格子（離散部分群）

離散ハイゼンベルク群の一部。連続ハイゼンベルク・リー群の離散部分群。（色と辺は視覚的な補助のためだけのものです。）

リー理論および関連する数学分野において、局所コンパクト群の格子とは、商空間が有限不変測度を持つという性質を持つ離散部分群である。R n^の部分群の特殊なケースにおいては、これは格子を点の周期的部分集合として捉える通常の幾何学的概念に相当し、格子の代数的構造と格子全体の空間の幾何学はどちらも比較的よく理解されている。

この理論は、半単純リー群、あるいはより一般的には局所体上の半単純代数群における格子に対して特に豊富である。特に、この設定においては剛性に関する結果が豊富に得られ、グリゴリー・マルグリスの著名な定理によれば、ほとんどの場合、すべての格子は算術群として得られる。

格子は、他のいくつかのグループのクラス、特にカッツ・ムーディ代数に関連付けられたグループや、正則木の自己同型グループ（後者は木格子として知られています）でもよく研究されています。

格子は、数学の多くの分野で興味深いものです。例えば、幾何学的群論（離散群の特に良い例として）、微分幾何学（局所同次多様体の構築を通じて）、数論（算術群を通じて）、エルゴード理論（商空間上の同次フローの研究を通じて）、および組合せ論（拡張ケーリー グラフやその他の組合せオブジェクトの構築を通じて）などです。

格子に関する一般論

非公式な議論

格子は、連続群（リー群など）の離散近似として考えるのが最も適切です。例えば、整数ベクトルの部分群は、ある意味で実ベクトル空間に「似ている」ことは直感的に明らかですが、両群は本質的に異なります。一方は有限生成で可算ですが、もう一方は有限生成ではなく連続体の濃度を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

前段落で述べた「離散部分群による連続群の近似」の意味を厳密に定義し、例を一般化する概念を得ることは、それが何を達成しようとしているかという問題です。おそらく最も明白な考え方は、部分群がより大きな群を「近似する」ということは、より大きな群が「小さな」部分集合を部分群のすべての元で平行移動させることによって覆われるということです。局所コンパクト位相群においては、「小さな」には2つのすぐに利用可能な概念があります。位相的（コンパクト、または相対的にコンパクトな部分集合）と測度論的（有限ハール測度の部分集合）です。ハール測度はラドン測度であり、コンパクト部分集合に有限質量を与えるため、後者の定義の方がより一般的です。数学で使用される格子の定義は後者の意味（特に などの例を含めるため）に基づいていますが、前者にも独自の意味があります（このような格子は一様格子と呼ばれます）。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

その他の概念としては、粗同値性とより強い準等長性がある。一様格子は周囲の群に対して準等長性を持つが、非一様格子は周囲の群と粗同値性さえ持たない。

意味

を局所コンパクト群と離散部分群とします（これは、の単位元近傍が存在し、 となることを意味します）。そして、 がにおける格子と呼ばれるのは、さらに有限（すなわち）かつ -不変（任意のおよび任意の開部分集合に対して等式が満たされることを意味する）である商空間上のボレル測度が存在する場合です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \cap U=\{e_{G}\}}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \mu (G/\Gamma )<+\infty }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle W\subset G/\Gamma }$ ${\displaystyle \mu (gW)=\mu (W)}$

もう少し洗練された定式化は次のようになります。さらに がユニモジュラであると仮定すると、は離散的であるためもユニモジュラであり、一般定理により、 をスケーリングまでに -不変なボレル測度が一意に存在します。 が格子であることと、この測度が有限であることは同値です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma}$

離散部分群の場合、この不変測度は局所的にハール測度と一致し、したがって局所コンパクト群内の離散部分群が格子であることは、ハール測度に対する有限体積の基本領域（左並進による作用に対して）を持つことと同等である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

