポンチャギン双対定理を証明しました。これは位相群に関する結果です。これは（かなり特殊なケースにおいて）群指標を用いたポアンカレ双対性とアレクサンダー双対性の解釈を可能にしました。

1935 年にモスクワで開催された会議で、アンドレイ・コルモゴロフとアレクサンダーはともにコホモロジーを紹介し、コホモロジー積構造を構築しようとした。

1936 年に、ノーマン・スティーンロッドは、チェヒ ホモロジーを二重化することによってチェフ コホモロジーを構築しました。

1936年から1938年にかけて、ハスラー・ホイットニーとエドゥアルト・チェフはカップ積（コホモロジーを次数環にする）とキャップ積を開発し、ポアンカレ双対性がキャップ積を用いて記述できることを実証した。彼らの理論は依然として有限胞体複体に限定されていた。

1944 年、サミュエル・アイレンバーグは技術的な限界を克服し、特異ホモロジーおよびコホモロジーの現代的な定義を与えました。

1945年、アイレンバーグとスティーンロッドは、後述するホモロジー理論またはコホモロジー理論を定義する公理を提唱した。1952年に出版された著書『代数的位相幾何学の基礎』において、彼らは既存のホモロジー理論とコホモロジー理論が実際に彼らの公理を満たすことを証明した。

1946 年に、Jean Leray は層コホモロジーを定義しました。

1948年、エドウィン・スパニエはアレクサンダーとコルモゴロフの研究を基にアレクサンダー・スパニエコホモロジーを開発した。

層コホモロジー

層コホモロジーは特異コホモロジーの豊富な一般化であり、単なるアーベル群よりも一般的な「係数」を許容します。位相空間X上のアーベル群の層Eごとに、整数iに対するコホモロジー群H ⁱ ( X , E )が存在します。特に、アーベル群Aに関連付けられたX上の定数層の場合、結果として得られる群H ⁱ ( X , A ) は、多様体Xまたは CW 複体に対する特異コホモロジーと一致します（任意の空間Xに対しては一致しません）。1950 年代以降、層コホモロジーは代数幾何学と複素解析の中心的な部分になりましたが、これは一部には正則関数の層や正則関数の層の重要性によるものです。

グロタンディークは、層コホモロジーをホモロジー代数の言語で簡潔に定義し、特徴づけた。本質的な点は、空間Xを固定し、層コホモロジーをX上の層のアーベル圏からアーベル群への関数と考えることである。まず、 X上の層EをそのX上の大域切断のアーベル群、E ( X ) に取る関数を考える。この関数は左完全であるが、必ずしも右完全であるとは限らない。グロタンディークは、層コホモロジー群を左完全関数E ↦ E ( X ) の右導来関数として定義した。^{[ 19 ]}

この定義は様々な一般化を示唆している。例えば、任意の層の複体を係数とする位相空間Xのコホモロジーを定義することができ、これは以前はハイパーコホモロジーと呼ばれていた（しかし現在では一般的に単に「コホモロジー」と呼ばれる）。この観点から見ると、層コホモロジーはX上の層の導来圏からアーベル群へ の関数の列となる。

広義では、「コホモロジー」はアーベル圏上の左完全関数の右導来関数に対して用いられることが多いのに対し、「ホモロジー」は右完全関数の左導来関数に対して用いられる。例えば、環Rに対して、Tor 群Tor _i ^R ( M , N ) は、 R 加群のテンソル積M ⊗ _R Nの左導来関数である各変数における「ホモロジー理論」を形成する。同様に、Ext 群Ext ⁱ _R ( M , N ) は、 Hom 関数 Hom _R ( M , N )の右導来関数である各変数における「コホモロジー理論」とみなすことができる。

層コホモロジーは、ある種のExt群と同一視できる。すなわち、位相空間X上の層Eに対して、H ⁱ ( X , E ) は Ext ⁱ ( Z _X , E ) と同型である。ここで、Z _Xは整数Zに関連付けられた定数層を表し、 Ext はX上の層のアーベル圏に含まれる。

