クラフチュク多項式

クラフチュク多項式（Krawtchouk多項式、あるいはウクライナ語の姓Кравчу́кの他のいくつかの翻字法でも表記される）は、ミハイロ・クラフチュク （1929 ）によって導入された 二項分布に関連する離散直交多項式である。最初のいくつかの多項式は（q = 2の場合）以下の通りである。

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}(x;n)=1,}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(x;n)=-2x+n,}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(x;n)=2x^{2}-2nx+{\binom {n}{2}},}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(x;n)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2nx^{2}-(n^{2}-n+{\frac {2}{3}})x+{\binom {n}{3}}.}$

クラフチュク多項式は、第一種 メイクスナー多項式の特殊なケースです。

意味

任意の素数べきqと正の整数nに対して、 のクラフチュク多項式を定義します 。2行目では、 に依存する因数が、二項係数の非整数引数に不安のある読者のために、下降階乗で書き直されています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)={\mathcal {K}}_{k}(x)={}&\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}(q-1)^{kj}{\binom {x}{j}}{\binom {nx}{kj}}\\={}&\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}(q-1)^{kj}{\frac {x^{\underline {j}}}{j!}}{\frac {(nx)^{\underline {kj}}}{(kj)!}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle x}$

プロパティ

クラフチュク多項式には次の代替表現があります。

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-q)^{j}(q-1)^{kj}{\binom {nj}{kj}}{\binom {x}{j}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}q^{kj}{\binom {n-k+j}{j}}{\binom {nx}{kj}}.}$

これらの式は、上記の定義と異なる2つの二項係数の単なる組み合わせ以上のものであることに注意してください。これらの式では、和の1つの項のみが次数 を持ちますが、定義ではすべての項が次数 を持ちます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

対称関係

整数の場合、 ${\displaystyle i,k\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(q-1)^{i}{n \choose i}{\mathcal {K}}_{k}(i;n,q)=(q-1)^{k}{n \choose k}{\mathcal {K}}_{i}(k;n,q).\end{aligned}}}$

直交関係

非負整数r、s、

$\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(q-1)^{i}{\mathcal {K}}_{r}(i;n,q){\mathcal {K}}_{s}(i;n,q)=q^{n}(q-1)^{r}{\binom {n}{r}}\delta _{r,s}.}$

母関数

クラフチュク多項式の生成級数は以下のように与えられる。ここに形式変数がある。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+(q-1)z)^{nx}(1-z)^{x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q){z^{k}}.\end{aligned}}}$

3期の再発

クラフチュク多項式は3項再帰関係を満たす

${\displaystyle {\begin{aligned}x{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=-q(nk){\mathcal {K}}_{k+1}(x;n,q)+(q(nk)+k(1-q)){\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)-k(1-q){\mathcal {K}}_{k-1}(x;n,q).\end{aligned}}}$

参照

• クロウチュクマトリックス
• エルミート多項式

参考文献

• Kravchuk, M. (1929)、「Hermite の多ノームの一般化」。、Comptes Rendus Mathématique (フランス語)、189 : 620–622、JFM  55.0799.01
• コーンウィンダー、トム・H.ウォン、ロデリック SC。ロエロフ・コエコーク。 Swarttouw、René F. (2010)、「Hahn Class: Definitions」、Olver、Frank WJ ;ロジエ、ダニエル M.ボワヴェール、ロナルド F. Clark, Charles W. (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• Nikiforov, AF; Suslov, SK; Uvarov, VB (1991), 「離散変数の古典直交多項式」、Springer Series in Computational Physics、ベルリン：Springer-Verlag、ISBN 3-540-51123-7、MR  1149380。
• Levenshtein, Vladimir I. (1995)、「Krawtchouk多項式とハミング空間における符号と設計の普遍的境界」、IEEE Transactions on Information Theory、41 (5): 1303– 1321、doi : 10.1109/18.412678、MR  1366326。
• MacWilliams, FJ; Sloane, NJA (1977), The Theory of Error-Correcting Codes , North-Holland, ISBN 0-444-85193-3

外部リンク

• Krawtchouk多項式ホームページ
• MathWorldの「Krawtchouk多項式」