レムニスケート楕円関数

数学において、レムニスケート楕円関数（レムニスケートえんぴつかん）は、ベルヌーイのレムニスケートの弧長に関連する楕円関数である。1718年にジュリオ・ファニャーノによって初めて研究され、その後、レオンハルト・オイラーやカール・フリードリヒ・ガウスらによって研究された。^[¹^]

レムニスケート正弦関数とレムニスケート余弦関数は、通常 $sl$ と $cl$ の記号で表記され（ $sinlem$ と $coslem$ 、あるいは $sin lemn$ と $cos lemnの$ 記号が使用されることもある）、^{[ 2 ]}三角関数の正弦関数と余弦関数に類似している。三角関数の正弦関数は単位直径の円における弧長と弦長を関連付けるのに対し^[³^]、レムニスケート正弦関数はレムニスケート円の弧長と弦長を関連付ける。 $x^{2}+y^{2}=x,$ ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.$

レムニスケート関数の周期は、レムニスケート定数と呼ばれる数 $2.622057...$ と関連しています。これは、レムニスケートの周囲と直径の比です。この数は、円の周囲と直径の比（二次） $3.141592...の$ 四次式に相当します。 $\varpi =$ $\pi =$

複素関数である $sl$ と $clは$ 、基本周期^[⁴^]を持つ正方周期格子（ガウス整数の倍数）を持ち、その格子上の2つのヤコビ楕円関数の特別なケースである。 $\{(1+i)\varpi ,(1-i)\varpi \},$ $\operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;-1),$ $\operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;-1)$

同様に、双曲レムニスケート正弦 $slh$ と双曲レムニスケート余弦 $clhは$ 、基本周期を持つ正方周期格子を持つ。 ${\bigl \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi i{\bigr \}}.$

レムニスケート関数と双曲レムニスケート関数は、ワイエルシュトラスの楕円関数に関連しています。 $\wp (z;a,0)$

レムニスケートの正弦関数と余弦関数

定義

レムニスケート関数 $sl$ と $clは$ 初期値問題の解として定義できる：^{[ 5 ]}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z={\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} z,\ \operatorname {sl} 0=0,\ \operatorname {cl} 0=1,

あるいは楕円積分の逆写像として、複素単位円から角のある正方形へのシュワルツ・クリストッフェル写像^[⁶^] ${\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi ,{\tfrac {1}{2}}\varpi i,-{\tfrac {1}{2}}\varpi ,-{\tfrac {1}{2}}\varpi i{\big \}}\colon$

z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.

その正方形を超えると、関数は連続反射による解析接続を介して複素平面に拡張できます。

比較すると、円正弦と円余弦は初期値問題の解として定義できます。

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\sin z=\cos z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\cos z=-\sin z,\ \sin 0=0,\ \cos 0=1,

または、上半平面から、実部と正の虚部の間の半無限ストリップへの写像の逆写像として： $-{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi$

z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.

レムニスケート定数との関係

レムニスケート関数は、最小実周期、最小 $2\varpi$ 虚周期、および基本 $2\varpi i$ 複素周期を持ち、レムニスケート定数と呼ばれる定数に対して、^[⁷^] $(1+i)\varpi$ $(1-i)\varpi$ $\varpi$

\varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2.62205\ldots

レムニスケート関数は、次の関係に類似した基本関係を満たす。 $\operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )},$ $\cos z={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -z{\bigr )}.$

レムニスケート定数⁠ ⁠は $\varpi$ 円周率⁠ ⁠ $\pi$ と非常によく似ており、⁠ ⁠を含む多くの恒等式は $\pi$ ⁠ ⁠ $\varpi$ を含む類似式を持ちます。これは、三角関数を含む恒等式がレムニスケート関数を含む類似式を持つのと同様です。例えば、⁠ ⁠のヴィエトの公式は次のように表すことができます。 $\pi$

${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

⁠ ⁠ $\varpi$ の類似の式は次の通りである: ^{[ 8 ]}

${\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\!{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

⁠ ⁠のマチンの公式はであり、 ⁠ ⁠のいくつかの類似した公式は、三角関数の角度の和の恒等式、例えばオイラーの公式を用いて導出することができる。⁠ ⁠についても同様の公式が導出でき、ガウスによって発見された以下の公式も含まれる：^[⁹^] $\pi$ ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}$ $\pi$ ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}$ $\varpi$ ${\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.$

^{レムニスケート定数と円周定数は、}ガウスによって算術幾何平均によって互いに関連していることが発見されまし^た。 $M$ [ 10 ^]

${\frac {\pi }{\varpi }}=M{\left(1,{\sqrt {2}}\!~\right)}$

議論の同一性

零点、極、対称性

{\displaystyle \operatorname {sl} } — $\operatorname {sl}$ 複素平面において。^{[ 11 ]}この図では、基本周期とが、実部が非負であるすべての周期の中で絶対値が最小であるという意味で「最小」であることがわかります。 $(1+i)\varpi$ $(1-i)\varpi$

レムニスケート関数 $cl$ と $slはそれぞれ$ 偶関数と奇関数である。

{\begin{aligned}\operatorname {cl} (-z)&=\operatorname {cl} z\\[6mu]\operatorname {sl} (-z)&=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}

の平行移動では $cl$ と $sl$ が交換され、の平行移動ではさらに回転して往復する：^[¹²^] ${\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ ${\tfrac {1}{2}}i\varpi$

{\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\mp \operatorname {sl} z,&{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\mp i}{\operatorname {sl} z}}\\[6mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\pm \operatorname {cl} z,&{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\pm i}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}

これらをの単位ガウス整数倍（つまりまたは）で 2 倍すると、各関数が否定され、反転になります。 $\varpi$ $\pm \varpi$ $\pm i\varpi$

{\begin{aligned}\operatorname {cl} (z+\varpi )&=\operatorname {cl} (z+i\varpi )=-\operatorname {cl} z\\[4mu]\operatorname {sl} (z+\varpi )&=\operatorname {sl} (z+i\varpi )=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}

その結果、両関数はの偶数ガウス整数倍の移動に対して不変である。^[¹³^]つまり、整数⁠ ⁠ ⁠、⁠ ⁠、 ⁠ ⁠に対する変位である。 $\varpi$ $(a+bi)\varpi ,$ $a+b=2k$ $a$ $b$ $k$

{\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} z\\[4mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} z\end{aligned}}

これにより、これらは基本周期の対角正方周期格子とを持つ楕円関数（複素平面上の二重周期有理型関数）になります。^[¹⁴^]正方周期格子を持つ楕円関数は、正方形の対称性に従い、任意の楕円関数よりも対称性があります。 $(1+i)\varpi$ $(1-i)\varpi$

レムニスケート関数の引数の反射と 1/4 回転は簡単な式になります。

{\begin{aligned}\operatorname {cl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sl} z}}\\[4mu]\operatorname {cl} iz&={\frac {1}{\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} iz&=i\operatorname {sl} z\end{aligned}}

sl関数は、のガウス整数倍、および整数との形の複素数で単純な零点を持ちます。 $の$ ガウス半整数倍、および留数の形の複素数で単純な極を持ちます。 $cl関数は$ $sl$ 関数から反転され、オフセットされます。引数で零点を持ち、留数の引数で極を持ちます。 $\varpi$ $a\varpi +b\varpi i$ $a$ $b$ $\varpi$ ${\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i$ $(-1)^{a-b+1}i$ $\operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}$ ${\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +b\varpi i$ $a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i,$ $(-1)^{a-b}i.$

また

\operatorname {sl} z=\operatorname {sl} w\leftrightarrow z=(-1)^{m+n}w+(m+ni)\varpi

一部の人にとっては $m,n\in \mathbb {Z}$

\operatorname {sl} ((1\pm i)z)=(1\pm i){\frac {\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} 'z}}.

最後の式は複素乗算の特殊なケースである。は任意のガウス整数であるが、についても同様の式が成り立つ。この関数はによる複素乗算を行う。^[¹⁵^] $\operatorname {sl} ((n+mi)z)$ $n+mi$ $\operatorname {sl}$ $\mathbb {Z} [i]$

$sl$ の零点と極の分布を反映する無限級数もある：^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi i}}

\operatorname {sl} z=-i\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi i}}.

ピタゴラスのような同一性

レムニスケート関数はピタゴラスの定理を満たす：

\operatorname {cl^{2}} z+\operatorname {sl^{2}} z+\operatorname {cl^{2}} z\,\operatorname {sl^{2}} z=1

その結果、媒介変数方程式は4次曲線を媒介変数化する。 $(x,y)=(\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t)$ $x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1.$

この恒等式は次のように書き直すこともできる。^{[ 18 ]}

{\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}{\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}=2

\operatorname {cl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {sl^{2}} z}{1+\operatorname {sl^{2}} z}},\quad \operatorname {sl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {cl^{2}} z}{1+\operatorname {cl^{2}} z}}

正接和演算子を次のように定義すると、次のようになります。 $a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)={\frac {a+b}{1-ab}},$

\operatorname {cl^{2}} z\oplus \operatorname {sl^{2}} z=1.

微分と積分

派生商品は以下のとおりです。

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl'} z&=-{\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {cl'^{2}} z&=1-\operatorname {cl^{4}} z\\[5mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z=\operatorname {sl'} z&={\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} z}{\operatorname {cl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {sl'^{2}} z&=1-\operatorname {sl^{4}} z\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z&=-2\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z&=2\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}

レムニスケート正弦とレムニスケート余弦の2次導関数は、その負の3乗の重複です。

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {cl} z=-2\operatorname {cl^{3}} z

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {sl} z=-2\operatorname {sl^{3}} z

レムニスケート関数は逆正接関数を使って積分することができます。

{\begin{aligned}\int \operatorname {cl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=\arctan \operatorname {sl} z+C\\\int \operatorname {sl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=-\arctan \operatorname {cl} z+C\\\int {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\mathrm {d} z&={\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\\\int {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\mathrm {d} z&=-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\end{aligned}}

引数の和と多重恒等式

三角関数と同様に、レムニスケート関数は引数の和と差の恒等式を満たす。ファグナーノがレムニスケートの二等分に用いた元の恒等式は以下の通りである。^{[ 19 ]}

\operatorname {sl} (u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl'} v+\operatorname {sl} v\,\operatorname {sl'} u}{1+\operatorname {sl^{2}} u\,\operatorname {sl^{2}} v}}

微分恒等式とピタゴラスの定理は、ファガノが用いた $sl$ と $cl$ に関する恒等式を再構成するのに用いることができる。接線和演算子と接線差演算子を定義すると、引数の和と差の恒等式は次のように表すことができる。^[²⁰^] $a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)$ $a\ominus b\mathrel {:=} a\oplus (-b),$

{\begin{aligned}\operatorname {cl} (u+v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v-\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v}{1+\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {cl} (u-v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v\\[2mu]\operatorname {sl} (u+v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {sl} (u-v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\end{aligned}}

これらは三角法の類似物に似ています:

{\begin{aligned}\cos(u\pm v)&=\cos u\,\cos v\mp \sin u\,\sin v\\[6mu]\sin(u\pm v)&=\sin u\,\cos v\pm \cos u\,\sin v\end{aligned}}

特に、実数成分の複素数値関数を計算するには、

{\begin{aligned}\operatorname {cl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {cl} x-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y+i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}-i{\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\\[12mu]\operatorname {sl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {sl} x+i\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}+i{\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {sl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\end{aligned}}

ガウスは

{\frac {\operatorname {sl} (u-v)}{\operatorname {sl} (u+v)}}={\frac {\operatorname {sl} ((1+i)u)-\operatorname {sl} ((1+i)v)}{\operatorname {sl} ((1+i)u)+\operatorname {sl} ((1+i)v)}}

ここで、両辺は明確に定義されます。 $u,v\in \mathbb {C}$

また

\operatorname {sl} (u+v)\operatorname {sl} (u-v)={\frac {\operatorname {sl} ^{2}u-\operatorname {sl} ^{2}v}{1+\operatorname {sl} ^{2}u\operatorname {sl} ^{2}v}}

ここで、両辺が明確に定義されている。これは三角関数の類似例に似ている。 $u,v\in \mathbb {C}$

\sin(u+v)\sin(u-v)=\sin ^{2}u-\sin ^{2}v.

