カラナパダティ
| 著者 | プトゥマナ・ソマヤジ |
|---|---|
| 言語 | サンスクリット |
| 主題 | 天文学/数学 |
発行日 | 1733年（？） |
| 出版場所 | インド |
カーラナパダティは、ケーララ学派の天文学者であり数学者でもあったプトゥマナ・ソマヤジに帰せられるサンスクリット語の天文学論文である。執筆時期は不明である。東インド会社の公務員であったC.M.ウィッシュが1834年に発表した論文によって、初めてヨーロッパの学者の注目を集めた。[ 1 ]本書は10章に分かれており、サンスクリット語の詩の形をとっている。第6章には、数学定数πの値の級数展開と、三角関数の正弦、余弦、逆正接の展開が含まれている。[ 2 ]
カラナパダティの著者と日付
カーラナパダティの著者については、確かなことは何も知られていない。第10章の最後の詩節では、著者はシヴァプラという村に住むバラモンであると記されている。シヴァプラとは、現在のインド、ケーララ州トリシュール周辺の地域である。
相馬屋爺が生きた時代も定かではない。この点についてはいくつかの説がある。[ 3 ]
- カラナパダティについて初めて著作を著した西洋人であるCMウィッシュは、カラナパダティの最終詩節に現れる特定の単語が、カタパヤディ法におけるカリユガの日数を表しているという解釈に基づき、この書は西暦1733年に完成したと結論付けました。ウィッシュはまた、カラナパダティの著者の孫が存命であり、論文執筆当時は70歳であったと主張しました。[ 1 ]
- ゴビンダバッタの『ガニタ・スチカ・グランタ』の一節におけるプトゥマナ・ソマヤジへの言及に基づいて、ラージャ・ラージャ・ヴァルマはカラナパッダティの作者を西暦1375年から1475年の間に位置づけた。[ 3 ] [ 4 ]
- カラナパダティの内部研究によると、この作品はニラカンタ・ソーマヤジ（1465-1545年）のタントラサングラハと同時期か、あるいはそれよりも古いものであることが示唆されている。[ 3 ]
本のあらすじ
本書の各章の内容を簡単に説明すると以下の通りである。[ 5 ]
- 第 1 章 : 1マハーユガにおける惑星の自転と公転、マハーユガの常用日数、太陽月、太陰月、閏月、カルパと4つのユガとその期間、カリ ユガの詳細、マラヤーラム語時代からのカリ時代の計算、カリ日の計算、惑星の真の位置と平均位置、数値計算の簡単な方法、惑星の真の位置と平均位置の計算、惑星の軌道の詳細、さまざまな惑星のさまざまなパラメータの計算に使用する定数。
- 第 4 章 :火星の近地点と遠地点、火星に関してさまざまな場合に与えられる補正、それぞれの順序での火星、水星、木星、金星、土星の定数、これらすべての惑星の近地点と遠地点、それらの合、それらの合の可能性。
- 第 6 章: さまざまな方法を使用した円周の 計算、円周と直径の分割、円のさまざまなパラメーターの計算とそれらの関係、円、弧、弦、矢印、角度、さまざまなパラメーター間の関係、カタパヤディ システムを使用してこれらすべての要素を記憶する方法。
- 第 7 章 :月と太陽の周転円、惑星の遠地点と近地点、惑星が存在する黄道十二星座に基づいた星座計算、昇り、沈み、遠地点、近地点に関連する弦、月の終わりを決定する方法、すべての惑星の周転円と遠地点の弦、その斜辺。
- 第 9 章 : アルファ星座の詳細、正しい角度値での惑星の位置の計算、星の位置の計算、さまざまな惑星、太陽、月、その他の星の緯度と経度に関連する視差。
- 第 10 章 : 惑星の影と影に関連するさまざまなパラメータの計算、惑星の位置の精度の計算。
無限級数式
カーラナパダティの第六章は数学的に非常に興味深い。定数πの無限級数表現と三角関数の無限級数展開が含まれている。これらの級数はタントラサングラハにも登場し、その証明はユクティバーシャに記されている。
πの級数表現
シリーズ1
最初のシリーズは、 「vyāsāccaturghnād bahuśaḥ pr̥thaksthāt tripañcasaptādyyugāhr̥ tāni vyāse caturghne kramaśastvr̥ṇam svaṁ kurjāt tadā syāt paridhiḥ susuksmaḥ 」という詩で指定されています。式 π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
シリーズ2
2 番目のシリーズは、詩 vyāsād vanasamguṇitāt pr̥thagāptaṁ tryādyayug-vimulaghanaiḥ triguṇavyāse svamr̥naṁ kramasah kr̥tvāpi paridhirāneyaḥ で指定されており 、これは π = 3 + 4 { 1 / ( 3 3 - 3 ) + 1 / ( 5 3 - 5 ) + 1 / ( 7 3 - 7 ) + ... }
シリーズ3