格子は、商空間がコンパクトであるとき一様格子（またはココンパクト格子）と呼ばれ、そうでない場合は非一様格子と呼ばれます。同様に、離散部分群が一様格子であるためには、を満たすコンパクト部分集合が存在する必要があります。が 内の任意の離散部分群であってがコンパクトであるものが存在する場合、 は自動的に 内の格子となることに注意してください。 ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle C\subset G}$ ${\displaystyle G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma }$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle G}$

最初の例

最も基本的かつ単純な例は、リー群の格子である部分群です。もう少し複雑な例として、連続ハイゼンベルク群の内部にある 離散ハイゼンベルク群が挙げられます。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

が離散群である場合、 の格子はまさに有限指数の部分群です（つまり、商集合は有限です）。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

これらの例はすべて一様です。一様でない例としては、内のモジュラー群 や、高次元の類似体 が挙げられます。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

格子の任意の有限指数部分群は、同じ群に属する格子でもある。より一般的には、格子と 通約可能な部分群は格子である。

どのグループに格子がありますか?

すべての局所コンパクト群が格子を含むわけではなく、そのための一般的な群論的十分条件は存在しません。一方で、そのような基準が存在するより具体的な設定は数多く存在します。例えば、リー群における格子の存在の有無は、よく理解されているテーマです。

前述のように、群が格子を含むための必要条件は、群がユニモジュラ群であることです。これにより、格子を持たない群、例えば可逆上三角行列の群やアフィン群を容易に構成できます。また、後述する特定の冪零リー群のように、格子を持たないユニモジュラ群を見つけることもそれほど難しくありません。

ユニモジュラ性よりも強い条件は単純性である。これはリー群に格子が存在することを示唆するのに十分であるが、より一般的な局所コンパクト群の設定では、例えば「ネレチン群」のように、格子を持たない単純群も存在する。^{[ 1 ]}

可解リー群の格子

冪零リー群

冪零群の場合、理論は一般の場合よりも大幅に簡略化され、アーベル群の場合と類似する。冪零リー群のすべての格子は一様であり、もしが連結単連結冪零リー群である場合（つまり、非自明なコンパクト部分群を含まない場合）、離散部分群が格子となる必要十分条件は、それが真連結部分群に含まれない場合である^{[ 2 ]}（これは、ベクトル空間内の離散部分群が格子となる必要十分条件は、それがベクトル空間を張る場合であるという事実を一般化している）。 ${\displaystyle N}$

べき零リー群に格子が含まれることと、その場合とで同値である。すなわち、 の構造定数が有理数である場合とで同値である。 [ 3 ^{]より正確}には、 が、そのリー代数が有理数構造定数のみを持つべき零単連結リー群であり、 が（格子（群）のより基本的な意味で）内の格子である場合、 は内の格子を生成する。逆に、が 内の格子である場合、 は内の格子を生成する。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle \exp(L)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \exp ^{-1}(\Gamma )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

冪零リー群の格子は常に有限生成である（それ自身も冪零なので有限提示である）。実際、格子はせいぜい個の元によって生成される。^{[ 4 ]}${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \dim(N)}$

最後に、冪零群が冪零リー群内の格子と同型となるのは、それが捩れがなく有限生成である有限指数の部分群を含む場合のみです。

一般的なケース

冪零リー群が格子を持つための上記の基準は、より一般的な可解リー群には適用されない。可解リー群内の任意の格子は一様であること^{[ 5 ]}、また可解群内の格子は有限に提示されることは依然として真である。

有限生成可解群のすべてがリー群の格子となるわけではない。代数的な基準は、群が多環式であることである。^{[ 6 ]}

半単純リー群の格子

算術群と格子の存在

が有理数体上で定義されている半単純線型代数群（すなわち、 を定義する多項式方程式の係数が に等しい）である場合、 には部分群 が存在する。Armand BorelとHarish-Chandraの基本定理によれば、 は常に の格子となる。この最も単純な例は部分群 である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Generalising the construction above one gets the notion of an arithmetic lattice in a semisimple Lie group. Since all semisimple Lie groups can be defined over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ a consequence of the arithmetic construction is that any semisimple Lie group contains a lattice.

