フォノン

フォノンは準粒子であり、凝縮物質、特に固体や一部の液体中の原子または分子の周期的弾性配列における集団励起である。光学的に捕捉された物体の文脈では、振動のモード波長が物体のサイズよりも小さい限り、量子化された振動モードはフォノンとして定義することができる。物理学における準粒子の一種である^{[ 1 ]}フォノンは、相互作用する粒子の弾性構造の振動モードの量子力学的量子化における励起状態である。フォノンは量子化された音波であり、量子化された光波である光子に似ていると考えられる。^{[ 2 ]}

フォノンの研究は凝縮系物理学の重要な部分を占めています。フォノンは、熱伝導率や電気伝導率といった凝縮系における多くの物理的特性、そして中性子散乱や関連効果のモデルにおいて重要な役割を果たしています。

フォノンの概念は、1930年にソ連の物理学者イーゴリ・タムによって導入されました。フォノンという名称はヤコフ・フレンケルによって提案されました。^{[ 3 ]}これはギリシャ語のφωνή ( phonē ) に由来し、音や声を意味します。長波長のフォノンが音を生み出すからです。この名称は、光子が光波の波動粒子二重性を表すのと同じように、フォノンが音波の波動粒子二重性を表すという点で、光子という言葉との類似性を強調しています。最小単位胞に複数の原子を含む固体は、音響フォノンと光学フォノンの両方を示します。

意味

フォノンとは、原子または分子の格子が単一の周波数で均一に振動する基本振動運動の量子力学的記述である。^{[ 4 ]}古典力学では、これは振動の基準モードを指す。基準モードが重要なのは、任意の格子振動はこれらの基本振動モードの重ね合わせと見なすことができるためである（フーリエ解析を参照）。基準モードは古典力学では波動現象であるが、フォノンは量子力学の 波動粒子二重性と関連して、粒子のような性質も持つ。

格子力学

このセクションの方程式は量子力学の公理を使用せず、代わりに古典力学に直接対応する関係を使用します。

例えば、規則的で剛直な結晶性（非晶質ではない）格子はN個の粒子から構成される。これらの粒子は原子または分子である。Nは10の²³乗程度の大きな数、あるいは典型的な固体試料のアボガドロ数程度である。格子は剛体であるため、原子は各原子を平衡位置近くに保つために互いに力を及ぼしているに違いない。これらの力にはファンデルワールス力、共有結合、静電引力などがあり、これらはすべて究極的には電気力によるものである。磁力と重力は一般に無視できる。各原子対間の力は、原子間の距離に依存する位置エネルギー関数Vで特徴付けられる。格子全体の位置エネルギーは、すべての原子対の位置エネルギーの合計に、重複計算を補正するために係数1/2を乗じたものである。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}$

ここで、r _{i は}i番目の原子の位置であり、Vは 2 つの原子間の位置エネルギーです。

この多体問題を古典力学でも量子力学でも明示的に解くことは困難です。作業を簡略化するために、通常、2 つの重要な近似が課されます。まず、合計は隣接する原子についてのみ行われます。実際の固体内の電気力は無限に広がりますが、離れた原子によって生成される場は効​​果的に遮蔽されるため、この近似は依然として有効です。次に、ポテンシャルVは調和ポテンシャルとして扱われます。これは、原子が平衡位置に近い限り許容されます。正式には、これはV をその平衡値について 2 次までテイラー展開することで実現され、 V は変位x ²に比例し、弾性力はxに単純に比例します。xが平衡位置に近い 場合は、高次の項を無視しても誤差は小さいままです。

得られた格子は、バネでつながれた球の集合体として視覚化できます。次の図は立方格子を示しており、これは多くの種類の結晶固体の優れたモデルです。他の格子としては、非常に単純な線形鎖格子があり、これは後ほどフォノンのモデル化に使用します。（その他の一般的な格子については、結晶構造を参照してください。）

立方晶構造

格子の位置エネルギーは次のように表される。

${\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.}$

ここで、ωは調和ポテンシャルの固有振動数であり、格子が規則的であるため、これらは同じであると仮定されます。R _iはi番目の原子の位置座標であり、ここでは平衡位置から測定します。最近傍原子間の和は(nn)と表されます。