二分法の公式:

\operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{1+{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}}

\operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{1+{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}}

複製式: ^{[ 21 ]}

\operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{4}x}{1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x-\operatorname {cl} ^{4}x}}

\operatorname {sl} 2x=2\,\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname {sl} ^{4}x}}

三倍公式: ^{[ 21 ]}

\operatorname {cl} 3x={\frac {-3\,\operatorname {cl} x+6\,\operatorname {cl} ^{5}x+\operatorname {cl} ^{9}x}{1+6\,\operatorname {cl} ^{4}x-3\,\operatorname {cl} ^{8}x}}

\operatorname {sl} 3x={\frac {\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} x-\,}\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{5}x-\,}\color {blue}{1}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{9}x}}{\color {blue}{1}\,\color {black}{+\,}\,\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{4}x-\,}\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{8}x}}}

の分子と分母の係数の「逆対称性」に注目してください。この現象は、とが奇数であるときのの乗算式で観察できます。^[¹⁵^] $\operatorname {sl} 3x$ $\operatorname {sl} \beta x$ $\beta =m+ni$ $m,n\in \mathbb {Z}$ $m+n$

補題多項式

格子とする $L$

L=\mathbb {Z} (1+i)\varpi +\mathbb {Z} (1-i)\varpi .

さらに、、、、（ただし）、が奇数、が奇数、とします。すると、 $K=\mathbb {Q} (i)$ ${\mathcal {O}}=\mathbb {Z} [i]$ $z\in \mathbb {C}$ $\beta =m+in$ $\gamma =m'+in'$ $m,n,m',n'\in \mathbb {Z}$ $m+n$ $m'+n'$ $\gamma \equiv 1\,\operatorname {mod} \,2(1+i)$ $\operatorname {sl} \beta z=M_{\beta }(\operatorname {sl} z)$

M_{\beta }(x)=i^{\varepsilon }x{\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}}

いくつかの互いに素な多項式といくつかの^[²²^]において、 $P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]$ $\varepsilon \in \{0,1,2,3\}$

xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x)

そして

\Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta _{\beta })

ここで、は任意の-捩れ生成子（すなわち、とは-加群を生成する）である。- 捩れ生成子の例としては、やなどが挙げられる。この多項式は- 次レムナトミック多項式と呼ばれる。これはモニックであり、上で既約である。レムナトミック多項式は、円分多項式の「レムニスケート類似体」である^[²³^] $\delta _{\beta }$ $\beta$ $\delta _{\beta }\in (1/\beta )L$ $[\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L/L$ $(1/\beta )L/L$ ${\mathcal {O}}$ $\beta$ $2\varpi /\beta$ $(1+i)\varpi /\beta$ $\Lambda _{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]$ $\beta$ $K$

\Phi _{k}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{\times }}(x-\zeta _{k}^{a}).

次の補題多項式はにおけるの最小多項式である。便宜上、およびとする。したがって、例えばにおける（および）の最小多項式は、 $\beta$ $\Lambda _{\beta }(x)$ $\operatorname {sl} \delta _{\beta }$ $K[x]$ $\omega _{\beta }=\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )$ ${\tilde {\omega }}_{\beta }=\operatorname {sl} ((1+i)\varpi /\beta )$ $\omega _{5}$ ${\tilde {\omega }}_{5}$ $K[x]$

\Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,

そして^{[ 24 ]}

\omega _{5}={\sqrt[{4}]{-13+6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85-38{\sqrt {5}}}}}}

{\tilde {\omega }}_{5}={\sqrt[{4}]{-13-6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85+38{\sqrt {5}}}}}}

^{[ 25 ]}

（同等の表現は下の表に示されている）。別の例は^{[ 23 ]である。}

\Lambda _{-1+2i}(x)=x^{4}-1+2i

これは（および）の最小多項式である。 $\omega _{-1+2i}$ ${\tilde {\omega }}_{-1+2i}$ $K[x].$

が素数で正の奇数ならば、^[²⁶^]^[²⁷^] $p$ $\beta$

\operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\beta ^{2}\prod _{p|\beta }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1-{\frac {(-1)^{(p-1)/2}}{p}}\right)

これは円分節の類似物と比較できる

\operatorname {deg} \Phi _{k}=k\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).

特定の値

三角関数と同様に、レムニスケート関数の値は、レムニスケートを等しい長さの部分に分割して、基本的な算術と平方根のみを使用して計算できます。 $n$ ただし、⁠ ⁠ $n$ は非負の整数であり、各⁠ ⁠ (存在する場合) は異なるフェルマー素数である形式である必要があります。^[²⁸^] $n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$ $k$ $p_{i}$

$n$	$\operatorname {cl} n\varpi$	$\operatorname {sl} n\varpi$
$1$	$-1$	$0$
${\tfrac {5}{6}}$	$-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$
${\tfrac {3}{4}}$	$-{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$	${\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$
${\tfrac {2}{3}}$	$-{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$	${\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$
${\tfrac {1}{2}}$	$0$	$1$
${\tfrac {1}{3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$	${\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$
${\tfrac {1}{4}}$	${\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$	${\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$
${\tfrac {1}{6}}$	${\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}$

幾何学的形状との関係

ベルヌーイのレムニスケートの弧の長さ

${\mathcal {L}}$ 中心から最遠点までの距離が単位（つまり「半幅」が単位）であるベルヌーイのレムニスケート曲線は、レムニスケート楕円関数の理論において不可欠な要素である。これは少なくとも3つの方法で特徴付けられる。

角度の特徴付け：単位距離離れた2点とが与えられ、をの鏡映とする。すると、はが直角となるような点の軌跡の閉包となる。^[²⁹^] $A$ $B$ $B'$ $B$ $A$ ${\mathcal {L}}$ $P$ $|APB-APB'|$

焦点特性: は、2 つの焦点からの距離の積が定数となるような平面上の点の軌跡です。 ${\mathcal {L}}$ $F_{1}={\bigl (}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}},0{\bigr )}$ $F_{2}={\bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\bigr )}$ ${\tfrac {1}{2}}$

明示的な座標特性：極座標方程式または直交座標方程式を満たす4次曲線である ${\mathcal {L}}$ $r^{2}=\cos 2\theta$ ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.$

の周囲はである。^[³⁰^] ${\mathcal {L}}$ $2\varpi$

原点からの距離にある点は、円と双曲線の交点です。正象限の交点は、直交座標系で表されます。 ${\mathcal {L}}$ $r$ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $x^{2}-y^{2}=r^{4}$

{\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}\!{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1+r^{2}{\bigr )}}},\,{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.

この媒介変数化をの4分の1に対して使用すると、原点から点までの弧の長さは次のようになる: ^[³¹^] $r\in [0,1]$ ${\mathcal {L}}$ ${\big (}x(r),y(r){\big )}$

{\begin{aligned}&\int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\[6mu]&\quad {}=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}

同様に、からまでの弧の長さは次のようになります。 $(1,0)$ ${\big (}x(r),y(r){\big )}$

{\begin{aligned}&\int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{r}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}

または、逆方向では、レムニスケート正弦関数と余弦関数は、それぞれ原点と点からの弧の長さの関数として、原点からの距離を与えます。 $(1,0)$

同様に、円の正弦関数と余弦関数は、極座標方程式または直交座標方程式を使用して、上記と同じ議論をパラメーター化して、弦の長さと単位直径円の弧の長さを関連付けます。 $r=\cos \theta$ $x^{2}+y^{2}=x,$

{\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2},\,{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.

あるいは、単位円が点からの弧の長さによってパラメータ化されるのと同様に、 $x^{2}+y^{2}=1$ $s$ $(1,0)$

(x(s),y(s))=(\cos s,\sin s),

${\mathcal {L}}$ ^は[³²^]によって点からの弧の長さでパラメータ化される。 $s$ $(1,0)$

(x(s),y(s))=\left({\frac {\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},{\frac {\operatorname {sl} s\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}}\right)=\left({\tilde {\operatorname {cl} }}\,s,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s\right).

この表記法はこの記事の目的のためだけに使用され、参考文献では一般的なヤコビ楕円関数の表記法が代わりに使用されます。 ${\tilde {\operatorname {cl} }},\,{\tilde {\operatorname {sl} }}$

レムニスケート積分とレムニスケート関数は、1718年にファグナーノによって発見された引数重複恒等式を満たす：^{[ 33 ]}

\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad {\text{if }}z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}{\text{ and }}0\leq u\leq {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}.

後の数学者たちはこの結果を一般化した。円内の作図可能な多角形と同様に、レムニスケートは定規とコンパスだけを使って等しい $n$ 弧の長さのセクションに分割できるため、はの形である場合に限ります。ここでは非負の整数で、各は（もしあれば）異なるフェルマー素数です。^[³⁴^]定理の「もし」の部分は 1827～1828 年にニールス・アーベルによって証明され、「もし」の部分は1981 年にマイケル・ローゼンによって証明されました。 ^[³⁵^]同様に、レムニスケートは定規とコンパスだけを使って等しい弧の長さのセクションに分割できるため、は2のべき乗である場合に限ります（ただしはオイラーのトーシェント関数です）。レムニスケートは既に描かれているとは想定されません。それは定規とコンパスによる作図の規則に反するからです。代わりに、レムニスケートを定義する 2 つの点、つまり、レムニスケートの中心と放射状の点 (レムニスケート上の 2 つの点のうち、中心からの距離が最大となる点) または 2 つの焦点のみが与えられていると想定されます。 $n$ $n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$ $k$ $p_{i}$ $n$ $\varphi (n)$ $\varphi$

とします。すると、の⁠ ⁠除算点は、点 $r_{j}=\operatorname {sl} {\dfrac {2j\varpi }{n}}$ $n$ ${\mathcal {L}}$

\left(r_{j}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+r_{j}^{2}{\bigr )}}},\ (-1)^{\left\lfloor 4j/n\right\rfloor }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r_{j}^{2}{\bigl (}1-r_{j}^{2}{\bigr )}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\}

ここでは床関数です。の具体的な値については以下を参照してください。 $\lfloor \cdot \rfloor$ $\operatorname {sl} {\dfrac {2\varpi }{n}}$

長方形のエラスティカの弧の長さ

逆レムニスケート正弦は、長方形弾性体の座標に対する弧の長さを表します。[ 36 ]この曲線の $s$ 座標^と^弧^の長さは次のとおりです。 $x$ $y$

y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}\mathop {\mathrm {d} t} }{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}

長方形のエラスティカは、1691年にヤコブ・ベルヌーイが提起した問題を解くものです。この問題は、理想的な柔軟な棒の形状を記述するというものでした。棒は下端が垂直に固定され、遠端から重りで引っ張られて水平に曲げられます。ベルヌーイの提案した解はオイラー・ベルヌーイの梁理論を確立し、18世紀にオイラーによってさらに発展させられました。

楕円特性

を楕円上の第一象限の点とし、を単位円への投影とする。原点と点の間の距離は（の角度、つまり円弧の長さ）の関数である。パラメータは次のように与えられる。 $C$ $x^{2}+2y^{2}=1$ $D$ $C$ $x^{2}+y^{2}=1$ $r$ $A$ $C$ $\varphi$ $BAC$ $B=(1,0)$ $BD$ $u$

u=\int _{0}^{\varphi }r(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1+\sin ^{2}\theta }}}.