Irreducibility

When the Lie group ${\displaystyle G}$ splits as a product ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ there is an obvious construction of lattices in ${\displaystyle G}$ from the smaller groups: if ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$ are lattices then ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G}$ is a lattice as well. Roughly, a lattice is then said to be irreducible if it does not come from this construction.

More formally, if ${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$ is the decomposition of ${\displaystyle G}$ into simple factors, a lattice ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ is said to be irreducible if either of the following equivalent conditions hold:

• The projection of ${\displaystyle \Gamma}$ to any factor ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$ is dense;
• The intersection of ${\displaystyle \Gamma}$ with any factor ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$ is not a lattice.

An example of an irreducible lattice is given by the subgroup ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ which we view as a subgroup ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ via the map ${\displaystyle g\mapsto (g,\sigma (g))}$ where ${\displaystyle \sigma }$ is the Galois map sending a matric with coefficients ${\displaystyle a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}}$ to ${\displaystyle a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}}$ .

Rank 1 versus higher rank

The real rank of a Lie group ${\displaystyle G}$ is the maximal dimension of a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -split torus of ${\displaystyle G}$ (an abelian subgroup containing only semisimple elements with at least one real eigenvalue distinct from ${\displaystyle \pm 1}$ ). The semisimple Lie groups of real rank 1 without compact factors are (up to isogeny) those in the following list (see List of simple Lie groups):

• The orthogonal groups${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ of real quadratic forms of signature ${\displaystyle (n,1)}$ for ${\displaystyle n\geq 2}$ ;
• The unitary groups${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ of Hermitian forms of signature ${\displaystyle (n,1)}$ for ${\displaystyle n\geq 2}$ ;
• The groups ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ (groups of matrices with quaternion coefficients which preserve a "quaternionic quadratic form" of signature ${\displaystyle (n,1)}$ ) for ${\displaystyle n\geq 2}$ ;
• The exceptional Lie group${\displaystyle F_{4}^{-20}}$ (the real form of rank 1 corresponding to the exceptional Lie algebra ${\displaystyle F_{4}}$ ).

The real rank of a Lie group has a significant influence on the behaviour of the lattices it contains. In particular the behaviour of lattices in the first two families of groups (and to a lesser extent that of lattices in the latter two) differs much from that of irreducible lattices in groups of higher rank. For example:

• すべての群には非算術格子が存在し、[ ^{7 ] [ 8 ]}、およびおそらく にも存在^する（最後のものは未解決の問題である）が、その他の群のすべての既約格子は算術的である。^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2,1),\mathrm {SU} (3,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1),n\geq 4}$
• 階数1のリー群の格子は無限の無限指数の正規部分群を持つが、高階数の既約格子のすべての正規部分群は有限指数かその中心に含まれる。^{[ 11 ] [ 12 ]}
• 推測的に、高階群の算術格子は合同部分群の性質を持つ^{[ 13 ]}が、合同でない有限指数部分群を持つ格子も多数存在する^{[ 14 ]。}${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

カジダンの財産（T）

(T)として知られる性質は、古典的でより幾何学的な手法が失敗した、あるいは少なくともそれほど効率的ではなかったときに、特定のリー群における代数的構造格子を研究するためにカズダンによって導入された。格子を研究する際の基本的な結果は以下の通りである。^{[ 15 ]}

局所コンパクト群内の格子は、群自体が特性 (T) を持つ場合のみ特性 (T) を持ちます。

調和解析を用いることで、半単純リー群をその性質の有無によって分類することが可能です。その結果、以下の結果が得られ、前節の二分法をさらに明確に示しています。

• 内の格子はカジダン特性 (T) を持たないが、他のすべての単純リー群内の既約格子はそれを持つ。${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

有限性の性質

半単純リー群の格子は常に有限提示性を持ち、より強い有限性条件を満たす。^{[ 16 ]}一様格子の場合、これはココンパクト性の直接的な帰結である。一様でない場合には、これは縮約理論を用いて証明できる。^{[ 17 ]}性質(T)を持つ群の場合、有限提示性は証明が容易である。しかし、すべての半単純リー群に適用できる幾何学的証明が存在する。^{[ 18 ]}