ここで示す数学的処理は、専門家以外の人にも理解しやすいように大幅に簡略化されている点に留意する必要がある。この簡略化は、結晶の全ポテンシャルエネルギーの表現において、2つの基本的な仮定を置くことで実現されている。これらの仮定とは、(i) 全ポテンシャルエネルギーは2原子間の相互作用の和として表せること、(ii) 各原子は最近傍原子とのみ相互作用することである。これらの仮定は、現代の格子力学ではほとんど用いられていない。^{[ 6 ]}より一般的なアプローチは、ポテンシャルエネルギーを力の定数で表すことである。^{[ 6 ]}例えば、マルチスケールグリーン関数に関するWikipediaの記事を参照のこと。

格子波

正方格子を伝播するフォノン（原子変位は大幅に誇張されている）

原子間の結合により、1つまたは複数の原子が平衡位置から変位すると、格子を伝播する一連の振動波が発生します。そのような波の1つを右の図に示します。波の振幅は、原子が平衡位置から変位した量によって与えられます。波長λが示されています。

原子間の平衡距離a の2倍で与えられる最小波長が存在する。これより短い波長は、格子の周期性により、2 aより長い波長に写像される。これはナイキスト・シャノンの標本化定理の帰結であり、格子点は連続波の「標本化点」とみなされる。

格子振動のすべてが明確に定義された波長と周波数を持つわけではありません。しかし、通常振動は明確に定義された波長と周波数を持ちます。

1次元格子

一次元の格子（粒子の直線鎖）の6つの通常モードを示すアニメーション。一番上の線が最も短い波長で、その下に行くほど波長が長くなります。一番下の線では、波が右方向に動いている様子が見られます。

3次元原子格子に必要な解析を簡素化するために、1次元格子または線状鎖をモデル化することが便利です。このモデルは、フォノンの顕著な特徴を示すのに十分な複雑さを備えています。

古典的な治療

原子間の力は直線的で最近傍の原子間に働くと仮定し、弾性バネで表す。各原子は点粒子と仮定し、原子核と電子は同期して運動する（断熱定理）。

n − 1 n n + 1 ← a →     

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o · ·

→→  →  →→→

u _{n − 1} u _n u _{n + 1}  

ここで、n はN個の原子のうちのn番目の原子を表し、a は連鎖が平衡状態にあるときの原子間の距離、u _{n は}n番目の原子の平衡位置からの変位を表します。

Cをバネの弾性定数、mを原子の質量とすると、 n番目 の原子の運動方程式は

${\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}}$

これは結合された方程式のセットです。

解は振動すると予想されるため、それらを分離するために離散フーリエ変換によって新しい座標が定義される。 ^{[ 7 ]}

置く

${\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}$

ここで、na はスカラー場理論の連続変数xに対応し、それに形を変える。Q _{k は}、に対して となる連続場モードの標準座標として知られている。 ${\displaystyle \phi _{k}=e^{ikna}}$ ${\displaystyle k=2\pi j/(Na)}$ ${\displaystyle j=1\dots N}$

運動方程式に代入すると、以下の分離された方程式が得られる（これには離散フーリエ変換の直交性と完全性関係を用いた重要な操作が必要である）^{[ 8 ]}

${\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}}$

これらは分離調和振動子の方程式であり、 その解は次の通りである。

${\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}$

各法線座標Q _{k は、}波数kを持つ格子の独立した振動モードを表し、これは法線モードとして知られています。

2番目の式（ω _{k ）}は、角周波数と波数の間の分散関係として知られています。

連続極限では、a →0、 N →∞（Naは固定）、u _n → φ ( x )、スカラー場、と なる。これは、独立した振動子の集合である古典的な自由スカラー場理論に相当する。 ${\displaystyle \omega (k)\propto ka}$

量子治療

1次元量子力学的調和関数鎖は、N個の同一の原子から構成される。これは、フォノンの発生を許容する格子の最も単純な量子力学的モデルである。このモデルの形式論は、2次元および3次元にも容易に一般化できる。

前節とは対照的に、質量の位置は ではなく、平衡位置から測った で表されます（つまり、粒子が平衡位置にある場合）。2次元以上の場合、 はベクトル量です。この系の ハミルトニアンは${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

ここで、 mは各原子の質量（すべての原子で等しいと仮定）、x _iとp _iはそれぞれi番目の原子の位置演算子と運動量演算子であり、和は最近傍原子（nn）について計算されます。しかし、格子中には粒子のように振る舞う波も現れることが予想されます。波動は、粒子の座標ではなく波動ベクトルの基準モードを変数とするフーリエ空間で扱うのが一般的です。基準モードの数は粒子の数と同じです。それでも、系の 周期性を考えると、フーリエ空間は非常に有用です。

x _kの離散フーリエ変換として定義されるN 個の「標準座標」Q _kと、p _kのフーリエ変換として定義されるN個の「共役運動量」Π _kのセットを導入することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}$

