コッホ・スノーフレーク
コッホ・スノーフレークの最初の4つの反復
アニメーションの最初の7つの反復
コッホ曲線の頂点を拡大する
頂点ではない点にズームインすると、曲線が回転する場合があります。
コッホ反スノーフレーク
最初の4つの反復
6回目の反復

コッホ・スノーフレーク（コッホ曲線、コッホ・スター、コッホ島とも呼ばれる[ 1 ] [ 2 ]）はフラクタル曲線の一種であり、最も古くから記述されているフラクタルの一つである。これは、スウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホが1904年に発表した論文「初等幾何学から構成可能な接線のない連続曲線について」[ 3 ]に登場するコッホ曲線に基づいている。

コッホ雪片は、段階的に繰り返し構築することができます。最初の段階は正三角形で、各段階は前の段階の各辺を外側に曲げることで形成され、より小さな正三角形を形成します。雪片の構築において、各段階によって囲まれる面積は元の三角形の面積の倍に収束しますが、各段階の周囲長は無限に増加します。したがって、雪片は有限の面積を囲みますが、周囲長は無限大です。 85{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}

コッホの雪片は、任意の点に接線を引くことが不可能な連続曲線の例として構築されました。ワイエルシュトラス関数の証明が純粋に解析的であったのに対し、コッホの雪片は当時幾何学的に表現可能であったため、この性質は「素朴な直感」によっても理解可能でした。[ 3 ]

起源と歴史

1904年の論文で、フォン・コッホはこの再帰的構成を線分に適用し、コッホ雪片の境界の1/3を形成する曲線を得ました。しかし、完全な雪片は1904年に発表された原著論文[ 3 ]にも、1906年に出版された拡張された回顧録[ 4 ]にも登場しません。そこで、誰が最初に雪片の図形を作成したのかという疑問が生じます。この疑問を調査した結果、雪片曲線はアメリカの数学者エドワード・カスナーによるものであることが示唆されています。[ 5 ] [ 6 ]

工事

コッホ スノーフレークは、正三角形から始めて、各線分を次のように再帰的に変更することで作成できます。

  1. 線分を等しい長さの 3 つの線分に分割します。
  2. 手順 1 の中央の線分を底辺として外側を向く正三角形を描きます。
  3. 手順 2 から三角形の底辺となる線分を削除します。

このプロセスの最初の反復により、六十四卦の輪郭が生成されます。

コッホ・スノーフレークは、上記の手順を無限に繰り返した際に近づく極限です。ヘルゲ・フォン・コッホによって最初に記述されたコッホ曲線は、元の三角形の3辺のうち1辺のみを用いて構成されます。言い換えれば、3つのコッホ曲線がコッホ・スノーフレークを構成します。

コッホ曲線に基づく名目上平坦な表面の表現は、同様に、各線を所定の角度で鋸歯状のセグメントに繰り返し分割することによって作成できます。[ 7 ]

プロパティ

コッホ雪片の周囲

コッホ雪片の弧の長さは無限大です。これを示すために、各反復構成は曲線の多角形近似であることに注目します。したがって、反復の周囲長が無限であることを示すだけで十分です。

反復後の雪片の周囲の長さは、元の三角形の 辺の長さで表すと、n{\displaystyle n}s{\displaystyle s}

3s⋅（43）n、{\displaystyle 3s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,,}

それは無限に発散します。

コッホ雪片の面積

反復後の雪片の総面積は、元の三角形の面積で表すと、等比級数となる。 n{\displaystyle n}あ{\displaystyle A}

あ（1+34∑け＝1n（49）け）＝あ15（8−3（49）n）。{\displaystyle A\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=A\,{\frac {1}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.}

が無限大に近づく極限を考えると、コッホの雪片の面積は元の三角形の面積と等しい。元の三角形の辺の長さで表すと、次のようになる。[ 8 ]n{\displaystyle n}85{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}s{\displaystyle s}2s235。{\displaystyle {\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.}}

革命の固体

コッホ雪片の回転体の体積は、単位辺の開始正三角形の対称軸の周りで[ 9 ]である。113135π。{\displaystyle {\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .}

その他の特性

コッホ雪片は、中心にある1つの大きなコピーを6つの小さなコピーが取り囲むように自己複製する。したがって、これは非反復7非反復タイルである（詳細は反復タイルを参照）。