リー群の格子に関連するリーマン多様体

左不変メトリック

がリー群である場合、接空間（ のリー代数）上の内積から、上のリーマン計量を次のように構築できます。 が点 における接空間に属している場合、はの微分同相写像の における接写像を示します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{e}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle \gamma \in G}$ ${\displaystyle g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)}$ ${\displaystyle \gamma^{*}}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle x\mapsto \gamma ^{-1}x}$ ${\displaystyle G}$

への写像は、定義により、この計量 の等長写像である。特に、が の任意の離散部分群（したがって、上の左平行移動によって自由かつ適切に不連続に作用する）である場合、商は計量 を持つリーマン多様体 に局所的に等長である。 ${\displaystyle x\mapsto \gamma x}$ ${\displaystyle \gamma \in G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$

に関連付けられたリーマン体積形式は、上のハール測度を定義し、が格子である 場合に限り、商多様体は有限のリーマン体積を持つことが分かります。${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$

このクラスのリーマン空間の興味深い例としては、コンパクト平坦多様体とニル多様体があります。

局所対称空間

上の自然な双線型形式は、キリング形式によって与えられる。がコンパクトでない場合、それは定積ではないため、内積ではない。しかし、が半単純で が最大コンパクト部分群である場合、それを用いて同質空間上の -不変計量を定義することができる。このようなリーマン多様体は、ユークリッド因子を持たない非コンパクト型の 対称空間と呼ばれる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=G/K}$

部分群がに自由に、真に不連続に作用する場合、かつその部分群が離散的かつ捩れ無しであることは、その場合と同値である。その商は局所対称空間と呼ばれる。したがって、 に局所同型で有限リーマン体積を持つ完全局所対称空間と、 における捩れ無し格子との間には、全単射対応が存在する。この対応は、幾何学的側に オービフォールドを追加することで、すべての格子に拡張できる。${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

p進リー群の格子

実半単純リー群と同様の性質（格子に関して）を持つ群のクラスは、例えばp進体 のような、標数0の局所体上の半単純代数群である。実数の場合と同様の算術的構成があり、高階数と1階数の二分法は、この場合にもより顕著な形で成立する。 を分割階数r上の代数群とする。すると、 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

• rが 2 以上の場合、内のすべての既約格子は算術格子になります。${\displaystyle G}$
• r=1の場合には非算術格子の通約可能類は無数に存在する。^{[ 19 ]}

後者の場合、すべての格子は実際には自由群です（有限のインデックスまで）。

S算術群

より一般的には、格子を次のような形のグループで考えることができる。

${\displaystyle G=\prod _{p\in S}G_{p}}$

ここでは 上の半単純代数群である。 は通常許され、その場合は実リー群となる。そのような格子の例は以下で与えられる。 ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle G_{\infty }}$

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})}$ 。

この算術構成は一般化してS-算術群の概念を得ることができる。マーギュリス算術性定理はこの設定にも適用される。特に、因子のうち少なくとも2つが非コンパクトであれば、 の任意の既約格子はS-算術的である。 ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle G}$

アデリック群の格子

が数体上の半単純代数群であり、そのアデル環である場合、アデル点群は（いくつかの技術的な制約を除けば）明確に定義され、-有理点群を離散部分群として自然に含む局所コンパクト群である。ボレル＝ハリシュ＝チャンドラ定理はこの設定に拡張され、格子となる。^{[ 20 ]}${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\subset \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

強近似定理は、この商をより古典的なS算術商と関連付けます。この事実により、アデル群は保型形式理論におけるツールとして非常に有効になります。特に、痕跡公式の現代的な形は、リー群ではなくアデル群に対して示され、証明されることが多いです。 ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\backslash \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