がx軸上の射影であり、がx軸上の射影である場合、レムニスケート楕円関数は次のように与えられる。 $E$ $D$ $F$ $C$

\operatorname {cl} u={\overline {AF}},\quad \operatorname {sl} u={\overline {DE}},

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {AC}},\quad {\tilde {\operatorname {sl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {FC}}.

シリーズのアイデンティティ

べき級数

原点におけるレムニスケート正弦のべき級数展開は[ 37 ^{]である。}

\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-12{\frac {z^{5}}{5!}}+3024{\frac {z^{9}}{9!}}-4390848{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad |z|<{\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}}}

ここで係数は次のように決定されます。 $a_{n}$

n\not \equiv 1{\pmod {4}}\implies a_{n}=0,

a_{1}=1,\,\forall n\in \mathbb {N} _{0}:\,a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k}

ここで、はの3項合成すべてを表します。例えば、を評価する場合、の合成のうち、和に非ゼロの寄与を与えるものは6つしかないことがわかります。そしてなので、 $i+j+k=n$ $n$ $a_{13}$ $13-2=11$ $11=9+1+1=1+9+1=1+1+9$ $11=5+5+1=5+1+5=1+5+5$

a_{13}=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-{\tfrac {11}{15600}}.

この展開は次のように書くこともできる^{[ 38 ]}

\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }p_{2n}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}

どこ

p_{n+2}=-12\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}p_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}p_{k}p_{j-k},\quad p_{0}=1,\,p_{1}=0.

原点におけるのべき級数展開は ${\tilde {\operatorname {sl} }}$

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}z^{n}=z-9{\frac {z^{3}}{3!}}+153{\frac {z^{5}}{5!}}-4977{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}

ここで、が偶数であり、^[³⁹^] $\alpha _{n}=0$ $n$

\alpha _{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{\varpi }}{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n!}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k\pi /\varpi )^{n+1}}{\cosh k\pi }},\quad \left|\alpha _{n}\right|\sim 2^{n+5/2}{\frac {n+1}{\varpi ^{n+2}}}

が奇数の場合。 $n$

^{この展開は[}⁴⁰^]と等価に書くことができる。

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}}}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}s_{l}t_{n-l}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}

どこ

s_{n+2}=3s_{n+1}+24\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}s_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}s_{k}s_{j-k},\quad s_{0}=1,\,s_{1}=3,

t_{n+2}=3t_{n+1}+3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}t_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}t_{k}t_{j-k},\quad t_{0}=1,\,t_{1}=3.

レムニスケート余弦については、^{[ 41 ]}

\operatorname {cl} {z}=1-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}q_{l}r_{n-l}\right){\frac {z^{2n+2}}{(2n+2)!}}=1-2{\frac {z^{2}}{2!}}+12{\frac {z^{4}}{4!}}-216{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}},

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}2^{n}q_{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1-3{\frac {z^{2}}{2!}}+33{\frac {z^{4}}{4!}}-819{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}

どこ

r_{n+2}=3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}r_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}r_{k}r_{j-k},\quad r_{0}=1,\,r_{1}=0,

q_{n+2}={\tfrac {3}{2}}q_{n+1}+6\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}q_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}q_{k}q_{j-k},\quad q_{0}=1,\,q_{1}={\tfrac {3}{2}}.

ラマヌジャンのcos/cosh恒等式

ラマヌジャンの有名なcos/coshの等式は、

R(s)={\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\cos(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},

その後^{[ 39 ]}

R(s)^{-2}+R(is)^{-2}=2,\quad \left|\operatorname {Re} s\right|<{\frac {\varpi }{2}},\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.

レムニスケート関数との間には密接な関係がある。実際、^[³⁹^]^[⁴²^] $R(s)$

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}R(s)\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\sqrt {1-R(s)^{2}}},\quad \left|\operatorname {Re} s-{\frac {\varpi }{2}}\right|<{\frac {\varpi }{2}},\,\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}

そして

R(s)={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.

連分数

理由：^[⁴³^] $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$

\int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/{\sqrt {2}}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}},\quad a_{n}={\frac {n^{2}}{4}}((-1)^{n+1}+3)

\int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} t\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/2}{z^{2}+b_{1}-{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+b_{2}-{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+b_{3}-\ddots }}}}}},\quad a_{n}=n^{2}(4n^{2}-1),\,b_{n}=3(2n-1)^{2}

計算方法

（が増加するとに近づく）への近似値を返す高速アルゴリズムは次のとおりです。^[⁴⁴^] $\operatorname {sl} x$ $\operatorname {sl} x$ $N$
$a_{0}\leftarrow 1;$ $b_{0}\leftarrow {\tfrac {1}{\sqrt {2}}};$ $c_{0}\leftarrow {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$
それぞれについて $n\geq 1$
$a_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+b_{n-1});$ $b_{n}\leftarrow {\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}};$ $c_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}-b_{n-1})$
もしそうなら $c_{n}<{\textrm {tolerance}}$
$N\leftarrow n;$ 壊す
$\phi _{N}\leftarrow 2^{N}a_{N}{\sqrt {2}}x$
それぞれ⁠ ⁠ $n$ から⁠ ⁠ $N$ まで⁠ ⁠ $0$ 行う
$\phi _{n-1}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}\left(\phi _{n}+{\arcsin }{\left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \phi _{n}\right)}\right)$
戻る ${\frac {\sin \phi _{0}}{\sqrt {2-\sin ^{2}\phi _{0}}}}$
これは実質的に算術幾何平均を使用しており、ランデンの変換に基づいています。^{[ 45 ]}

いくつかの計算方法では、まず変数を変更し、次に計算を行います。 $\operatorname {sl} x$ $\pi x=\varpi {\tilde {x}}$ $\operatorname {sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi ).$

双曲級数法: ^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}

\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh(x-(n+1/2)\pi )}},\quad x\in \mathbb {C}

{\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{{\sinh }{\left(x-n\pi \right)}}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi i)}},\quad x\in \mathbb {C}

フーリエ級数法: ^{[ 48 ]}

\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}

\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}

{\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\left({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{e^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi

レムニスケート関数は次のようにしてより高速に計算できる。

{\begin{aligned}\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{1}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{3}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \\\operatorname {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{2}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{4}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \end{aligned}}

どこ

{\begin{aligned}\theta _{1}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\\theta _{2}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\\theta _{3}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\\theta _{4}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx\end{aligned}}

はヤコビのシータ関数である。^{[ 49 ]}

レムニスケート正弦の対数のフーリエ級数:

\ln \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n(e^{n\pi }+(-1)^{n})}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}

ラマヌジャンによって以下の級数恒等式が発見された：^{[ 50 ]}

{\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cos 2nx}{e^{2n\pi }-1}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi

\arctan \operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}

単位円上の関数およびに類似した関数には、次のようなフーリエ級数展開と双曲級数展開がある: ^[³⁹^]^[⁴²^]^[⁵¹^] ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ ${\tilde {\operatorname {cl} }}$ $\sin$ $\cos$

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=2{\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\sin(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)\cos((2n+1)\pi s/\varpi )}{\sinh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\sinh(\pi (n+s/\varpi ))}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C}

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C}

以下の恒等式はシータ関数の積表現から得られる: ^{[ 52 ]}

\mathrm {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1+2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C}

\mathrm {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1-2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C}

関数を含む同様の式を与えることができる。^[⁵³^] $\operatorname {sn}$

レムニスケートは全関数の比として機能します

レムニスケート正弦は複素平面全体における有理型関数であるため、整関数の比として表すことができます。ガウスは、 $slが$ 零点と極の分布を反映して次の積展開を持つことを示しました。^{[ 54 ]}

\operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}}

どこ

M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}}\right).

ここで、およびはそれぞれ、象限にある $sl$ の零点と極を表します。証明は^[⁵⁴^]^[⁵⁵^]にあります。重要なのは、一様収束の結果として、無限積は、その項が乗じられる可能性のあるすべての次数に対して同じ値に収束することです。^[⁵⁶^] $\alpha$ $\beta$ $\operatorname {Re} z>0,\operatorname {Im} z\geq 0$

レムニスケート正弦の無限積の証明

対数微分による証明

（一様収束と絶対収束の議論を用いて極限操作の入れ替えを正当化することで）簡単にわかる。

{\frac {M'(z)}{M(z)}}=-\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<\varpi

（ここで、フルヴィッツ数はレムニスケート楕円関数§フルヴィッツ数で定義される）および $\mathrm {H} _{n}$

{\frac {N'(z)}{N(z)}}=(1+i){\frac {M'((1+i)z)}{M((1+i)z)}}-{\frac {M'(z)}{M(z)}}.

したがって

{\frac {N'(z)}{N(z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}.

知られているのは

{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}(4n-1)\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-2}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<\varpi .

それから

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}}=-{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}-\operatorname {sl} ^{2}z

そして

\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}-{\frac {(1+i)^{2}}{\operatorname {sl} ^{2}((1+i)z)}}

私たちは得る

{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}}=-\sum _{n=0}^{\infty }2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}.

したがって

{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}}={\frac {M'(z)}{M(z)}}-{\frac {N'(z)}{N(z)}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}.

したがって

\operatorname {sl} z=C{\frac {M(z)}{N(z)}}

に対しては定数であるが、この結果は解析接続によりすべての場合に成立する。 $C$ $\left|z\right|<\varpi /{\sqrt {2}}$ $z\in \mathbb {C}$

\lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {sl} z}{z}}=1

を与えることで証明は完了する。 $C=1$ $\blacksquare$

リウヴィルの定理による証明

させて

f(z)={\frac {M(z)}{N(z)}}={\frac {(1+i)M(z)^{2}}{M((1+i)z)}},

除去可能な特異点にパッチを配置する。シフト式

M(z+2\varpi )=e^{2{\frac {\pi }{\varpi }}(z+\varpi )}M(z),\quad M(z+2\varpi i)=e^{-2{\frac {\pi }{\varpi }}(iz-\varpi )}M(z)

は、と同様に、周期とを持つ楕円関数であることを意味する。したがって、 $f$ $2\varpi$ $2\varpi i$ $\operatorname {sl}$ $g$

g(z)={\frac {\operatorname {sl} z}{f(z)}},

をパッチすると、極を持たない楕円関数となる。リウヴィルの定理により、これは定数である。、およびを用いると、この定数はとなり、定理が証明される。 $\operatorname {sl} z=z+\operatorname {O} (z^{5})$ $M(z)=z+\operatorname {O} (z^{5})$ $N(z)=1+\operatorname {O} (z^{4})$ $1$ $\blacksquare$

ガウスは（後にこれが真実であることが判明した）と予想し、「これは非常に注目すべきことであり、この性質の証明は解析学における最も大きな進歩を約束する」とコメントした。^[⁵⁷^]ガウスはとの積を無限級数として展開した（下記参照）。また、彼は関数とに関するいくつかの恒等式を発見した。 $\ln N(\varpi )=\pi /2$ $M$ $N$ $M$ $N$

{\displaystyle M} — 複素平面上の関数。複素引数は色相の変化によって表されます。 $M$

{\displaystyle N} — 複素平面上の関数。複素引数は色相の変化によって表されます。 $N$

N(z)={\frac {M((1+i)z)}{(1+i)M(z)}},\quad z\notin \varpi \mathbb {Z} [i]

そして

N(2z)=M(z)^{4}+N(z)^{4}.