π の 3 番目の系列は、 vargairyjāṃ vā dviguṇairnirekairvargīkṛtair-varjitayugmavargaiḥ vyāsaṁ ca ṣaḍghanaṃ vibhajet phalaṁ svaṃ vyāse trinīghne paridhistadā syāt に 含まれており 、これは π = 3 + 6 { 1 / ( (2 × 2 2 - 1 ) 2 - 2 2 ) + 1 / ( (2 × 4 2 - 1 ) 2 - 4 2 ) + 1 / ( (2 × 6 2 - 1 ) 2 - 6 2 ) + ... }
三角関数の級数展開
次の節では、サイン関数とコサイン関数の無限級数展開について説明します。 チャパッカ タッタット パラトピ タッドヴァト キャパハタッドヴァヤーディハタ トリマウル ヴィア ラブダーニ ユグマニ ファラーニャアドホダハ キャパダユグマーニ キャ ビスタールダート ヴィンヤシャ コーパリ ティヤジェット タット シェシャウ これらの式は、sin x = x - x 3 / 3 です。 +× 5 /5！ - ... cos x = 1 - x 2 / 2! +× 4 /4！ - ...最後に、次の節で逆正接 関数 の展開を示します。 ヴィアーサールデナ ハターダビシュタグナタタ コンヤープタマーディアン ファラ ジャヴァルゲナ ヴィニ グナマーディマファラタ タッタトファラ チャーハレット クリティア コンティグ ナーシャ タトラ トゥphaleṣvekatripañcādibhir- bhakteṣvojayutaistajet samajutiṃ jīvādhanuśiśaṣate 指定された展開は、 tan −1 x = x - x 3 / 3 + x 5 / 5 - ...です。
参考文献
- ^ a bチャールズ・ウィッシュ（1834）「ヒンドゥー教の円の求積法と、タントラ・サグラハム、ユクティ・バシャ、カラナ・パダティ、サドラトナマラの4つのサストラに示された円周と直径の比率の無限級数について」英国アイルランド王立アジア協会紀要、3（3）、英国アイルランド王立アジア協会：509–523、doi：10.1017/S0950473700001221、JSTOR 25581775
- ^ Datta, Bibhutibhushan ; AN Singh (1993). 「インドにおけるシリーズの使用」.インド科学史ジャーナル. 28 (3): 103– 129.
- ^ a b c Bag, Amulya Kumar (1966). 「Karanapaddhatiにおける三角関数の級数と本文の推定年代」(PDF) . Indian Journal of History of Science . 1 (2). Indian National Science Academy: 98– 106.
- ^ラジャラジャ・ヴァルマ・ヴァダクムクール。ケーララにおけるサンスクリット文学の歴史 (1 ～ 6 巻)。 Vol. 1.p. 529.
- ^ N. ゴパラクリシュナン (2004)。Baharatheeya Vijnana / Saastra Dhaara (古代インドの科学書籍ハンドブック) (PDF)。ヘリテージ出版シリーズ。 Vol. 78. インド、ティルヴァナンタプラム：インド科学遺産研究所。18～ 20ページ 。2010 年1 月 12 日に取得。
Venketeswara Pai R、K Ramasubramanian、MS Sriram、MD Srinivas、「Putumana Somayaji の Karanapaddhati」、詳細な数学的注釈付きの翻訳、HBA (2017) と Springer (2018) による共同出版。
その他の参考文献
- オープンライブラリのKarana-paddhatiへの参照と2つの注釈。[1]
- Bag, Amulya Kumar (1976). 「Madhavaの正弦・余弦級数」(PDF) . Indian Journal of History of Science . 11 (1). Indian National Academy of Science: 54– 57. 2010年2月14日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2009年12月17日閲覧。
- Bag, Amulya Kumar (1975). 「古代および中世インドにおけるBY = AX ± C型不定方程式の積分解法」 (PDF) . Indian Journal of History of Science . 12 (1). Indian National Academy of Science: 1– 16. 2010年1月12日閲覧.
- PKコル編（1953年）。プトゥマナ ソマヤジのカラナパダティ。チェルプ、ケーララ州、インド：Astro Printing and Publishing Company。
- インド国立科学アカデミーは、2007年から2008年にかけて、インド工科大学歴史学部助教授K・ラマスブラマニアン博士（住所：ムンバイ400076 ）による「プトゥマナ・ソマヤジのカーラナ・パダティの批判的研究と数学的注釈付きの英語訳の準備」と題するプロジェクトを開始しました。[2]（2010年1月13日閲覧）