量kはフォノンの波数、つまり 2 πを波長で割った値になります。

この選択により、実空間または波数ベクトル空間のいずれかで所望の交換関係が保持される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(kk'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}}$

全体的な結果から

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}$

位置エネルギー項は

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}$

どこ

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

ハミルトニアンは波動ベクトル空間では次のように書ける。

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

位置変数間の結合は変換されて除去されています。QとΠがエルミートである場合 (実際はそうではありません)、変換されたハミルトニアンはN個の非結合調和振動子を記述します。

量子化の形は境界条件の選択に依存する。簡略化のため、周期境界条件が課され、( N  +1)番目の原子は最初の原子と等価であると定義される。物理的には、これは鎖の末端で結合することに相当する。結果として得られる量子化は

${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }$

nの上限は最小波長から来ており、これは上で説明したように格子間隔a の2 倍です。

モードω _kの調和振動子の固有値またはエネルギーレベルは次のとおりです。

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

レベルは次の間隔で均等に配置されます。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$

どこ⁠1/2⁠ ħωは量子調和振動子の零点エネルギーです。

調和振動子格子を次のエネルギー準位に押し上げるには、正確な量のエネルギーħωを供給する必要がある。電磁場が量子化される光子の場合と同様に、振動エネルギーの量子はフォノンと呼ばれる。

全ての量子系は波動的な性質と粒子的な性質を同時に示す。フォノンの粒子的な性質は、後述する第二量子化法と演算子法を用いることで最もよく理解される。 ^{[ 9 ]}

3次元格子

これは三次元格子に一般化できる。波数kは三次元波動ベクトルkに置き換えられる。さらに、各kは三つの法線座標に関連付けられる。

新しい添え字s = 1, 2, 3 はフォノンの分極を表します。1次元モデルでは、原子は直線に沿った運動に制限されていたため、フォノンは縦波に対応していました。3次元では、振動は伝播方向に限定されず、横波のように垂直な面でも発生する可能性があります。これにより、追加の法線座標が生成されます。ハミルトニアンの形が示すように、これらは独立したフォノンの種類として見ることができます。

分散関係

線状二原子鎖の分散曲線

直線状の二原子鎖における光振動と音響振動。

異なる周波数での二原子鎖の振動。

GaAsの格子振動に対応するいくつかの波の分散関係ω  =  ω ( k )。 ^{[ 10 ]}

質量m ₁、m ₂の2種類のイオンまたは原子が、バネ定数Kのバネで接続され、距離aで周期的に繰り返される1次元交互配列の場合、2つの振動モードが生じる。^{[ 11 ]}

${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}$

ここで、kは振動の波数ベクトルであり、その波長と によって関連付けられます 。 ${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$

周波数と波数ベクトルの関係ω  =  ω ( k ) は分散関係として知られています。プラス符号はいわゆる光学モード、マイナス符号は音響モードとなります。光学モードでは隣接する2つの異なる原子が互いに反対方向に動きますが、音響モードではそれらは一緒に動きます。

音響フォノンの伝播速度は格子内の音速でもあり、音響分散関係の傾きによって与えられる。∂ωk​_​/∂ k⁠（群速度を参照）kの値が低い場合（つまり波長が長い場合）、分散関係はほぼ線形となり、音速はフォノン周波数に依存せず、おおよそωaとなります。その結果、異なる（しかし長い）波長を持つフォノンの束は、格子中を長距離にわたって分解することなく伝播することができます。これが、音が固体中を大きな歪みなく伝播する理由です。この挙動は、 kの値が大きい場合（つまり波長が短い場合）、格子の微視的な詳細のために成り立ちません。

基本セルに少なくとも2つの原子を持つ結晶の場合、分散関係は2種類のフォノン、すなわち光学モードと音響モードを示し、それぞれ図の上部の青い曲線と下部の赤い曲線に対応します。縦軸はフォノンのエネルギーまたは周波数、横軸は波数ベクトルです。境界は − ⁠π/1つの⁠と⁠π/1つの⁠は第一ブリルアンゾーンの分散関係である。^{[ 11 ]}原始セル内にN  ≥ 2 個の異なる原子を持つ結晶は、3つの音響モードを示す。1つの縦音響モードと2つの横音響モードである。光モードの数は3 N – 3である。下の図は、ブリルアンゾーンの主方向における波数ベクトルkの関数として、GaAs におけるいくつかのフォノンモードの分散関係を示している。^{[ 10 ]}