分割極限に関するある定理^{[ 58 ]}のおかげで、無限積を掛け合わせての同類の冪乗を集めることができる。そうすることで、複素平面上のどこでも収束する以下の冪級数展開が得られる: ^[⁵⁹^]^[⁶⁰^]^[⁶¹^]^[⁶²^]^[⁶³^] $z$

M(z)=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+552{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C}

N(z)=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+408{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .

これは、有限の収束半径しか持たない（完全ではないため）冪級数とは対照的です。 $\operatorname {sl}$

我々は定義し、 $S$ $T$

S(z)=N\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2}-iM\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2},\quad T(z)=S(iz).

レムニスケート余弦は次のように書ける。

\operatorname {cl} z={\frac {S(z)}{T(z)}}

ここで^{[ 64 ]}

S(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}-3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}-9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C}

T(z)=1+{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}+3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}+9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .

さらに、アイデンティティ

M(2z)=2M(z)N(z)S(z)T(z),

S(2z)=S(z)^{4}-2M(z)^{4},

T(2z)=T(z)^{4}-2M(z)^{4}

ピタゴラスのような恒等式

M(z)^{2}+S(z)^{2}=N(z)^{2},

M(z)^{2}+N(z)^{2}=T(z)^{2}

すべてに当てはまります。 $z\in \mathbb {C}$

準加法公式

M(z+w)M(z-w)=M(z)^{2}N(w)^{2}-N(z)^{2}M(w)^{2},

N(z+w)N(z-w)=N(z)^{2}N(w)^{2}+M(z)^{2}M(w)^{2}

（ここで）は再帰により、およびのさらなる乗算公式を意味する。 ^[⁶⁵^] $z,w\in \mathbb {C}$ $M$ $N$

ガウスの方程式は次の微分方程式系を満たします。 $M$ $N$

M(z)M''(z)=M'(z)^{2}-N(z)^{2},

N(z)N''(z)=N'(z)^{2}+M(z)^{2}

ここで、との両方は微分方程式を満たす^[⁶⁶^] $z\in \mathbb {C}$ $M$ $N$

X(z)X''''(z)=4X'(z)X'''(z)-3X''(z)^{2}+2X(z)^{2},\quad z\in \mathbb {C} .

これらの関数は、楕円関数を含む積分によっても表すことができます。

M(z)=z\exp \left(-\int _{0}^{z}\int _{0}^{w}\left({\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}v}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w\right),

N(z)=\exp \left(\int _{0}^{z}\int _{0}^{w}\operatorname {sl} ^{2}v\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w\right)

ここで、等高線は極と交差しません。最も内側の積分は経路独立ですが、最も外側の積分は経路依存です。ただし、経路依存性は複素指数関数の非単射性によって打ち消されます。

レムニスケート関数を整関数の比として表す別の方法として、シータ関数を用いる方法がある（レムニスケート楕円関数§計算方法を参照）。との関係は $M,N$ $\theta _{1},\theta _{3}$

M(z)=2^{-1/4}e^{\pi z^{2}/(2\varpi ^{2})}{\sqrt {\frac {\pi }{\varpi }}}\theta _{1}\left({\frac {\pi z}{\varpi }},e^{-\pi }\right),

N(z)=2^{-1/4}e^{\pi z^{2}/(2\varpi ^{2})}{\sqrt {\frac {\pi }{\varpi }}}\theta _{3}\left({\frac {\pi z}{\varpi }},e^{-\pi }\right)

どこ。 $z\in \mathbb {C}$

他の機能との関係

ワイエルシュトラス関数とヤコビ楕円関数との関係

レムニスケート関数は、不変量⁠ ⁠および⁠ ⁠を持つワイエルシュトラスの楕円関数（「レムニスケート関数の場合」）と密接に関連しています。この格子は基本周期とを持ちます。ワイエルシュトラス関数の関連定数は、 $\wp (z;1,0)$ $g_{2}=1$ $g_{3}=0$ $\omega _{1}={\sqrt {2}}\varpi ,$ $\omega _{2}=i\omega _{1}$ $e_{1}={\tfrac {1}{2}},\ e_{2}=0,\ e_{3}=-{\tfrac {1}{2}}.$

ワイエルシュトラスの楕円関数が⁠ ⁠ $g_{2}=a$ 、⁠ ⁠ $g_{3}=0$ となる場合の関連ケースは、スケーリング変換によって処理できます。ただし、これには複素数が含まれる可能性があります。実数の範囲内にとどめたい場合は、⁠ ⁠ $a>0$ と⁠ ⁠ $a<0$ の2つのケースを検討する必要があります。周期平行四辺形は正方形または菱形です。ワイエルシュトラスの楕円関数は「擬レムニスカティックケース」と呼ばれます。^[⁶⁷^] $\wp (z;-1,0)$

レムニスケート正弦の2乗は次のように表される。

\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp (z;4,0)}}={\frac {i}{2\wp ((1-i)z;-1,0)}}={-2\wp }{\left({\sqrt {2}}z+(i-1){\frac {\varpi }{\sqrt {2}}};1,0\right)}

ここで、の2番目と3番目の引数は格子不変量⁠ ⁠と⁠ ⁠を表す。レムニスケート正弦はワイエルシュトラスの楕円関数とその導関数における有理関数である： ^[⁶⁸^] $\wp$ $g_{2}$ $g_{3}$

\operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp (z;-1,0)}{\wp '(z;-1,0)}}.

レムニスケート関数はヤコビ楕円関数を用いて表すこともできます。正の実楕円係数を持つヤコビ楕円関数とは、実軸と虚軸に揃った「直立」長方形格子を持ちます。一方、係数⁠ ⁠を持つ関数と（および係数を持つ関数と）は、1/8回転した正方周期格子を持ちます。^[⁶⁹^]^[⁷⁰^] $\operatorname {sn}$ $\operatorname {cd}$ $\operatorname {sn}$ $\operatorname {cd}$ $i$ $\operatorname {sd}$ $\operatorname {cn}$ $1/{\sqrt {2}}$

\operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i)=\operatorname {sc} (z;{\sqrt {2}})={{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sd} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)

\operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)

ここで、2番目の引数は楕円係数を表します。 $k$

関数およびは、ヤコビの楕円関数で表すこともできます。 ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ ${\tilde {\operatorname {cl} }}$

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {sd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {sn} (z;{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {sn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {nd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {cn} (z;{\sqrt {2}})=\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {dn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right).

モジュラーラムダ関数との関係

レムニスケート正弦はモジュラーラムダ関数の値の計算に使用できます。

\prod _{k=1}^{n}\;{\operatorname {sl} }{\left({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi }{2}}\right)}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1)i)}{1-\lambda ((2n+1)i)}}}

例えば：

{\begin{aligned}&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7i)}{1-\lambda (7i)}}}={\tan }{\Bigl (}{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} }{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {8{\sqrt {7}}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+1{\Bigr )}{\Bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\frac {2}{2+{\sqrt {7}}+{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {2{14+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {455+172{\sqrt {7}}}}}}}}}\\[18mu]&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}\\&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (9i)}{1-\lambda (9i)}}}=\tan \left({\vphantom {\frac {\Big |}{\Big |}}}\right.{\frac {\pi }{4}}-\arctan \left({\vphantom {\frac {\Big |}{\Big |}}}\right.{\frac {2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}-2}}-2{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {3}}-1}{\sqrt[{4}]{12}}}\left.\left.{\vphantom {\frac {\Big |}{\Big |}}}\right)\right)\end{aligned}}

逆関数

レムニスケート正弦の逆関数はレムニスケート逆正弦であり、次のように定義される^{[ 71 ]。}

\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.

これは超幾何関数でも表すことができます。

\operatorname {arcsl} x=x\,{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4}};x^{4}{\bigr )}

これは二項級数を使うと簡単にわかります。

レムニスケート余弦の逆関数はレムニスケート逆余弦です。この関数は次の式で定義されます。

\operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x

⁠ ⁠ $x$ の区間において、 $-1\leq x\leq 1$ $\operatorname {sl} \operatorname {arcsl} x=x$ $\operatorname {cl} \operatorname {arccl} x=x$

レムニスケートの弧の長さを半分にするには、次の式が有効です。

{\begin{aligned}{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}&={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr )}\,{\operatorname {sech} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr )}\\{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}^{2}&={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr )}\end{aligned}}

さらに、いわゆる双曲レムニスケート面積関数があります。

\operatorname {aslh} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}F\left(2\arctan x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)

\operatorname {aclh} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}F\left(2\operatorname {arccot} x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)

\operatorname {aclh} (x)={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}-\operatorname {aslh} (x)

\operatorname {aslh} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} \left(x{\Big /}{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}\right)

\operatorname {arcsl} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {aslh} \left(x{\Big /}{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}\right)

楕円積分を用いた表現

レムニスケート逆正弦とレムニスケート逆余弦は、ルジャンドル形式でも表すことができます。

これらの関数は、第一種不完全楕円積分を使って直接表示することができます。

\operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)

\operatorname {arcsl} x=2({\sqrt {2}}-1)F\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)

レムニスケートの弧の長さは、楕円の弧の長さ（第2種の楕円積分で計算）のみを使用して表すこともできます。

{\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}E\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)\\[5mu]&\ \ -E\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{{\sqrt {2}}(1+x^{2}+{\sqrt {1+x^{2}}})}}\end{aligned}}

レムニスケートアークコサインは次の式で表されます:

\operatorname {arccl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)

統合での使用

レムニスケート逆正弦は多くの関数の積分に使用できます。重要な積分のリストを以下に示します（積分定数は省略しています）。

\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcsl} x

\int {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)(2x^{2}+1)}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}

\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}+x^{2}+1}}}

\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}}

\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{4})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}}

\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}

\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}

\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}

\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} }{\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}

\int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tanh {\tfrac {1}{2}}x

\int {\sqrt {\sec x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tan {\tfrac {1}{2}}x

双曲レムニスケート関数

基本情報

便宜上、を（下記参照）の「スクエアキュラー」な類似体とする。の十進展開（すなわち^[⁷²^]）は、ラマヌジャンの第二のノートの第11章34e項に見られる。^[⁷³^] $\sigma ={\sqrt {2}}\varpi$ $\sigma$ $\pi$ $\sigma$ $3.7081\ldots$

