コルモゴロフ自己同型

数学において、コルモゴロフ自己同型、K自己同型、Kシフト、またはKシステムとは、コルモゴロフの零一法則に従う標準確率空間上で定義される、可逆で測度保存の自己同型である。^{[ 1 ]} すべてのベルヌーイ自己同型はK自己同型（ K性を持つと言われる）であるが、その逆は成り立たない。多くのエルゴード力学系はK性を持つことが示されているが、最近の研究では、これらの多くが実際にはベルヌーイ自己同型であることが示されている。

K特性の定義は比較的一般的なように思えるが、ベルヌーイ自己同型性とは明確に異なる。特に、オルンシュタイン同型定理はK系には適用されないため、エントロピーだけではそのような系を分類することができない。同じエントロピーを持つ非同型K系が無数に存在するからである。本質的に、 K系の集合は膨大で、複雑で、分類不能である。一方、B自己同型性はオルンシュタイン理論によって「完全に」記述される。

正式な定義

を標準確率空間とし、を可逆かつ測度保存変換とする。このとき、以下の3つの性質を満たす サブシグマ代数が存在するとき、はK自己同型、K変換、またはKシフトと呼ばれる。${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subset {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle {\mbox{(1) }}{\mathcal {K}}\subset T{\mathcal {K}}}$

${\displaystyle {\mbox{(2) }}\bigvee _{n=0}^{\infty }T^{n}{\mathcal {K}}={\mathcal {B}}}$

${\displaystyle {\mbox{(3) }}\bigcap _{n=0}^{\infty }T^{-n}{\mathcal {K}}=\{X,\varnothing \}}$

ここで、記号 はシグマ代数の結合であり、記号 は集合の交差である。この等式はほぼすべての場所で成立する、つまり測度零の集合 において最大で しか違わないと理解すべきである。 ${\displaystyle \vee}$ ${\displaystyle \cap}$

プロパティ

シグマ代数が自明でないと仮定すると、つまり の場合、 K自己同型は を強く混合する ことがわかります。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}\neq T{\mathcal {K}}.}$

すべてのベルヌーイ自己同型はK自己同型ですが、その逆は当てはまりません。

^{コルモゴロフ自己同型は、正確な自己準同型[ 2 ]}の自然な拡張であり、測度零集合またはその補集合からなる写像であり、測度零集合のシグマ代数である。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \bigcap _{n=0}^{\infty }T^{-n}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

参考文献

1. ピーター・ウォルターズ『エルゴード理論入門』（1982年）シュプリンガー・フェアラークISBN 0-387-90599-5
2. VA Rohlin,ルベーグ空間の正確な自己準同型, Amer. Math. Soc. Transl., Series 2, 39 (1964), 1-36.

さらに読む

• Christopher Hoffman, " AK反例マシン", Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), pp 4263–4280.