これらのモードはフォノン分散の分岐とも呼ばれます。一般に、基本単位胞にp原子（前述のNで示した）が存在する場合、3次元結晶には3pのフォノン分散分岐が存在します。これらの分岐のうち3つは音響モードに対応し、残りの3p-3分岐は光モードに対応します。特定の方向では、対称性によりいくつかの分岐が重なることがあります。これらの分岐は縮退と呼ばれます。音響モードでは、すべてのp原子が同位相で振動します。そのため、波の伝播中にこれらの原子の相対的な変位は変化しません。

フォノン分散の研究は、フォノンによって特徴付けられる固体中の音波伝播のモデル化に役立ちます。前述のように、各フォノンのエネルギーはħωです。波の速度もωとkで表されます。波動ベクトルの方向は波の伝播方向であり、フォノン分極ベクトルは原子の振動方向を示します。実際、結晶中の波の速度はkの方向によって異なります。言い換えれば、ほとんどの結晶はフォノン伝播に対して異方性を持っています。

原子が波の伝播と同じ方向に振動する場合、その波は縦波です。横波では、原子は波の伝播に対して垂直に振動します。ただし、等方性結晶を除いて、結晶内の波は厳密には縦波や横波ではありません。一般的な異方性結晶の場合、フォノン波は特定の特殊な対称方向にのみ縦波または横波になります。その他の方向では、ほぼ縦波またはほぼ横波になります。ラベルの便宜上、縦波または横波と呼ばれることがよくありますが、実際には準縦波または準横波ですが、これは単にラベル付けの便宜上のものです。3次元の場合、直線上の各点で直線に垂直な方向が2つあることに注意してください。したがって、各（準）縦波に対して常に2つの（準）横波が存在します。

多くのフォノン分散曲線は非弾性中性子散乱によって測定されてきました。

流体中の音の物理は、固体中の音の物理とは異なりますが、どちらも密度波です。流体中の音波は縦方向成分のみを持ちますが、固体中の音波は縦方向成分と横方向成分を持ちます。これは、流体がせん断応力を支持できないためです（ただし、高周波数にのみ適用される 粘弾性流体を参照してください）。

第二量子化技術を用いたフォノンの解釈

上記で導出されたハミルトニアンは古典的なハミルトニアン関数のように見えるかもしれないが、これを演算子として解釈すると、相互作用しないボソンの量子場理論を記述する。^{[ 2 ]} 2番目の量子化手法は、量子調和振動子に用いられるラダー演算子法に似ており、微分方程式を直接解くことなくエネルギー固有値を抽出する手段である。上記の量子処理のセクションで定義したハミルトニアン、、および共役位置、、および共役運動量から、生成演算子と消滅演算子を定義することができる。^{[ 12 ]}${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle Q_{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}$   そして   ${\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}$

標準的な交換関係を代入することで、次の交換子を簡単に得ることができます。

${\displaystyle \left[b_{k},{b_{k'}}^{\dagger }\right]=\delta _{k,k'},\quad {\Big [}b_{k},b_{k'}{\Big ]}=\left[{b_{k}}^{\dagger },{b_{k'}}^{\dagger }\right]=0}$

これを用いて、演算子b _k ^†とb _kを反転し、共役位置と運動量を次のように再定義することができます。

${\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}$   そして   ${\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}$

これらの定義を、上で定義した波数ベクトル空間ハミルトニアンに直接代入し、簡略化すると、ハミルトニアンは次の形になる。^{[ 2 ]}${\displaystyle Q_{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}$

これは第二量子化法、あるいは占有数定式化とも呼ばれ、n _k = b _k ^† b _kは占有数である。これは、それぞれが固有の波数ベクトルを持つN個の独立した振動子ハミルトニアンの和とみなすことができ、量子調和振動子に用いられる方法と互換性がある（n _kはエルミートであることに注意）。^{[ 12 ]}ハミルトニアンが可換なサブハミルトニアンの和として表せる場合、エネルギー固有状態は、個々のサブハミルトニアンの固有状態の積で与えられる。対応するエネルギースペクトルは、サブハミルトニアンの個々の固有値の和で与えられる。^{[ 12 ]}

量子調和振動子と同様に、 b _k ^†とb _kはそれぞれエネルギーħω _kを持つ単一の場励起、フォノンを生成および破壊することがわかる。^{[ 12 ] [ 2 ]}