双曲レムニスケート正弦（ $slh$ ）と双曲レムニスケート余弦（ $clh$ ）は、次のように楕円積分の逆関数として定義できます。

z\mathrel {\overset {*}{=}} \int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}

ここで、はの角を持つ正方形内にあります。その正方形の外側では、関数は複素平面全体における有理型関数に解析接続できます。 $(*)$ $z$ $\{\sigma /2,\sigma i/2,-\sigma /2,-\sigma i/2\}$

完全積分の値は次のようになります。

\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\;46773\;01371\ldots

したがって、定義された 2 つの関数は互いに次のような関係を持ちます。

\operatorname {slh} z={\operatorname {clh} }{{\Bigl (}{\frac {\sigma }{2}}-z{\Bigr )}}

双曲レムニスケート正弦と双曲レムニスケート余弦の積は 1 になります。

\operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1

関数および関数は、基本周期の正方周期格子を持ちます。 $\operatorname {slh}$ $\operatorname {clh}$ $\{\sigma ,\sigma i\}$

双曲レムニスケート関数は、レムニスケート正弦とレムニスケート余弦で表すことができます。

\operatorname {slh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {cl} ^{2}z)\operatorname {sl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {cl} z}}

\operatorname {clh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {sl} ^{2}z)\operatorname {cl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {sl} z}}

しかし、楕円係数が 1 であるヤコビの楕円関数と2 の平方根との関係もあります。

\operatorname {slh} z={\frac {\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}}

\operatorname {clh} z={\frac {\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}}

双曲レムニスケート正弦は、レムニスケート正弦と次のような虚数関係を持ちます。

\operatorname {slh} z={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left({\sqrt[{4}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}}

これは双曲線正弦と三角正弦の関係に似ています。

\sinh z=-i\sin(iz)={\frac {\sin \left({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}

4次フェルマー曲線との関係

双曲レムニスケートの正接と余接

この画像は、標準化された 4 次超楕円フェルマーのスクエアクル曲線を示しています。

{\displaystyle x^{4}+y^{4}=1} — 関係のある超楕円 $x^{4}+y^{4}=1$

4次フェルマー曲線（スクエアクルとも呼ばれる）において、双曲レムニスケート正弦と双曲レムニスケート余弦は、単位円（2次フェルマー曲線）の接線関数と余弦関数に類似している。原点と曲線上の点が直線⁠ ⁠で結ばれている場合、この直線とx軸の間の囲まれた領域の2倍の双曲レムニスケート正弦は、⁠ ⁠と直線⁠ ⁠の交点のy座標である。^[⁷⁴^]円 ⁠ で囲まれた領域がであるのと同様に、スクエアクル ⁠ で囲まれた領域はである。さらに、 $x^{4}+y^{4}=1$ $x^{2}+y^{2}=1$ $L$ $L$ $x=1$ $\pi$ $x^{2}+y^{2}=1$ $x^{4}+y^{4}=1$ $\sigma$

M(1,1/{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\sigma }}

ここで、は算術幾何平均です。 $M$

双曲レムニスケート正弦は引数の加算恒等式を満たします。

\operatorname {slh} (a+b)={\frac {\operatorname {slh} a\operatorname {slh} 'b+\operatorname {slh} b\operatorname {slh} 'a}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\,\operatorname {slh} ^{2}b}}

が実数のとき、との導関数と元の反導関数は次のように表すことができます。 $u$ $\operatorname {slh}$ $\operatorname {clh}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {slh} (u)={\sqrt {1+\operatorname {slh} (u)^{4}}}$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {clh} (u)=-{\sqrt {1+\operatorname {clh} (u)^{4}}}$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\,{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}\operatorname {slh} (u)^{2}{\bigr ]}=\operatorname {slh} (u)$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-\,{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}\operatorname {clh} (u)^{2}{\bigr ]}=\operatorname {clh} (u)$

さらに、双曲レムニスケート正接関数と双曲レムニスケート共接関数もあります。

関数 tlh と ctlh は、前述の微分方程式で記述されている恒等式を満たします。

{\text{tlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\sin _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {sl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {cl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}

{\text{ctlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\cos _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {cl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {sl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}

関数名slはレムニスカティック正弦、関数名clはレムニスカティック余弦を表します。さらに、ヤコビの楕円関数との関係は以下のとおりです。

{\text{tlh}}(u)={\frac {{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}

{\text{ctlh}}(u)={\frac {{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}

が実数のとき、との微分と1/4 周期積分は次のように表すことができます。 $u$ $\operatorname {tlh}$ $\operatorname {ctlh}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {tlh} (u)=\operatorname {ctlh} (u)^{3}$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {ctlh} (u)=-\operatorname {tlh} (u)^{3}$ $\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\operatorname {tlh} (u)\,\mathrm {d} u={\frac {\varpi }{2}}$ $\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\operatorname {ctlh} (u)\,\mathrm {d} u={\frac {\varpi }{2}}$

双曲レムニスケート関数の導出

この超楕円の水平座標と垂直座標は囲まれた面積の2倍 w = 2A に依存するため、次の条件を満たす必要があります。

x(w)^{4}+y(w)^{4}=1

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}x(w)=-y(w)^{3}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}y(w)=x(w)^{3}

x(w=0)=1

y(w=0)=0

この連立方程式の解は次のとおりです。

x(w)=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}

y(w)=\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}

したがって、商には次の式が適用されます。

{\frac {y(w)}{x(w)}}={\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}{\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}}=\operatorname {slh} (w)

関数 x(w) と y(w) は、コタンジェント、双曲レムニスカトゥス、双曲正接と呼ばれます。

x(w)={\text{ctlh}}(w)

y(w)={\text{tlh}}(w)

このスケッチでは、Areasinus 双曲的 lemniscatus 関数の導出が、 4 乗関数の次の値の平方根の逆数に等しいという事実も示されています。

最初の証明：逆正接の微分との比較

右のスケッチには黒い対角線があります。この黒い対角線と赤い垂直軸の交点から点(1|0)まで垂直に伸びる線分の長さをsとします。そして、座標原点からこの対角線とスーパー楕円のシアン色の曲線との交点までの黒い対角線の断面の長さは、slh値に応じて以下の値を持ちます。

D(s)={\sqrt {{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {s}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}}}={\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}

この関係はピタゴラスの定理によって説明されます。

類似の単位円は、記述された領域割り当てを持つ円の逆正接三角関数の結果となります。

これには次の導出が適用されます。

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s)={\frac {1}{s^{2}+1}}

双曲面の面積（sinus lemniscatus hyperbolicus）の導出を決定するために、超楕円と単位円の同じ対角線上の微小三角形の面積を比較する。微小三角形の面積の総和が面積の大きさを表すためである。図の超楕円の場合、関係する面積の半分が緑色で示されている。座標原点における微小角度が同じ三角形の長さに対する面積の比が2乗であることから、以下の式が成立する。

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\text{aslh}}(s)={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s){\biggr ]}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\biggl (}{\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}={\frac {1}{\sqrt {s^{4}+1}}}

第二の証明：積分形成と面積減算

図では、双曲面レムニスカトゥス接線面積は、対角線と曲線の交点の高さを緑色の面積の2倍に割り当てます。緑色の面積自体は、スーパー楕円関数を0から対応する高さの値まで積分し、隣接する三角形の面積を差し引くことで得られます。

{\text{atlh}}(v)=2{\biggl (}\int _{0}^{v}{\sqrt[{4}]{1-w^{4}}}\mathrm {d} w{\biggr )}-v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}{\text{atlh}}(v)=2{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}-{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}{\biggr )}={\frac {1}{(1-v^{4})^{3/4}}}

次の変換が適用されます。

{\text{aslh}}(x)={\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}

したがって、連鎖律によれば、この導出は成り立ちます。

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{aslh}}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}=

={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{4}+1}}{\biggr )}^{-3/4}={\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}

特定の値

このリストは双曲レムニスケート正弦の値を正確に示しています。

\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\ldots

一方、以下の値、例えばは三角関数のと類似しています。 ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\tfrac {\pi }{2}},$ ${\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\sigma }{4}}{\bigr )}=1$ ${\sin }{\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}=1$

\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)=1

\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}-1)

\operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1)

\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {4\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})

\operatorname {slh} \,\left({\frac {5\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})

この表は、双曲レムニスケート正接関数と双曲レムニスケート余接関数の最も重要な値を示しています。

$z$	$\operatorname {clh} z$	$\operatorname {slh} z$	$\operatorname {ctlh} z=\cos _{4}z$	$\operatorname {tlh} z=\sin _{4}z$
$0$	$\infty$	$0$	$1$	$0$
${\tfrac {1}{4}}\sigma$	$1$	$1$	$1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$	$1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$
${\tfrac {1}{2}}\sigma$	$0$	$\infty$	$0$	$1$
${\tfrac {3}{4}}\sigma$	$-1$	$-1$	$-1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$	$1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}$
$\sigma$	$\infty$	$0$	$-1$	$0$

組み合わせ定理と半分の定理

双曲レムニスケート正接（）と双曲レムニスケート余接（）が与えられている。逆関数のセクションで説明した 双曲レムニスケート面積関数を思い出してください。 $\operatorname {tlh}$ $\operatorname {ctlh}$

\operatorname {aslh} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y

\operatorname {aclh} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y

すると、次のようなアイデンティティが確立される。

{\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}

{\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}

したがって、これらの引数の 4 乗は1 に等しい。 $\operatorname {tlh}$ $\operatorname {ctlh}$

{\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}^{4}+{\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}^{4}=1

{\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}^{4}+{\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}^{4}=1

これはピタゴラスの定理の4乗版です。双曲正弦定理（レムニスカトゥス）の二分定理は次のようになります。

{\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {x^{2}+1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}+{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}}}

この式は、次の 2 つの式の組み合わせとして表すことができます。

\mathrm {aslh} (x)={\sqrt {2}}\,{\text{arcsl}}{\bigl [}x({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}

{\text{arcsl}}(x)={\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\bigr )}

さらに、次の式はすべての実数値に対して有効です。 $x\in \mathbb {R}$

{\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}-{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}

{\text{clh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}+{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}

これらの恒等式は、最後に述べた式から導かれます。

{\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}

{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}

したがって、その4乗は再び1となり、

{\text{tlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}^{4}+{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}^{4}=1

レムニスカティック正弦とレムニスカティック余弦の次の式は密接に関連しています。

{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}

{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]=x{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}+1{\bigr )}^{-1/2}

座標変換

ガウスのベル曲線関数における不定積分の決定と同様に、一般円筒の座標変換を用いて、xに関して積分された関数における0から正の無限大までの積分を計算することができる。以下では、両方の積分の証明を並列的に示していく。 $f(x)=\exp(-x^{4})$

これはガウスベル曲線関数の円筒座標変換です。

{\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{2}-z^{2})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=

=\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\cos(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\cos(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\sin(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\sin(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\cos(\phi ){\bigr ]}^{2}-{\bigl [}r\sin(\phi ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =

=\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{2})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\pi }{4}}

これは、レムニスカトリーの場合の類似の座標変換です。

{\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y^{4}-z^{4})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=

=\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\,{\text{ctlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}-{\bigl [}r\,{\text{tlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =

=\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{4})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\varpi {\sqrt {\pi }}}{4{\sqrt {2}}}}

この楕円類似方程式チェーンの最後の行には、無限小解析学のチェーンルールに従って、内部置換として平方関数で積分された元のガウスベル曲線が再びあります。

どちらの場合も、ヤコビ行列の行列式が積分領域内の元の関数に掛けられます。

結果として得られる統合領域の新しい関数は、新しいパラメータに従って統合されます。

数論

代数的整数論において、ガウス有理数のすべての有限アーベル拡大は、ある正の整数に対しての部分体となる。^[²³^]^[⁷⁶^]これは、円周に基づく有理数に対するクロネッカー・ウェーバーの定理に類似している。特に、すべての有限アーベル拡大は、ある正の整数に対しての部分体となる。どちらも、ヒルベルトの第12の問題となったクロネッカーのユーゲントの夢の特別な場合である。 $\mathbb {Q} (i)$ $\mathbb {Q} (i,\omega _{n})$ $n$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ $n$

体（正の奇数の場合）は、楕円曲線上の-ねじれ点の- 座標と-座標によって生成されるの拡張である。^[⁷⁶^] $\mathbb {Q} (i,\operatorname {sl} (\varpi /n))$ $n$ $\mathbb {Q} (i)$ $x$ $y$ $(1+i)n$ $y^{2}=4x^{3}+x$

ハーウィッツ数

ベルヌーイ数は次のように定義される。 $\mathrm {B} _{n}$

\mathrm {B} _{n}=\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}{\frac {z}{e^{z}-1}},\quad n\geq 0

そして登場する

\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n-1}\mathrm {B} _{2n}{\frac {(2\pi )^{2n}}{(2n)!}}=2\zeta (2n),\quad n\geq 1

ここで、はリーマンゼータ関数です。 $\zeta$

アドルフ・フルヴィッツにちなんで名付けられたフルヴィッツ数は 、ベルヌーイ数の「レムニスケート類似体」である。^[⁷⁷^]^[⁷⁸^] $\mathrm {H} _{n},$

\mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}z\zeta (z;1/4,0),\quad n\geq 0

ここで、は格子不変量とを持つワイエルシュトラスゼータ関数である。これらは $\zeta (\cdot ;1/4,0)$ $1/4$ $0$

\sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4n}}}=\mathrm {H} _{4n}{\frac {(2\varpi )^{4n}}{(4n)!}}=G_{4n}(i),\quad n\geq 1

ここで、はガウス整数、は重みのアイゼンシュタイン級数であり、 $\mathbb {Z} [i]$ $G_{4n}$ $4n$

\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {n^{k}}{e^{2\pi n}-1}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{24}}-{\dfrac {1}{8\pi }}&{\text{if}}\ k=1\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}&{\text{if}}\ k\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 5\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}+{\dfrac {\mathrm {H} _{k+1}}{2k+2}}\left({\dfrac {\varpi }{\pi }}\right)^{k+1}&{\text{if}}\ k\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 3.\\\end{cases}}\end{array}}

ハーウィッツ数は次のように決定することもできる。 $\mathrm {H} _{4}=1/10$

\mathrm {H} _{4n}={\frac {3}{(2n-3)(16n^{2}-1)}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {4n}{4k}}(4k-1)(4(n-k)-1)\mathrm {H} _{4k}\mathrm {H} _{4(n-k)},\quad n\geq 2

がの倍数でない場合はとなる。[ ⁷⁹^]^この結果、^[⁷⁷^] $\mathrm {H} _{n}=0$ $n$ $4$

\mathrm {H} _{8}={\frac {3}{10}},\,\mathrm {H} _{12}={\frac {567}{130}},\,\mathrm {H} _{16}={\frac {43\,659}{170}},\,\ldots

また^{[ 80 ]}

\operatorname {denom} \mathrm {H} _{4n}=\prod _{(p-1)|4n}p

ここで、 $p\in \mathbb {P}$ $p\not \equiv 3\,({\text{mod}}\,4),$

\operatorname {denom} \mathrm {B} _{2n}=\prod _{(p-1)|2n}p

ここで（フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理による）。 $p\in \mathbb {P}$

実際、フォン・シュタウト・クラウゼンの定理はベルヌーイ数の小数部を決定します。

\mathrm {B} _{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1

（ OEISのシーケンスA000146）は任意の素数であり、同様の定理がフルビッツ数に対しても成り立ちます。が奇数、が偶数、が素数で、（2つの平方和に関するフェルマーの定理を参照）、の場合を考えます。すると、任意のに対して、が一意に決定されます。同様に、は非負整数である変数における合同式の解の数です。 ^[⁸¹^]フルビッツの定理は、フルビッツ数の小数部を決定します。^[⁷⁷^] $p$ $a\in \mathbb {Z}$ $b\in \mathbb {Z}$ $p$ $p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$ $p=a^{2}+b^{2}$ $a\equiv b+1\,(\mathrm {mod} \,4)$ $p$ $2a=\nu (p)$ $\nu (p)=p-{\mathcal {N}}_{p}$ ${\mathcal {N}}_{p}$ $X^{3}-X\equiv Y^{2}\,(\operatorname {mod} p)$ $X,Y$

\mathrm {H} _{4n}-{\frac {1}{2}}-\sum _{(p-1)|4n}{\frac {\nu (p)^{4n/(p-1)}}{p}}\mathrel {\overset {\text{def}}{=}} \mathrm {G} _{n}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1.

整数の列は^[⁷⁷^]で始まる。 $\mathrm {G} _{n}$ $0,-1,5,253,\ldots .$

とする。が素数ならば。が素数でなければ。^[⁸²^] $n\geq 2$ $4n+1$ $\mathrm {G} _{n}\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$ $4n+1$ $\mathrm {G} _{n}\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)$

代わりに、一部の著者はハーウィッツ数をと定義しています。 $\mathrm {H} _{n}'=\mathrm {H} _{4n}$

ローランシリーズへの登場

フルヴィッツ数はレムニスケート関数に関連するいくつかのローラン級数展開に現れる。 ^{[ 83 ]}

{\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} {z}}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}((-1)^{n}2-2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \\{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \end{aligned}}

同様に、ベルヌーイ数に関して言えば、

{\frac {1}{\sinh ^{2}z}}={\frac {1}{z^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}\mathrm {B} _{2n}}{2n}}{\frac {z^{2n-2}}{(2n-2)!}},\quad \left|z\right|<\pi .

ルジャンドル記号の4次類似物

をとなる素数とします。4次剰余（mod ）とは、整数の4乗に合同な任意の数です。が4次剰余（mod ）である場合はをと定義し、が4次剰余（mod ）でない場合はをと定義します。 $p$ $p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4)$ $p$ $\left({\tfrac {a}{p}}\right)_{4}$ $1$ $a$ $p$ $-1$ $a$ $p$

とが互いに素であるとき、 ^[⁸⁵^]を満たす数が存在する（これらの数については^[⁸⁴^{]を参照）。} $a$ $p$ $p'\in \mathbb {Z} [i]$

\left({\frac {a}{p}}\right)_{4}=\prod _{p'}{\frac {\operatorname {sl} (2\varpi ap'/p)}{\operatorname {sl} (2\varpi p'/p)}}.

この定理は

\left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin(2\pi an/p)}{\sin(2\pi n/p)}}

ルジャンドル記号はどこにありますか。 $\left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)$

世界地図投影

1870年代にアメリカ沿岸測量局のチャールズ・サンダース・パースによって設計されたパース五角形図法は、立体投影された点（複素数として扱われる）の逆レムニスケート正弦に基づく世界地図投影法である。 ^[⁸⁶^]

実部または虚部が一定の直線を双曲レムニスケート正弦曲線を介して複素平面に投影し、そこから球面に立体投影すると（リーマン球面を参照）、結果として得られる曲線は球面円錐曲線であり、平面楕円と双曲線の球面版である。^{[ 87 ]}このように、レムニスケート関数（およびより一般的にはヤコビ楕円関数）は球面円錐曲線のパラメータ化を提供する。

球面から立方体の6つの正方形面への等角写像もレムニスケート関数を使って定義することができます。^[⁸⁸^]多くの偏微分方程式は等角写像によって効果的に解くことができるため、球面から立方体へのこの写像は大気のモデリングに便利です。^[⁸⁹^]