剛性

剛性結果

半単純代数群の格子に関するもう一つの現象群は、総称して剛性性と呼ばれます。このカテゴリにおける結果の古典的な例を3つ挙げます。

局所剛性の結果によれば、ほとんどの場合、格子（直感的な意味で、シャボーティ位相または指標多様体上の位相によって形式化される）に十分「近い」すべての部分群は、実際には周囲のリー群の要素によって元の格子に共役している。局所剛性とカズダン＝マルグリスの定理の帰結は、ワンの定理である。与えられた群（固定されたハール測度を持つ）において、任意のv>0に対して、共体積がvで囲まれる格子は（共役を除いて）有限個しか存在しない。

モストウ剛性定理は、単純リー群（行列式1を持つ2行2列の行列群）に局所同型でない格子に対して、格子の同型性は本質的に群間の同型性によって誘導されることを述べています。特に、リー群内の格子は、その群構造を通して周囲のリー群を「記憶」します。最初の命題は強剛性と呼ばれることもあり、ジョージ・モストウとゴパル・プラサドによるものです（モストウはココンパクト格子に対してこれを証明し、プラサドはそれを一般の場合に拡張しました）。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

超剛性は（リー群および高階局所体上の代数群に対して）局所剛性と強剛性の両方を強化し、代数群Gの格子から別の代数群Hへの任意の準同型写像を扱う。これはグリゴリー・マルグリスによって証明され、彼の算術性定理の証明において不可欠な要素となっている。

低次元における非剛性

モストウ剛性が成立しない半単純リー群は、 に局所同型な群のみである。この場合、実際には連続的に多数の格子が存在し、それらはタイヒミュラー空間を生み出す。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

群内の非一様格子は局所的に剛体ではない。実際、それらは（シャボーティ位相において）より小さな共体積を持つ格子の集積点であり、これは双曲的デーン手術によって実証されている。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

階数 1 の p 進群の格子は実質的に自由群であるため、非常に非剛性です。

木の格子

意味

を自己同型群のココンパクト群を持つ木とします。例えば、 は正則木または双正則木となります。の自己同型群は、（コンパクト開位相を持つ場合、つまり、単位元 の近傍の基底が有限部分木の安定化群によって与えられ、有限部分木もコンパクトである場合）局所コンパクト群です。したがって、 において格子となる任意の群は、木格子と呼ばれます。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

この場合の離散性は、ツリー上のグループの作用から簡単にわかります。 のサブグループは、すべての頂点安定子が有限グループである場合に限り、離散的です。 ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

木への群作用の基礎理論から、一様木格子は事実上自由群であることが容易に分かる。したがって、より興味深い木格子は非一様木格子、つまり商グラフが無限となる木格子である。このような木格子の存在は容易には確認できない。 ${\displaystyle \Gamma \backslash T}$

代数群からの木格子

が正の標数の局所体（すなわち、有限体上の曲線の函数体の完備化、例えば形式ローラン冪級数の体）であり、かつ-分裂階数1の代数群が 上で定義されている場合、 の任意の格子は、Bruhat–Tits 構築（この場合は木）への作用を通じて木格子となる。標数が 0 の場合とは対照的に、このような格子は非一様になる可能性があり、その場合は有限生成となることはない。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

バス・セール理論によるツリー格子

が、すべての頂点群が有限である、群の無限グラフの基本群であり、辺群のインデックスと頂点群のサイズに関する追加の必要な仮定の下で、群のグラフに関連付けられた Bass-Serre 木への の作用により、それが木格子として実現される場合。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

存在基準

より一般的には、次のような問いが成り立ちます。が の閉部分群である場合、どのような条件下で は格子 を含むのでしょうか？ 一様格子の存在は、がユニモジュラであることと、商が有限であることと同値です。一般的な存在定理はより微妙です。 がユニモジュラであること、そして商が適切な意味で「有限体積」であること（これは の作用を用いて組合せ論的に表現できます）が、必要かつ十分条件であり、これは商が有限であるというより強い条件（非一様木格子の存在自体によって証明されています）よりも一般的なものです。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\backslash T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\backslash T}$ ${\displaystyle H}$

注記

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