この手法からフォノンの3つの重要な特性を推測することができる。第一に、フォノンはボソンである。なぜなら、生成演算子b _k ^†を繰り返し適用することで、任意の数の同一の励起を生成できるからである。第二に、各フォノンは格子内のすべての原子の運動によって引き起こされる「集団モード」である。これは、ここで運動量空間で定義されている生成演算子と消滅演算子が、位置空間で書かれたすべての原子の位置演算子と運動量演算子の和を含むという事実からわかる。（位置空間と運動量空間を参照。）^{[ 12 ]}最後に、位置-位置相関関数を用いて、フォノンが格子変位の波として作用することを示すことができる。

この手法は3次元にも容易に一般化でき、ハミルトニアンは次の形を取る: ^{[ 12 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}$

これは、波数ベクトルと偏光ごとに1つずつ、3N個の独立した振動子ハミルトニアンの合計として解釈できます。^{[ 12 ]}

音響フォノンと光学フォノン

最小の単位格子内に 1 つ以上の原子を持つ固体は、音響フォノンと光フォノンの 2 種類のフォノンを示します。

音響フォノンは、格子原子が平衡位置からずれるコヒーレントな運動です。変位が伝播方向の場合、空気中の音波のように、ある領域では原子が近づき、他の領域では原子が離れます（これが音響フォノンという名前由来です）。伝播方向と垂直な変位は、弦の波に似ています。音響フォノンの波長が無限大になると、結晶全体が単純に変位することになり、変形エネルギーはゼロになります。音響フォノンは、長波長の場合、周波数とフォノン波数ベクトルの間に線形関係を示します。音響フォノンの周波数は、波長が長くなるにつれてゼロに近づきます。縦方向および横方向の音響フォノンは、それぞれ LA フォノンおよび TA フォノンと略されることが多いです。

光学フォノンは格子内の原子の位相がずれた運動であり、ある原子が左に移動し、隣接する原子が右に移動します。これは、格子基底が2つ以上の原子で構成されている場合発生します。塩化ナトリウムなどのイオン結晶では、変位の変動によって電気分極が生じ、それが電磁場と結合するため、光学フォノンと呼ばれます。 ^{[ 2 ]}したがって、光学フォノンは赤外線によって励起されます。光の電場は、すべての正のナトリウムイオンを電場の方向に、すべての負の塩化物イオンを反対方向に動かし、結晶を振動させます。

光フォノンはブリルアンゾーンの中心で非ゼロの周波数を持ち、その長波長限界付近では分散を示さない。これは、隣接する格子位置にある正イオンと負イオンが互いに振動し、時間とともに変化する電気双極子モーメントを作り出す振動モードに対応するためである。このように光と相互作用する光フォノンは赤外活性と呼ばれる。ラマン活性な光フォノンは、ラマン散乱を介して光と間接的に相互作用することもできる。光フォノンは、縦モードと横モードを表す LO フォノンと TO フォノンと略されることが多く、LO 周波数と TO 周波数の分割は、リデン・サックス・テラー関係によって正確に説明されることが多い。

光フォノンエネルギーを実験的に測定する場合、光フォノン周波数は分光学的波数表記法で表すことがある。ここで、記号ωは通常の周波数（角周波数ではない）を表し、 cm ⁻¹の単位で表される。この値は、周波数を真空中の光速で割ることによって得られる。言い換えれば、cm ⁻¹単位の波数は、測定対象フォノンと同じ周波数を持つ真空中の光子の波長の逆数に対応する。^{[ 13 ]}

クリスタルモメンタム

最初のブリルアンゾーンを超える k ベクトル(赤) は、最初のブリルアンゾーン内の対応する k ベクトル (黒) よりも多くの情報を持ちません。

光子や物質波との類推により、フォノンは波動ベクトルkが運動量ħkを持つかのように扱われてきた。^{[ 14 ]}しかし、これは厳密には正しくない。ħkは実際には物理的な運動量ではなく、結晶運動量または擬運動量と呼ばれるからである。これは、kが定数ベクトル（逆格子ベクトルとその整数倍）の加算によってのみ決定されるためである。例えば、1次元モデルでは、法線座標QとΠは次のように定義される。

