KdV階層

数学において、KdV 階層は、コルテヴェク・ド・フリース方程式を含む偏微分方程式の無限列です。

詳細

を実数値関数 上で定義される変換演算子とします。を を満たすすべての解析関数、すなわち周期1の周期関数の集合とします。各 に対して、上の滑らかな関数 の空間上で演算子を定義します 。ブロッホスペクトルをの集合として定義し、およびを満たす非ゼロ関数が存在するようにします。KdV階層は、任意の に対して解析関数が存在し、をおよび と 定義すると、 は とは独立であるような非線形微分演算子の列です 。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(g)(x)=g(x+1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle T(g)(x)=g(x)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle L_{g}(\psi )(x)=\psi ''(x)+g(x)\psi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{g}}$ ${\displaystyle (\lambda ,\alpha )\in \mathbb {C} \times \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle L_{g}(\psi )=\lambda \psi }$ ${\displaystyle T(\psi )=\alpha \psi }$ ${\displaystyle D_{i}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle g(x,t)}$ ${\displaystyle g_{t}(x)}$ ${\displaystyle g(x,t)}$ ${\displaystyle D_{i}(g_{t})={\frac {d}{dt}}g_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{g}}$ ${\displaystyle t}$

KdV階層は、ダランベルシアンに対するホイヘンスの原理の記述として自然に生じる。^{[ 1 ] [ 2 ]}

階層の最初の3つの項の明示的な方程式

KdV階層の最初の3つの偏微分方程式は、 各方程式がそれぞれの に対する PDE として考えられている。^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t_{0}}&=u_{x}\\u_{t_{1}}&=6uu_{x}-u_{xxx}\\u_{t_{2}}&=10uu_{xxx}-20u_{x}u_{xx}-30u^{2}u_{x}-u_{xxxxx}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle u=u(x,t_{n})}$ ${\displaystyle n}$

最初の方程式は、元のKdV方程式と同様に、 とを識別します。これらの方程式は、（可算）無限個の独立な運動定数から、それらを順にシステムのハミルトニアンとして選択することで、運動方程式として生じます。 の場合、これらの方程式は高次KdV方程式と呼ばれ、変数はの高次倍と呼ばれます。 ${\displaystyle t_{0}=x}$ ${\displaystyle t_{1}=t}$ ${\displaystyle I_{n}[u]}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle t_{n}}$

KdVの周期解への応用

ヤコビ楕円関数cnの 2 乗による Korteweg–De Vries 方程式のクノイド波解(パラメータmの値は0.9 )。

高次のKdVは、 に対する過剰決定偏微分方程式の系として考えることができます。 そして、ある固定された時間以上で高次の時間に依存しない、周期境界条件を伴う解は、有限ギャップ解と呼ばれます。このような解は、種数によって分類されるコンパクトリーマン面に対応します。例えば、は定数解を与え、 はクノイド波解に対応します。 $${\displaystyle u=u(t_{0}=x,t_{1}=t,t_{2},t_{3},\cdots ).}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle g=1}$

に対して、リーマン面は超楕円曲線であり、その解はシータ関数で与えられる。^{[ 4 ]}実際、周期的な初期データを持つKdV方程式のすべての解はこの構成から生じる（Manakov、Novikov、Pitaevskii et al.  1984）。 ${\displaystyle g>1}$

参照

• ウィッテンの予想
• ホイヘンスの原理

参考文献

1. Chalub, Fabio ACC; Zubelli, Jorge P. (2006). 「双曲型作用素と積分階層に対するホイヘンスの原理」. Physica D: 非線形現象. 213 (2): 231– 245. Bibcode : 2006PhyD..213..231C . doi : 10.1016/j.physd.2005.11.008 .
2. ベレスト、ユリユウ。ロウツェンコ、イーゴリ M. (1997)。 「ミンコフスキー空間におけるホイヘンスの原理とコルテヴェーグ・ド・フリース方程式のソリトン解」。数理物理学におけるコミュニケーション。190 ( 1 ): 113–132。arXiv : solv-int/ 9704012 。ビブコード: 1997CMaPh.190..113B。土井：10.1007/s002200050235。S2CID 14271642。 
3. Dunajski、Maciej (2010)。ソリトン、インスタントン、ツイスター。オックスフォード: オックスフォード大学出版局。56 ～ 57ページ 。ISBN 9780198570639。
4. マナコフ、S.;ノビコフ、Ｓ．ピタエフスキー、L.ザハロフ、VE (1984)。ソリトンの理論: 逆散乱法。ニューヨーク。ISBN 978-0-306-10977-5。

出典

• ゲステシー、フリッツ、ホールデン、ヘルゲ（2003）、ソリトン方程式とその代数幾何学的解、第1巻、ケンブリッジ高等数学研究、第79巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-75307-4、MR  1992536

外部リンク

• Dispersive PDE Wiki のKdV 階層。