多様体のコホモロジー

代数多様体のコホモロジーを計算するためのマシンは数多く存在します。最も単純な例は、特性の体上の滑らかな射影多様体のコホモロジーの決定です。ホッジ理論のツールであるホッジ構造は、（より詳細な情報も加えて）この種の多様体のコホモロジーの計算に役立ちます。最も単純な例では、の滑らかな超曲面のコホモロジーは、多項式の次数のみから決定できます。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

有限体、あるいは特性 の体上の多様体を考える場合、ホモロジー／コホモロジーの古典的な定義が破綻するため、より強力なツールが必要となる。これは、有限体上の多様体は有限な点の集合にしかならないためである。グロタンディークはグロタンディーク位相の概念を考案し、エタール位相上の層コホモロジーを用いて有限体上の多様体のコホモロジー理論を定義した。特性 の体上の多様体のエタール位相を用いることで、の-進コホモロジーを構築することができる。これは射影極限として定義される。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell \neq p}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }.}$

有限型のスキームがある場合

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

多様体が両体上で滑らかであるとき、 のベッティコホモロジーと の -進コホモロジーの次元は等しい。これらのコホモロジー理論に加えて、特異コホモロジーと同様に振舞う、ヴェイユコホモロジー理論と呼ばれるコホモロジー理論も存在する。すべてのヴェイユコホモロジー理論の根底には、モチーフに関する予想理論が存在する。 ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$

もう一つの有用な計算ツールはブローアップシーケンスである。余次元部分スキームが与えられたとき、直交座標の正方形が存在する。${\displaystyle \geq 2}$ ${\displaystyle Z\subset X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

ここから、関連する長完全列が存在する。

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }$

部分多様体が滑らかであれば、接続射はすべて自明なので、 ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

公理と一般化コホモロジー理論

位相空間のコホモロジーを定義する方法は様々である（特異コホモロジー、チェフコホモロジー、アレクサンダー–スパニエコホモロジー、層コホモロジーなど）。（ここでは、層コホモロジーは定数層の係数についてのみ考える。）これらの理論は、いくつかの空間に対しては異なる答えを与えるが、それらすべてが一致する空間の大きなクラスが存在している。これは公理的に理解するのが最も簡単である。アイレンバーグ–スティーンロッド公理として知られる特性のリストがあり、それらの特性を共有する任意の 2 つの構成は、少なくともすべての CW 複体について一致する。^{[ 20 ]}コホモロジー理論だけでなくホモロジー理論にも公理のバージョンが存在する。一部の理論は、特殊位相空間の特異コホモロジーを計算するツールとして見ることができる。たとえば、単体複体の単体コホモロジー、 CW 複体の細胞コホモロジー、滑らかな多様体のド・ラームコホモロジーなどである。

コホモロジー理論におけるアイレンバーグ＝スティーンロッド公理の一つに次元公理がある。すなわち、Pが一点であるとき、すべてのi ≠0に対してH ⁱ ( P ) = 0が成り立つ。1960年頃、ジョージ・W・ホワイトヘッドは次元公理を完全に省略することが有益であると指摘した。これは、以下に定義される一般化ホモロジー理論または一般化コホモロジー理論の概念を与える。K理論や複素コボルディズムなどの一般化コホモロジー理論は、特異コホモロジーから直接得られない位相空間に関する豊富な情報を与える。（この文脈では、特異コホモロジーはしばしば「通常のコホモロジー」と呼ばれる。）

定義により、一般化ホモロジー理論は、 CWペア( X、  A )(したがってXはCW複体、Aは部分複体)のカテゴリからアーベル群のカテゴリへの関数h _i (整数iについて)の列であり、境界準同型と呼ばれる自然変換∂ _i : h _i ( X、A ) → h _{i −1} ( A )を伴う(ここでh _{i −1} ( A )はh _{i −1} ( A 、∅)の略記である)。公理は以下の通りである。