${\displaystyle Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}}$

どこ

${\displaystyle K={\frac {2n\pi }{a}}}$

任意の整数nに対して、波数kのフォノンは波数k  ±  ⁠のフォノンの無限族と等価である。2π​/1つの⁠、k  ±  ⁠4π​/1つの⁠など。物理的には、逆格子ベクトルは格子がフォノンに与えることができる追加の運動量塊として機能します。ブロッホ電子も同様の制約に従います。

ブリルアンゾーン、(a) 正方格子、(b) 六方格子

通常、フォノン波動ベクトルkのうち、その「族」の中で最小の振幅 | k | を持つものを考えるのが便利です。そのような波動ベクトルの集合は、第一ブリルアンゾーンを定義します。追加のブリルアンゾーンは、第一ブリルアンゾーンを逆格子ベクトルだけずらしたコピーとして定義できます。

熱力学

固体の熱力学的特性は、そのフォノン構造と直接関係しています。フォノン分散関係によって記述されるすべてのフォノンは、フォノン状態密度と呼ばれる状態において結合し、これが結晶の熱容量を決定します。この分布の性質上、熱容量は分布の高周波領域によって支配され、熱伝導率は主に低周波領域によって決まります。

絶対零度では、結晶格子は基底状態にあり、フォノンは存在しない。絶対零度以外の温度では、格子のエネルギーは一定ではなく、ある平均値を中心にランダムに変動する。これらのエネルギー変動は、格子のランダムな振動によって引き起こされ、フォノンの気体と見なすことができる。これらのフォノンは格子の温度によって生成されるため、熱フォノンと呼ばれることもある。^{[ 15 ]}

熱フォノンはランダムなエネルギー変動によって生成および破壊される。統計力学の用語で言えば、これはフォノンを加えるための化学ポテンシャルがゼロであることを意味する。^{[ 15 ]}この振る舞いは調和ポテンシャルを非調和領域に拡張したものである。熱フォノンの振る舞いは電磁空洞によって生成される光子ガスに似ており、光子は空洞の壁によって放出または吸収される。この類似性は偶然ではない。なぜなら、電磁場は調和振動子の集合のように振る舞い、黒体放射を生じるからである。どちらのガスもボーズ・アインシュタイン統計に従う。すなわち、熱平衡状態で調和領域において、与えられた角周波数で与えられた状態にあるフォノンまたは光子が存在する確率は：^{[ 16 ]}

${\displaystyle n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$

ここで、ω _k、sは状態におけるフォノン（または光子）の周波数、k _Bはボルツマン定数、Tは温度です。

フォノントンネル効果

フォノンは量子トンネル現象（フォノントンネリング）を示すことが示されており、最大1ナノメートル幅の隙間では、2つの物質の間を「トンネル」するフォノンを介して熱が流れる。^{[ 17 ]}このタイプの熱伝達は、伝導が起こるには大きすぎるが放射が起こるには小さすぎる距離の間で機能するため、古典的な熱伝達モデルでは説明できない。^{[ 17 ]}

演算子形式論

フォノンハミルトニアンは次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)}$

生成演算子と消滅演算子に関しては、これらは次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }}$

ここでは、ハミルトニアンを演算子形式で表現する際に、⁠1/2⁠ ħω _q項として、連続体または無限格子が与えられた場合、⁠1/2⁠ ħω _q項は合計すると無限項となる。測定するのはエネルギーの差であり、その絶対値ではないため、定数項⁠1/2⁠ ħω _{q は}運動方程式を変えずに無視できる。したがって、⁠1/2⁠ ħω _q因子は、ハミルトニアンの演算子形式化表現には存在しません。

基底状態は「真空状態」とも呼ばれ、フォノンが存在しない状態です。したがって、基底状態のエネルギーは0です。系が状態| n ₁ n ₂ n ₃ …⟩にあるとき、 α型のフォノンがn _α個存在するといいます。ここで、n _αはフォノンの占有数です。α型のフォノン1個のエネルギーはħω _qで与えられ、一般的なフォノン系の全エネルギーはn ₁ ħω ₁  +  n ₂ ħω _{2 +...で与えられます。交差項（例：} n ₁ ħω ₂ ） が存在しないため、フォノンは相互作用しないといいます。生成演算子と消滅演算子の作用は次のように与えられます。

${\displaystyle {a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }}$

そして、

${\displaystyle a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }}$

生成演算子a _α ^†はα型のフォノンを生成し、a _αはフォノンを消滅させます。したがって、これらはそれぞれフォノンの生成演算子と消滅演算子です。量子調和振動子の場合と同様に、粒子数演算子を次のように 定義できます。