参照

注記

^ファグナーノ (1718–1723) ;オイラー (1761) ;ガウス (1917)
^ Gauss (1917) p. 199 では、レムニスケート正弦と余弦にそれぞれ $sl$ と $cl$ の記号を使用しており、この表記法は現在では最も一般的です。例えば、 Cox (1984) p. 316、 Eymard & Lafon (2004) p. 204、 Lemmermeyer (2000) p. 240を参照してください。Ayoub (1984)は $sinlem$ と $coslem$ を使用しています。Whittaker & Watson (1920)は $sin lemn$ と $cos lemn の$ 記号を使用しています。情報源によっては、一般的な文字 $s$ と $c を$ 使用しているものもあります。Prasolov & Solovyev (1997)は、レムニスケート正弦に文字 $φを使用し、その導関数に$ $φ' を$ 使用しています。
^この円は、Cox & Shurman (2005)の定義による極方程式で次数2のクローバーを中心とする単位直径の円です。これは単位半径の円ではありません。レムニスケートは次数4のクローバーであることに留意してください。 $x^{2}+y^{2}=x$ ${\textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )}}$ $r=\cos \theta ,$ $x^{2}+y^{2}=1$ ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}$
^基本周期とが「最小」なのは、実部が非負であるすべての周期の中で絶対値が最小であるという意味です。 $(1+i)\varpi$ $(1-i)\varpi$
^ Robinson (2019a)はこの定義から出発し、そこからレムニスケート関数の他の特性を導出します。
^この地図は、シュワルツ（1869）113ページに掲載されたシュワルツ・クリストッフェル写像の最初の図であった。
^ Schappacher (1997) . OEISシーケンスA062539には、レムニスケート定数の小数点以下の数字がリストされています。
^レビン（2006）
^トッド（1975）
^コックス（1984）
^暗い部分は零点、明るい部分は極を表します。の偏角が（を除く）からに変化する、色はシアン、青、マグネタ、赤、オレンジ、黄、緑を経て、再びシアンに戻ります。 $\operatorname {sl} z$ $-\pi$ $-\pi$ $\pi$ $(\operatorname {Arg} \approx -\pi /2)$ $(\operatorname {Arg} \approx 0)$ $(\operatorname {Arg} \approx \pi /2)$ $(\operatorname {Arg} \approx \pi )$
^最初の恒等式と4番目の恒等式を組み合わせるととなる。この恒等式はEymard & Lafon (2004) p. 226で（誤って）与えられているが、右辺の先頭にマイナス記号がない。 $\operatorname {sl} z=-i/\operatorname {sl} (z-(1+i)\varpi /2)$
^偶数ガウス整数は、チェッカーボード上の黒い四角形を法とする⁠ ⁠ $0$ の剰余類です。 $1+i$
^プラソロフとソロヴィエフ (1997) ;ロビンソン (2019a)
^ ^a ^bコックス (2012)
^ラインハルト＆ウォーカー（2010a）§22.12.6、 §22.12.12
^同様に、 ${\frac {1}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z+n\pi }}.$
^ Lindqvist & Peetre (2001)はこれらの形式の最初のものを一般化しています。
^アユーブ (1984) ;プラソロフとソロヴィエフ (1997)
^オイラー (1761) §44 p. 79 , §47 pp. 80–81
^ ^a ^bオイラー（1761）§46 p.80
^実際、。 $i^{\varepsilon }=\operatorname {sl} {\tfrac {\beta \varpi }{2}}$
^ ^a ^b ^cコックス＆ハイド（2014）
^ゴメス＝モレダ＆ラリオ (2019)
^最も正の主引数が小さい 4 乗根が選択されます。
^正と奇数への制限はで削除できます。 $\beta$ $\operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\left|({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }\right|$
^ Cox (2013) p. 142、例7.29(c)
^ローゼン（1981）
^エイマールとラフォン (2004) p. 200
^そしてで囲まれた面積はであり、これは単位円 (囲まれた面積は作図できない数) とはまったく対照的です。 ${\mathcal {L}}$ $1$
^オイラー（1761）；シーゲル（1969）；プラソロフとソロヴィエフ（1997）はレムニスケートの極座標表現を用いて微分弧長を導出しているが、結果は同じである。
^ラインハルト＆ウォーカー（2010a）§22.18.E6
^シーゲル (1969) ;シャパッハー (1997)
^このような番号は OEIS シーケンスA003401です。
^アベル (1827–1828) ;ローゼン (1981) ;プラソロフとソロヴィエフ (1997)
^オイラー (1786) ;シュリダラン (2004) ;レヴィアン (2008)
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^カールソン（2010）§19.8
^ラインハルト＆ウォーカー（2010a）§22.12.12
^一般に、とは同値ではありませんが、結果として得られる無限和は同じになります。 $\sinh(x-n\pi )$ $\sin(x-n\pi i)=-i\sinh(ix+n\pi )$
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^より正確には、が上の有界複素関数の列で、が上で一様収束する。の順列である、すべてのに対して、自然数と（それぞれ）の間に一対一の関係が存在するという事実から導かれる。 $\{a_{n}\}$ $S$ ${\textstyle \sum \left|a_{n}(z)\right|}$ $S$ $\{n_{1},n_{2},n_{3},\ldots \}$ $\{1,2,3,\ldots \}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))=\prod _{k=1}^{\infty }(1+a_{n_{k}}(z))}$ $z\in S$ $\alpha$ $\beta$
^ボッタッツィーニとグレイ (2013) p. 58
^より正確には、各に対してが、すべてのおよびとなるような非負実数の収束級数が存在する場合、 $k$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{k}(n)}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}}$ $\left|a_{k}(n)\right|\leq M_{k}$ $n\in \mathbb {N}$ $1\leq k\leq n$
$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}(n)=\sum _{k=1}^{\infty }\lim _{n\to \infty }a_{k}(n).$
^あるいは、これらの展開はとの解析性からのみ存在すると推論できるにおけるなど）との間の恒等式、そしてその他無限に多くの恒等式が明らかになる。 $M$ $N$ ${\textstyle \sum _{\alpha }{\frac {1}{\alpha ^{4}}}=-\,{\text{the coefficient of}}\,z^{5}}$ $M$
^ガウス、CF (1866)。Werke (バンド III) (ラテン語とドイツ語)。 Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen。p. 405; ページに誤りがあります: の係数はではなくである必要があります。 $\varphi ^{17}$ ${\tfrac {107}{7\,410\,154\,752\,000}}$ ${\tfrac {107}{207\,484\,333\,056\,000}}$
^の場合、係数は再帰式で与えられ、ここで、フルビッツ数はレムニスケート楕円関数 § フルビッツ数で定義されます。 ${\textstyle M(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n+1}}$ $a_{n}$ ${\textstyle a_{n+1}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}2^{n-k+1}a_{k}{\frac {\mathrm {H} _{n-k+1}}{(n-k+1)!}}}$ $a_{0}=1$ $\mathrm {H} _{n}$
^との冪級数展開は、レムニスケートの- 除算多項式（ただしがを求めるのに役立ちます。例えば、- 除算多項式を求めたいとします。 $M$ $N$ $\beta$ $\beta$ ${\mathcal {L}}$ $\beta =m+ni$ $m,n\in \mathbb {Z}$ $m+n$ $3$
$M(3z)=d_{9}M(z)^{9}+d_{5}M(z)^{5}N(z)^{4}+d_{1}M(z)N(z)^{8}$
いくつかの定数に対して、 $d_{1},d_{5},d_{9}$
$3z-2{\frac {(3z)^{5}}{5!}}-36{\frac {(3z)^{9}}{9!}}+\operatorname {O} (z^{13})=d_{9}x^{9}+d_{5}x^{5}y^{4}+d_{1}xy^{8},$
どこ
$x=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+\operatorname {O} (z^{13}),\quad y=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+\operatorname {O} (z^{12}),$
我々は持っています
$\{d_{1},d_{5},d_{9}\}=\{3,-6,-1\}.$
したがって、 -除算多項式は $3$
$-X^{9}-6X^{5}+3X$
（つまり、その根の1つはである）。このプロセスによって得られる方程式は、 $\operatorname {sl} (2\varpi /3)$
$X^{n}=1$
（つまり、これは解の一つです）これは単位円を等しい長さの弧に分割するときに現れます。以下の注釈では、このような -除算多項式のモニック正規化の最初のいくつかの係数をを用いて記号的に記述します。 $e^{2\pi i/n}$ $n$ $\beta$ $\beta$
^関数のべき級数展開を利用すると前の注釈の）を根の1つとして持つ多項式 $N$ $\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )$ $\beta$
$\sum _{n=0}^{(\beta {\overline {\beta }}-1)/4}a_{4n+1}(\beta )X^{\beta {\overline {\beta }}-4n}$
どこ
${\begin{aligned}a_{1}(\beta )&=1,\\a_{5}(\beta )&={\frac {\beta ^{4}-\beta {\overline {\beta }}}{12}},\\a_{9}(\beta )&={\frac {-\beta ^{8}-70\beta ^{5}{\overline {\beta }}+336\beta ^{4}+35\beta ^{2}{\overline {\beta }}^{2}-300\beta {\overline {\beta }}}{10080}}\end{aligned}}$
等々。
^ジュラフスキー、AM (1941)。Spravochnik po ellipticheskim funktsiyam (ロシア語)。イズド。アカド。ナウク。ソビエト連邦
^例えば、準加法公式、複製公式、ピタゴラスのような恒等式によって、
$M(3z)=-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8},$
$N(3z)=N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z),$
それで
$\operatorname {sl} 3z={\frac {-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8}}{N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z)}}.$
分子と分母をで割るとの3倍の公式が得られます。 $N(z)^{9}$ $\operatorname {sl}$
$\operatorname {sl} 3z={\frac {-\operatorname {sl} ^{9}z-6\operatorname {sl} ^{5}z+3\operatorname {sl} z}{1+6\operatorname {sl} ^{4}z-3\operatorname {sl} ^{8}z}}.$
^ガウス（1866年）、408ページ
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^この同一性については、Greenhill (1892) p. 33に記載されています。 $\operatorname {cl} z={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)$
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^同様に、およびはを法とするヤコビイプシロン関数です。 $\mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\left({\frac {(1+i)z/2}{\operatorname {sl} ((1+i)z/2)}}+{\frac {z}{2}}{\mathcal {E}}\left({\frac {z}{2}};i\right)\right)$ $n\geq 4$ ${\mathcal {E}}(\cdot ;i)$ $i$
^ベルヌーイ数は、類似の繰り返しによって決定できます。ここで、およびです。 $\mathrm {B} _{2n}=-{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {2n}{2k}}\mathrm {B} _{2k}\mathrm {B} _{2(n-k)}$ $n\geq 2$ $\mathrm {B} _{2}=1/6$
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[1] ファグナーノ (1718–1723) ;オイラー (1761) ;ガウス (1917)

[2] Gauss (1917) p. 199 では、レムニスケート正弦と余弦にそれぞれ $sl$ と $cl$ の記号を使用しており、この表記法は現在では最も一般的です。例えば、 Cox (1984) p. 316、 Eymard & Lafon (2004) p. 204、 Lemmermeyer (2000) p. 240を参照してください。Ayoub (1984)は $sinlem$ と $coslem$ を使用しています。Whittaker & Watson (1920)は $sin lemn$ と $cos lemn の$ 記号を使用しています。情報源によっては、一般的な文字 $s$ と $c を$ 使用しているものもあります。Prasolov & Solovyev (1997)は、レムニスケート正弦に文字 $φを使用し、その導関数に$ $φ' を$ 使用しています。

[3] この円は、Cox & Shurman (2005)の定義による極方程式で次数2のクローバーを中心とする単位直径の円です。これは単位半径の円ではありません。レムニスケートは次数4のクローバーであることに留意してください。 $x^{2}+y^{2}=x$ ${\textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )}}$ $r=\cos \theta ,$ $x^{2}+y^{2}=1$ ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}$

[4] 基本周期とが「最小」なのは、実部が非負であるすべての周期の中で絶対値が最小であるという意味です。 $(1+i)\varpi$ $(1-i)\varpi$

[5] Robinson (2019a)はこの定義から出発し、そこからレムニスケート関数の他の特性を導出します。

[6] この地図は、シュワルツ（1869）113ページに掲載されたシュワルツ・クリストッフェル写像の最初の図であった。

[7] Schappacher (1997) . OEISシーケンスA062539には、レムニスケート定数の小数点以下の数字がリストされています。

[8] レビン（2006）

[9] トッド（1975）

[10] コックス（1984）

[11] 暗い部分は零点、明るい部分は極を表します。の偏角が（を除く）からに変化する、色はシアン、青、マグネタ、赤、オレンジ、黄、緑を経て、再びシアンに戻ります。 $\operatorname {sl} z$ $-\pi$ $-\pi$ $\pi$ $(\operatorname {Arg} \approx -\pi /2)$ $(\operatorname {Arg} \approx 0)$ $(\operatorname {Arg} \approx \pi /2)$ $(\operatorname {Arg} \approx \pi )$

[12] 最初の恒等式と4番目の恒等式を組み合わせるととなる。この恒等式はEymard & Lafon (2004) p. 226で（誤って）与えられているが、右辺の先頭にマイナス記号がない。 $\operatorname {sl} z=-i/\operatorname {sl} (z-(1+i)\varpi /2)$

[13] 偶数ガウス整数は、チェッカーボード上の黒い四角形を法とする⁠ ⁠ $0$ の剰余類です。 $1+i$

[14] プラソロフとソロヴィエフ (1997) ;ロビンソン (2019a)

[harvp|Cox|2012-15] コックス (2012)

[16] ラインハルト＆ウォーカー（2010a）§22.12.6、 §22.12.12

[17] 同様に、 ${\frac {1}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z+n\pi }}.$

[18] Lindqvist & Peetre (2001)はこれらの形式の最初のものを一般化しています。

[19] アユーブ (1984) ;プラソロフとソロヴィエフ (1997)

[20] オイラー (1761) §44 p. 79 , §47 pp. 80–81

[euler1761-46-21] オイラー（1761）§46 p.80

[22] 実際、。 $i^{\varepsilon }=\operatorname {sl} {\tfrac {\beta \varpi }{2}}$

[CH-23] コックス＆ハイド（2014）

[24] ゴメス＝モレダ＆ラリオ (2019)

[ReferenceA-25] 最も正の主引数が小さい 4 乗根が選択されます。

[26] 正と奇数への制限はで削除できます。 $\beta$ $\operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\left|({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }\right|$

[27] Cox (2013) p. 142、例7.29(c)

[28] ローゼン（1981）

[29] エイマールとラフォン (2004) p. 200

[30] そしてで囲まれた面積はであり、これは単位円 (囲まれた面積は作図できない数) とはまったく対照的です。 ${\mathcal {L}}$ $1$

[31] オイラー（1761）；シーゲル（1969）；プラソロフとソロヴィエフ（1997）はレムニスケートの極座標表現を用いて微分弧長を導出しているが、結果は同じである。

[32] ラインハルト＆ウォーカー（2010a）§22.18.E6

[33] シーゲル (1969) ;シャパッハー (1997)

[34] このような番号は OEIS シーケンスA003401です。

[35] アベル (1827–1828) ;ローゼン (1981) ;プラソロフとソロヴィエフ (1997)

[36] オイラー (1786) ;シュリダラン (2004) ;レヴィアン (2008)

[37] "A104203" .整数列のオンライン百科事典.