1. ホモトピー:が に同型である場合、ホモロジー上の誘導準同型は同じです。${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$ ${\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}$
2. 正確性: 各ペア ( X , A ) は、包含関係f : A → Xおよびg : ( X ,∅) → ( X , A )を介して、ホモロジーにおける長い完全列を誘導します。$${\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}$$
3. 切除: X が部分複体AとBの和集合である、包含f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) により、すべてのiに対して同型性が誘導されます。$${\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}$$
4. 加法性: ( X、A ) がペアの集合 ( X _α、A _α ) の互いに素な和である場合、包含 ( X _α、A _α ) → ( X、A ) により直和から同型性が誘導されます。すべてのiに対して。$${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$$

一般化コホモロジー理論の公理は、大まかに言えば、矢印を反転させることで得られる。より詳細には、一般化コホモロジー理論とは、CW対の圏からアーベル群の圏への反変関手h ⁱ（整数iに対して）の列と、境界準同型（ h i ( ^A ,∅) をh ⁱ ( A ) と表記する）と呼ばれる自然変換d : h ⁱ ( A ) → h ^{i +1} ( X , A )である。公理は以下の通りである 。

1. ホモトピー: ホモトピック写像はコホモロジー上に同じ準同型性を誘導します。
2. 正確性: 各ペア ( X , A ) は、包含関係f : A → Xおよびg : ( X ,∅) → ( X , A )を介して、コホモロジーの長い完全列を誘導します。$${\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$$
3. 切除: X が部分複体AとBの和集合である場合、包含f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) により、すべてのiに対して同型性が誘導されます。$${\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}$$
4. 加法性: ( X、A ) がペアの集合 ( X _α、A _α ) の互いに素な和集合である場合、包含 ( X _α、A _α ) → ( X、A ) により、すべてのiに対して、積群への同型性が誘導されます。$${\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$$

スペクトルは、一般化ホモロジー理論と一般化コホモロジー理論の両方を決定します。ブラウン、ホワイトヘッド、アダムスによる基本的な結果は、すべての一般化ホモロジー理論はスペクトルから来ており、同様にすべての一般化コホモロジー理論もスペクトルから来ていることを示しています。^{[ 21 ]}これは、通常のコホモロジーがアイレンバーグ・マクレーン空間によって表現可能であることを一般化します。

微妙な点は、安定ホモトピー圏（スペクトルのホモトピー圏）から CW ペア上の一般化ホモロジー理論への関手は同値ではないが、同型類には一対一となることである。安定ホモトピー圏には、CW ペア上のホモロジー理論間の零写像を誘導する非零写像（ファントム写像と呼ばれる）が存在する。同様に、安定ホモトピー圏から CW ペア上の一般化コホモロジー理論への関手も同値ではない。^{[ 22 ]}三角化されるなどの優れた特性を持つのは、これらの他の圏ではなく、安定ホモトピー圏である。

ホモロジーやコホモロジー理論をCW複体ではなくすべての位相空間上で定義したい場合、1つの標準的なアプローチは、すべての弱ホモトピー同値性がホモロジーやコホモロジー上に同型性を誘導するという公理を含めることである。（これは特異ホモロジーや特異コホモロジーには当てはまるが、例えば層コホモロジーには当てはまらない。）すべての空間はCW複体から弱ホモトピー同値性を許容するので、この公理はすべての空間上のホモロジーやコホモロジー理論をCW複体上の対応する理論に還元する。^{[ 23 ]}