${\displaystyle N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.}$

数演算子は、生成演算子の数が消滅演算子の数と等しい場合にのみ、生成演算子と消滅演算子の積の文字列と交換されます。

フォノンは交換対称性（すなわち、| α、β⟩  =  | β、α⟩ ）を示すことができるので、ボソンと考えられる。^{[ 18 ]}

非線形性

光子と同様に、フォノンもパラメトリックダウンコンバージョン^{[ 19 ]}を介して相互作用し、スクイーズドコヒーレント状態を形成する。^{[ 20 ]}

予測される特性

最近の研究では、フォノンとロトンは無視できない質量を持ち、標準粒子と同様に重力の影響を受ける可能性があることが示されています。^{[ 21 ]}特に、フォノンは一種の負の質量と負の重力を持つと予測されています。^{[ 22 ]}これは、フォノンが密度の高い物質ほど高速で移動することから説明できます。物質のうち、重力源に向いている部分は物体に近いため、その端の密度が高くなります。このことから、フォノンは密度の違いを感知して偏向し、負の重力場の性質を示すことが予測されます。^{[ 23 ]}この効果は測定するには小さすぎますが、将来の装置によって良好な結果が得られる可能性があります。

超伝導

超伝導とは、電子物質において電気抵抗が消失し、磁場が物質から放出される状態です。超伝導体では、電子は弱い引力によってクーパー対に結合しています。従来の超伝導体では、この引力はバーディーン・パインズ相互作用として知られており、電子間のフォノンの交換によって引き起こされます。 ^{[ 24 ]}フォノン（イオン格子の振動）が超伝導に関係しているという証拠は、同位体効果、すなわち超伝導臨界温度がイオンの質量に依存するという現象 によって示されています。

その他の研究

2019年、研究者たちは初めてフォノンを破壊することなく個々のフォノンを分離することに成功した。^{[ 25 ]}

また、液体がグラフェン表面上を流れるときに、フォノンの流れがナノスケールの電流生成に関与していることも示されました。^{[ 26 ]}

参照

• ボソン
• ブリルアン散乱
• フラクトン
• 線形弾性
• 機械波
• フォノン散乱
• キャリア散乱
• フォノニック結晶
• レイリー波
• 相対論的熱伝導
• 剛体ユニットモード
• セイサー
• 2番目の音
• 表面弾性波
• 表面フォノン
• 熱伝導率
• 振動