[38] ロモント, JS; ブリルハート, ジョン (2001).楕円多項式. CRC Press. pp. 12, 44. ISBN 1-58488-210-7。

[OEIS_sl_tilde-39] 「A193543 - オエイス」。

[40] ロモント, JS; ブリルハート, ジョン (2001).楕円多項式. CRC Press. ISBN 1-58488-210-7。p. 79、式5.36

[41] ロモント, JS; ブリルハート, ジョン (2001).楕円多項式. CRC Press. ISBN 1-58488-210-7。p. 79、式5.36およびp. 78、式5.33

[OEIS_cl_tilde-42] 「A289695 - オエイス」。

[43] ウォール, HS (1948).連分数の解析理論. チェルシー出版社. pp. 374– 375.

[44] ラインハルト＆ウォーカー（2010a）§22.20(ii)

[45] カールソン（2010）§19.8

[46] ラインハルト＆ウォーカー（2010a）§22.12.12

[47] 一般に、とは同値ではありませんが、結果として得られる無限和は同じになります。 $\sinh(x-n\pi )$ $\sin(x-n\pi i)=-i\sinh(ix+n\pi )$

[48] ラインハルト＆ウォーカー（2010a）§22.11

[49] ラインハルト＆ウォーカー（2010a）§22.2.E7

[50] ベルント（1994） 247、248、253ページ

[51] ラインハルト＆ウォーカー（2010a）§22.11.E1

[52] ウィテカー＆ワトソン（1927）

[53] ボルウェイン＆ボルウェイン（1987）

[EL227-54] エイマールとラフォン (2004) p. 227.

[55] カルタン、H. (1961)。Théorie élémentaire des fonctions Analytiques d'une ou plusieurs variables complexes (フランス語)。ヘルマン。160～ 164ページ。

[56] より正確には、が上の有界複素関数の列で、が上で一様収束する。の順列である、すべてのに対して、自然数と（それぞれ）の間に一対一の関係が存在するという事実から導かれる。 $\{a_{n}\}$ $S$ ${\textstyle \sum \left|a_{n}(z)\right|}$ $S$ $\{n_{1},n_{2},n_{3},\ldots \}$ $\{1,2,3,\ldots \}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))=\prod _{k=1}^{\infty }(1+a_{n_{k}}(z))}$ $z\in S$ $\alpha$ $\beta$

[57] ボッタッツィーニとグレイ (2013) p. 58

[58] より正確には、各に対してが、すべてのおよびとなるような非負実数の収束級数が存在する場合、 $k$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{k}(n)}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}}$ $\left|a_{k}(n)\right|\leq M_{k}$ $n\in \mathbb {N}$ $1\leq k\leq n$
$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}(n)=\sum _{k=1}^{\infty }\lim _{n\to \infty }a_{k}(n).$

[59] あるいは、これらの展開はとの解析性からのみ存在すると推論できるにおけるなど）との間の恒等式、そしてその他無限に多くの恒等式が明らかになる。 $M$ $N$ ${\textstyle \sum _{\alpha }{\frac {1}{\alpha ^{4}}}=-\,{\text{the coefficient of}}\,z^{5}}$ $M$

[60] ガウス、CF (1866)。Werke (バンド III) (ラテン語とドイツ語)。 Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen。p. 405; ページに誤りがあります: の係数はではなくである必要があります。 $\varphi ^{17}$ ${\tfrac {107}{7\,410\,154\,752\,000}}$ ${\tfrac {107}{207\,484\,333\,056\,000}}$

[61] の場合、係数は再帰式で与えられ、ここで、フルビッツ数はレムニスケート楕円関数 § フルビッツ数で定義されます。 ${\textstyle M(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n+1}}$ $a_{n}$ ${\textstyle a_{n+1}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}2^{n-k+1}a_{k}{\frac {\mathrm {H} _{n-k+1}}{(n-k+1)!}}}$ $a_{0}=1$ $\mathrm {H} _{n}$

[62] との冪級数展開は、レムニスケートの- 除算多項式（ただしがを求めるのに役立ちます。例えば、- 除算多項式を求めたいとします。 $M$ $N$ $\beta$ $\beta$ ${\mathcal {L}}$ $\beta =m+ni$ $m,n\in \mathbb {Z}$ $m+n$ $3$
$M(3z)=d_{9}M(z)^{9}+d_{5}M(z)^{5}N(z)^{4}+d_{1}M(z)N(z)^{8}$
いくつかの定数に対して、 $d_{1},d_{5},d_{9}$
$3z-2{\frac {(3z)^{5}}{5!}}-36{\frac {(3z)^{9}}{9!}}+\operatorname {O} (z^{13})=d_{9}x^{9}+d_{5}x^{5}y^{4}+d_{1}xy^{8},$
どこ
$x=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+\operatorname {O} (z^{13}),\quad y=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+\operatorname {O} (z^{12}),$
我々は持っています
$\{d_{1},d_{5},d_{9}\}=\{3,-6,-1\}.$
したがって、 -除算多項式は $3$
$-X^{9}-6X^{5}+3X$
（つまり、その根の1つはである）。このプロセスによって得られる方程式は、 $\operatorname {sl} (2\varpi /3)$
$X^{n}=1$
（つまり、これは解の一つです）これは単位円を等しい長さの弧に分割するときに現れます。以下の注釈では、このような -除算多項式のモニック正規化の最初のいくつかの係数をを用いて記号的に記述します。 $e^{2\pi i/n}$ $n$ $\beta$ $\beta$

[63] 関数のべき級数展開を利用すると前の注釈の）を根の1つとして持つ多項式 $N$ $\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )$ $\beta$
$\sum _{n=0}^{(\beta {\overline {\beta }}-1)/4}a_{4n+1}(\beta )X^{\beta {\overline {\beta }}-4n}$
どこ
${\begin{aligned}a_{1}(\beta )&=1,\\a_{5}(\beta )&={\frac {\beta ^{4}-\beta {\overline {\beta }}}{12}},\\a_{9}(\beta )&={\frac {-\beta ^{8}-70\beta ^{5}{\overline {\beta }}+336\beta ^{4}+35\beta ^{2}{\overline {\beta }}^{2}-300\beta {\overline {\beta }}}{10080}}\end{aligned}}$
等々。

[64] ジュラフスキー、AM (1941)。Spravochnik po ellipticheskim funktsiyam (ロシア語)。イズド。アカド。ナウク。ソビエト連邦

[65] 例えば、準加法公式、複製公式、ピタゴラスのような恒等式によって、
$M(3z)=-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8},$
$N(3z)=N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z),$
それで
$\operatorname {sl} 3z={\frac {-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8}}{N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z)}}.$
分子と分母をで割るとの3倍の公式が得られます。 $N(z)^{9}$ $\operatorname {sl}$
$\operatorname {sl} 3z={\frac {-\operatorname {sl} ^{9}z-6\operatorname {sl} ^{5}z+3\operatorname {sl} z}{1+6\operatorname {sl} ^{4}z-3\operatorname {sl} ^{8}z}}.$

[66] ガウス（1866年）、408ページ

[67] ロビンソン（2019a）

[68] エイマールとラフォン (2004) p. 234

[69] Armitage, JV; Eberlein, WF (2006).楕円関数. Cambridge University Press. p. 49. ISBN 978-0-521-78563-1。

[70] この同一性については、Greenhill (1892) p. 33に記載されています。 $\operatorname {cl} z={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

[71] シーゲル（1969）

[72] Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA175576」 .整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.

[73] ベルント、ブルース・C. (1989).ラマヌジャンのノートパートII . シュプリンガー. ISBN 978-1-4612-4530-8。96ページ

[74] レビン（2006）；ロビンソン（2019b）

[75] レビン（2006） 515頁

[Cox508509-76] コックス (2012) p. 508, 509

[Arakawa-77] 荒川恒雄;伊吹山、知義。金子正信（2014）ベルヌーイ数とゼータ関数。スプリンガー。ISBN 978-4-431-54918-5。203—206ページ

[78] 同様に、およびはを法とするヤコビイプシロン関数です。 $\mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\left({\frac {(1+i)z/2}{\operatorname {sl} ((1+i)z/2)}}+{\frac {z}{2}}{\mathcal {E}}\left({\frac {z}{2}};i\right)\right)$ $n\geq 4$ ${\mathcal {E}}(\cdot ;i)$ $i$

[79] ベルヌーイ数は、類似の繰り返しによって決定できます。ここで、およびです。 $\mathrm {B} _{2n}=-{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {2n}{2k}}\mathrm {B} _{2k}\mathrm {B} _{2(n-k)}$ $n\geq 2$ $\mathrm {B} _{2}=1/6$

[80] カッツ、ニコラス M. (1975)。「クラウゼンの合同式 - ベルヌーイ・フルヴィッツ数に対するフォン・シュタウトとクマー」。数学アンナレン。216 (1): 1–4 .土井: 10.1007/BF02547966。式(9)を参照

[81] この関数の詳細については、レムニスケート定数を参照してください。 $\nu$

[82] アドルフ、フルヴィッツ (1963). Mathematische Werke: Band II (ドイツ語)。スプリンガー・バーゼルAG。370ページ

[83] 荒川他（2014）は、 $\mathrm {H} _{4n}$ $1/\operatorname {sl} ^{2}.$

[84] アイゼンシュタイン、G. (1846)。"Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen"。Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)。３０．エイゼンシュタインはとを使用します。 $\varphi =\operatorname {sl}$ $\omega =2\varpi$

[85] 小川（2005）

[86] Peirce (1879)。Guyou (1887)とAdams (1925)はそれぞれ同じ投影の横方向と斜方向の側面を導入した。Lee (1976)も参照。これらの著者は、正方格子を用いたヤコビ楕円関数を用いて投影式を記述している。

[87] アダムス（1925）

[88] アダムス（1925）；リー（1976） .

[89] ランチッチ、パーサー＆メジンガー (1996) ;マクレガー (2005)。

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レムニスケート定数と円周定数は、

[ 11 ]

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は[

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と

]である。

[ 38 ]

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この展開は[

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[ 71 ]。

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79

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