コッホ曲線のハウスドルフ次元は である。これは直線( )のハウスドルフ次元よりも大きいが、ペアノの空間充填曲線( )のハウスドルフ次元よりも小さい。 d＝ln⁡4ln⁡3≈1.26186{\displaystyle d={\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1.26186}＝1{\displaystyle =1}＝2{\displaystyle =2}

コッホ曲線のハウスドルフ測度はを満たすが、その正確な値は不明である。 であると推測される。 [ 10 ]S{\displaystyle S}0.032<Hd（S）<0.6{\displaystyle 0.032<{\mathcal {H}}^{d}(S)<0.6}0.528<Hd（S）<0.590{\displaystyle 0.528<{\mathcal {H}}^{d}(S)<0.590}

曲線のどの点にも 接線を引くことは不可能です。

ド・ラーム曲線としての表現

コッホ曲線はド・ラーム曲線の特殊なケースとして現れます。ド・ラーム曲線はカントール空間を平面に写像したもので、通常は連続曲線を形成するように配置されます。連続ド・ラーム曲線上の各点は、単位区間内の実数に対応します。コッホ曲線では、雪片の先端は二項有理数に対応し、それぞれの先端は異なる二項有理数で一意にラベル付けできます。

平面のモザイク化

2つのサイズのコッホ雪片によるモザイク模様

2つの異なるサイズのコッホ雪片のコピーを用いて平面をタイル状に敷き詰めることは可能です。しかし、単一サイズの雪片のみを用いたタイル状の敷き詰めは不可能です。タイル状の敷き詰めにおける各コッホ雪片は、2つの異なるサイズの7つの小さな雪片に分割できるため、2つ以上のサイズを同時に用いるタイル状の敷き詰めも可能です。 [ 11 ]同じサイズのコッホ雪片とコッホ反雪片を用いて平面をタイル状に敷き詰めることができます。

トゥー・モース列とタートルグラフィックス

タートルグラフとは、オートマトンにシーケンスをプログラムした場合に生成される曲線です。プログラム状態を選択するために Thue-Morseシーケンスのメンバーを使用する場合、次のようになります。

  • の場合、1単位前進し、t（n）＝0{\displaystyle t(n)=0}
  • の場合、反時計回りにラジアンまたは60度回転します。t（n）＝1{\displaystyle t(n)=1}π3{\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}

結果として得られる曲線はコッホ雪片に収束します。

リンデンマイヤーシステムとしての表現

コッホ曲線は次の書き換えシステム（リンデンマイヤーシステム）で表すことができます。

アルファベット ：F
定数 : +, −
公理 ：F
生成規則 ：F → F+F--F+F

ここで、Fは「前方に引く」、-は「右に 60° 回転する」、+ は「左に 60° 回転する」を意味します。

コッホ スノーフレークを作成するには、公理として F--F--F (正三角形) を使用します。

コッホ曲線の変種

フォン・コッホの概念に従って、直角（二次曲線）、他の角度（チェザロ）、円、多面体、およびそれらの高次元への拡張（それぞれ球状フレークとコッホキューブ） を考慮したコッホ曲線のいくつかの変種が設計された。