参考文献

1. シュヴァーブル、フランツ (2008). 『量子力学の高度化』（第4版）. シュプリンガー. p. 253. ISBN 978-3-540-85062-5。
2. ガービン、スティーブン・M.; ヤン、クン (2019).現代凝縮物質物理学. ケンブリッジ大学出版局. pp.  78– 96. ISBN 978-1-107-13739-4。
3. コジェフニコフ, AB (2004). 『スターリンの偉大な科学：ソビエト物理学者の時代と冒険』ロンドン: インペリアル・カレッジ・プレス. pp.  64– 69. ISBN 978-1-86094-419-2。
4. サイモン、スティーブン・H. (2013).オックスフォード固体基礎（第1版）. オックスフォード: オックスフォード大学出版局. p. 82. ISBN 978-0-19-968077-1。
5. Krauth, Werner (2006年4月).統計力学：アルゴリズムと計算. 国際出版地：オックスフォード大学出版局. pp.  231– 232. ISBN 978-0-19-851536-4。
6. Maradudin, A.; Montroll, E.; Weiss, G.; Ipatova, I. (1971).調和近似による格子力学の理論. 固体物理学. 第3巻 補足（第2版）. ニューヨーク: Academic Press.
7. Mattuck, R. (1976). 『多体問題におけるファインマン図入門』 McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-040954-5。
8. フェッター、アレクサンダー、ワレッカ、ジョン（2003年12月16日）。『粒子と連続体の理論力学』ドーバー物理学ブックス。ISBN 978-0-486-43261-8。
9. Mahan, GD (1981).多粒子物理学. ニューヨーク: Springer. ISBN 978-0-306-46338-9。
10. Yu, Peter Y.; Cardona, Manuel (2010). 「図3.2: GaAsにおける高対称軸に沿ったフォノン分散曲線」 . 『半導体の基礎』 . 『物理と材料特性』（第4版）. Springer. p. 111. ISBN 978-3-642-00709-5。
11. Misra, Prasanta Kumar (2010). 「§2.1.3 基底を持つ1次元鎖の通常モード」 .凝縮系物理学. アカデミック・プレス. p. 44. ISBN 978-0-12-384954-0。
12. アシュクロフト、ニール W.;マーミン、N. デビッド (1976)。固体物理学。サンダース大学出版。ページ 780–783。ISBN​​ 0-03-083993-9。
13. マハン、ジェラルド (2010). 『凝縮物質を一言で表すと』 プリンストン: プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-14016-2。
14. , Charles (2004).固体物理学入門, 第8版. Wiley. pp.  100. ISBN 978-0-471-41526-8。
15. 「非金属：熱フォノン」ケンブリッジ大学教育学習パッケージライブラリ。 2020年8月15日閲覧。
16. Pathria; Beale (2011).統計力学（第3版）. インド: Elsevier. p. 201. ISBN 978-93-80931-89-0。
17. 「小さな隙間をトンネルで横断」 News.mit.edu 2015年4月7日. 2019年8月13日閲覧。
18. ,リチャード・P. (1982).統計力学講義集. マサチューセッツ州レディング: ベンジャミン・カミングス. p.  159. ISBN 978-0-8053-2508-9。
19. Marquet, C.; Schmidt-Kaler, F.; James, DFV (2003). 「線形イオントラップにおける非線形効果によるフォノン−フォノン相互作用」(PDF) .応用物理B. 76 ( 3): 199– 208. arXiv : quant-ph/0211079 . Bibcode : 2003ApPhB..76..199M . doi : 10.1007/s00340-003-1097-7 . S2CID 17019967 . 
20. Reiter, DE; Sauer, S.; Huneke, J.; Papenkort, T.; Kuhn, T.; Vagov, A.; Axt, VM (2009). 「量子ドットの光励起によるスクイーズドフォノン状態の生成」 . Journal of Physics: Conference Series . 193 (1) 012121. Institute of Physics . Bibcode : 2009JPhCS.193a2121R . doi : 10.1088/1742-6596/193/1/012121 .
21. Alberto NicolisとRiccardo Penco (2017).フォノン、ロトン、重力の相互作用, Arxiv.org, 2018年11月27日閲覧
22. アンジェロ・エスポジト、ラファエル・クリチェフスキー、アルベルト・ニコリス (2018).『音の塊』 2018年11月11日閲覧
23. 「研究者らはフォノンが質量を持ち、おそらく負の重力を持つ可能性を示唆している」 Phys.org 2019年8月13日閲覧。
24. ティンカム、マイケル (1996). 『超伝導入門』 ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. p. 9. ISBN 0-486-43503-2。
25. 「宇宙で最も小さな音の検出」Nature . 571 (7763): 8–9 . 2019年7月1日. Bibcode : 2019Natur.571....8. . doi : 10.1038/d41586-019-02009-5 . S2CID 195774243 . 
26. リゼ、マチュー;マルコット、アリス。バティスト・コキーノット。カヴォカイン、ニキータ。ソブナス、カレン。バロー、クレマン。バルドワジ、アンキット。ラダ、ボヤ。ニゲス、アントワーヌ。ボケ、リデリック。シリア、アレッサンドロ (2023-02-17)。「炭素表面上の液体の流れの下で吹く強い電子風」。物理的なレビュー X。13 (1) 011020.arXiv : 2205.05037。ビブコード: 2023PhRvX..13a1020L。土井: 10.1103/PhysRevX.13.011020。S2CID 248665478。 

さらに読む

• ボルン、マックス、ホアン、クン (1954). 『結晶格子の動的理論』 オックスフォード: クラレンドン・プレス. ISBN 978-0-19-267008-3。
• ジマン, JM (1960). 『電子とフォノン』オックスフォード: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-850779-6。
• アシュクロフト、ニール・W.; マーミン、N.・デイヴィッド (1976). 『固体物理学』 ニューヨーク: センゲージ・ラーニング. ISBN 978-0-03-083993-1。第22章～第26章
• キッテル、チャールズ (2004). 『固体物理学入門』（第8版）. ホーボーケン、ニュージャージー州: Wiley. ISBN 978-0-471-41526-8。第4章と第5章
• ガービン, スティーブン・M.; ヤン, クン (2019).現代凝縮物質物理学. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. pp.  64– 97. ISBN 978-1-316-48064-9。

外部リンク

• フォノンに関する引用（Wikiquote）
• 「フォノンの解説」 MITニュース | マサチューセッツ工科大学2010年7月8日2024年10月12日閲覧。*光学モードと音響モード