一般化されたコホモロジー理論の例としては、次のものがあります。

• 安定コホモトピー群 対応するホモロジー理論はより頻繁に使用される：安定ホモトピー群${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}$ ${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}$
• 空間から多様体へのあらゆる写像を考慮した上で空間を研究する、様々な種類のコボルディズム群があります。例えば、無向コボルディズム、有向コボルディズム、複素コボルディズムなどです。複素コボルディズムはホモトピー理論において特に強力であることが判明しています。これはダニエル・キレンの定理を介して、形式群と密接に関連しています。${\displaystyle MO^{*}(X)}$ ${\displaystyle MSO^{*}(X),}$ ${\displaystyle MU^{*}(X),}$
• 空間上のすべてのベクトル束を考慮して空間を研究することに基づく、さまざまな種類の位相K 理論: (実周期 K 理論)、(実連結 K 理論)、(複素周期 K 理論)、(複素連結 K 理論) など。${\displaystyle KO^{*}(X)}$ ${\displaystyle ko^{*}(X)}$ ${\displaystyle K^{*}(X)}$ ${\displaystyle ku^{*}(X)}$
• ブラウン・ピーターソンコホモロジー、モラヴァ K 理論、モラヴァ E 理論、および複素コボルディズムから構築されたその他の理論。
• 楕円コホモロジーのさまざまな種類。

これらの理論の多くは、通常のコホモロジーよりも豊富な情報を持っていますが、計算が困難です。

コホモロジー理論Eが乗法的であるとは、各空間Xに対して次数付き環の構造を持つ場合を言う。スペクトルの言語では、環スペクトルのより厳密な概念がいくつか存在し、例えばE _∞環スペクトルでは、積は強い意味で可換かつ結合的である。 ${\displaystyle E^{*}(X)}$

その他のコホモロジー理論

より広い意味でのコホモロジー理論（位相空間ではなく、他の代数的または幾何学的構造の不変量）には次のものが含まれます。

• 代数的K理論
• アンドレ・キランコホモロジー
• 有界コホモロジー
• BRSTコホモロジー
• チェフコホモロジー
• コヒーレント層コホモロジー
• 結晶コホモロジー
• 巡回コホモロジー
• ドリーニュコホモロジー
• 同変コホモロジー
• エタールコホモロジー
• 拡張グループ
• 平坦コホモロジー
• フロアーホモロジー
• ガロアコホモロジー
• 群コホモロジー
• ホックシルトコホモロジー
• 交差コホモロジー
• コバノフホモロジー
• リー代数コホモロジー
• 局所コホモロジー
• モチーフコホモロジー
• 非アーベルコホモロジー
• 量子コホモロジー

参照

• 複素指向コホモロジー理論

引用

1. ハッチャー 2001、108ページ。
2. Hatcher (2001)、定理3.5; Dold (1972)、命題VIII.3.3と系VIII.3.4。
3. Dold 1972、命題IV.8.12とV.4.11。
4. ハッチャー 2001、定理3.11。
5. Thom 1954、62～63ページ。
6. Thom 1954、定理II.29。
7. Hatcher 2001、例3.16。
8. ハッチャー 2001、定理3.15。
9. Hatcher 2001、定理3.19。
10. ハッチャー 2001、222ページ。
11. Hatcher 2001、例3.7。
12. ハッチャー 2001、186ページ。
13. ハッチャー 2001、命題3.38。
14. 1999年5月、177ページ。
15. デュドネ 1989、セクション IV.3。
16. ホップ 1933 .
17. ファン・カンペン 1932 .
18. ホイットニー 1937 .
19. Hartshorne 1977、セクションIII.2。
20. 1999年5月、95ページ。
21. Switzer 1975、p. 117、331、定理9.27; 系14.36; 備考。
22. 「スペクトルは本当にコホモロジー理論と同じなのか？」MathOverflow。
23. スウィッツァー 1975、7.68。

参考文献

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• Dold、Albrecht (1972)、Lectures on Algebraic Topology、Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-58660-9、MR  0415602
• アイレンバーグ、サミュエル；スティーンロッド、ノーマン（1952）、『代数的位相幾何学の基礎』、プリンストン大学出版局、ISBN 9780691627236、MR  0050886
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