バリアント（寸法、角度）図工事
≤1D、角度60～90° チェザロフラクタル（85°）チェザロ・フラクタルは、コッホ曲線の変形であり、角度は60°から90°です。チェザロ・アンチスノーフレークの最初の4つの反復（90°の正方形に配置された4つの60°曲線）
≈1.46D、90°の角度 二次曲線タイプ1 最初の2つの反復
1.5D、90°の角度 二次曲線タイプ2ミンコフスキーソーセージ[ 12 ] 最初の2回の反復。そのフラクタル次元は1次元と2次元のちょうど中間に位置します。そのため、非整数フラクタル物体の物理的特性を研究する際によく選ばれます。 32{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}
≤2D、90°の角度 3回目の反復ミンコフスキー島 正方形に配置された4つの2次曲線
≈1.37D、90°の角度 二次フレーク 多角形に配置された4つの二次曲線タイプ1：最初の2回の反復。「ミンコフスキーソーセージ」として知られる[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]フラクタル次元は[ 16 ]である。ln⁡3ln⁡5＝1.36521{\displaystyle {\tfrac {\ln 3}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.36521}
≤2D、90°の角度 二次アンチフレーク反クロスステッチ曲線、二次フレークタイプ1、曲線が外側ではなく内側を向いている（ヴィチェクフラクタル）
≈1.49D、90°の角度 二次交差別のバリエーション。そのフラクタル次元は です。 ln⁡3.33ln⁡5＝1.49{\displaystyle {\frac {\ln 3.33}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.49}
≤2D、90°の角度 二次島[ 17 ] 二次曲線、反復0、1、2;次元ln⁡18ln⁡6≈1.61{\displaystyle {\tfrac {\ln 18}{\ln 6}}\approx 1.61}
≤2D、60°の角度 フォン・コッホ面 2 次元におけるコッホ曲線の自然拡張の最初の 3 回の反復。
≤2D、90°の角度 タイプ1の3Dコッホ二次フラクタルの1回目（青いブロック）、2回目（緑のブロックと）、3回目（黄色のブロックと）、4回目（透明なブロックと）の反復2次曲線タイプ1の拡張。左の図は、2回目の反復後のフラクタルを示しています。アニメーション2次曲面
≤3D、任意 3Dのコッホ曲線コッホ曲線から構成される3次元フラクタル。シェルピンスキーのピラミッドとメンガースポンジがシェルピンスキーの三角形とシェルピンスキーカーペットの延長線上にあるのと同様に、この形状も曲線の3次元的な延長線上にあるとみなすことができます。この形状に使用されている曲線は、85°の角度を使用しています。

正方形は、同様のフラクタル曲線を生成するために使用できます。単位正方形から始めて、各反復で各辺に、前の反復の正方形の3分の1の大きさの正方形を追加していくと、周囲の長さと総面積の両方が等比数列によって決定されることが示されます。面積の等比数列はに収束しますが、周囲の等比数列は無限大に発散するため、コッホの雪片の場合と同様に、無限のフラクタル曲線で囲まれた有限の面積が得られます。[ 18 ]結果として得られる面積は、元の中心と同じ正方形を埋めますが、面積は2倍になり、ラジアン回転します。周囲は互いに接しますが、重なることはありません。 2{\displaystyle 2}π4{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}

番目の反復でカバーされる合計領域は次のとおりです。 n{\displaystyle n}An=15+45∑k=0n(59)kgivinglimn→∞An=2,{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5}{9}}\right)^{k}\quad {\mbox{giving}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=2\,,}

一方、周囲の全長は次のようになります。 これは、増加するにつれて無限大に近づきます。 Pn=4(53)na,{\displaystyle P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a\,,}n{\displaystyle n}

機能化

コッホ関数のグラフ

コッホ曲線を確立したヘルゲ・フォン・コッホの論文では、この曲線に加えて、当時幾何学的に表現可能であった、どこでも連続でありながらどこでも微分可能ではない関数の例として、この曲線のバリエーションが示されている。ABで表される基本直線から、各線分に以下の式を再帰的に適用することで、このグラフを描くことができる。

  • 線分 ( XY ) を点Cと点Eで区切って、等しい長さの 3 つの部分に分割します。
  • 線分DMを描きます。ここで、MはCEの中点であり、DM はABの最初の底辺に垂直で、長さは です。CE32{\displaystyle {\frac {CE{\sqrt {3}}}{2}}}
  • 線CDとDEを描き、線CEとDMを消去します。

ABの各点は単一の高さに収束することが示されます。をその点から最初の底までの距離として定義すると、関数として、はどこでも連続であり、どこでも微分不可能です。[ 3 ]y=ϕ(x){\displaystyle y=\phi (x)}ϕ(x){\displaystyle \phi (x)}

アプリケーション

コッホの雪片は面積が有限である一方、境界は無限に長いため、限られた空間内で周囲や表面積を最大化する必要がある設計のモデルとして役立ちます。アンテナ工学では、コッホ型フラクタル設計を取り入れることで、電磁放射を送受信する材料の周囲が広がり、限られたスペースや複雑な回路レイアウトに適したコンパクトなアンテナの構築が可能になります。[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]音響工学では、コッホの雪片にヒントを得た音響メタサーフェスが、自動車の車内での広帯域音拡散についてテストされています。[ 22 ]コッホの雪片形状は、二重管熱交換器の熱伝達性能を向上させるためにも応用されています。[ 23 ]

参照

参考文献

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外部ビデオ
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