揚力理論

数学において、持ち上げ理論は1931年の先駆的な論文でジョン・フォン・ノイマンによって初めて導入されました。この論文で彼は、アルフレッド・ハールが提起した疑問に答えました。[ 1 ]この理論は、ドロシー・マハラム（1958年）[ 2 ]とアレクサンドラ・イオネスク・トゥルチャとカッシウス・イオネスク・トゥルチャ（1961年）によってさらに発展しました。[ 3 ]持ち上げ理論は、その驚くべき応用によって大きく推進されました。1969年までのその発展は、イオネスク・トゥルチャのモノグラフで記述されました。[ 4 ]持ち上げ理論はそれ以来発展を続け、新たな結果と応用を生み出しました

定義

測度空間上の持ち上げは、商写像の 右逆で ある線形かつ乗法的な作用素である （×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}T：L∞（×、Σ、μ）→L∞（×、Σ、μ）{\displaystyle T:L^{\infty}(X,\Sigma,\mu)\to {\mathcal{L}}^{\infty}(X,\Sigma,\mu)}{L∞（×、Σ、μ）→L∞（×、Σ、μ）f↦[f]{\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\\f\mapsto [f]\end{cases}}}

ここで、は可測関数の半ノルムL p空間であり、はそれの通常のノルム商である。言い換えれば、リフティングは、無視できる関数を法とする有界可測関数の同値類すべてから、代表値（以下、またはまたは単に）を取り出す。そして、すべての、すべてのに対してとなる。L∞（×、Σ、μ）{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}L∞（×、Σ、μ）{\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}[f]{\displaystyle [f]}T（[f]）{\displaystyle T([f])}T[f]{\displaystyle T[f]}Tf{\displaystyle Tf}T[1]＝1{\displaystyle T[1]=1}p∈×{\displaystyle p\in X}r、s∈R、{\displaystyle r,s\in \mathbb{R},}T（r[f]+s[g]）（p）＝rT[f]（p）+sT[g]（p）、{\displaystyle T(r[f]+s[g])(p)=rT[f](p)+sT[g](p),}T（[f]×[g]）（p）＝T[f]（p）×T[g]（p）。{\displaystyle T([f]\times [g])(p)=T[f](p)\times T[g](p).}

リフティングは、測度の分解、たとえば連続ランダム変数を与えられた条件付き確率分布や、関数の準位集合上のルベーグ測度のファイブレーションを 生成するために使用されます。

持ち上げの存在

定理。が完備であると仮定する。[ 5 ]持ち上げが許容されるのは、互いに素な可積分集合の集合が存在し、その和が となる場合と同値である。 特に、がσ有限[ 6 ]測度または局所コンパクト空間上の内部正則ボレル測度の完備である場合、持ち上げが許容される（×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}（×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}Σ{\displaystyle \Sigma }×。{\displaystyle X.}（×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}（×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}

証明は、持ち上げをより大きなサブσ代数に拡張し、その過程で可算な連鎖に遭遇した場合には ドゥーブのマルチンゲール収束定理を適用することである。

強力なリフティング

が完備で、完全に正則なハウスドルフ位相を備え、任意の無視可能な開集合の和集合が再び無視可能となると仮定する。これは、がσ有限であるか、ラドン測度から得られる場合である。このとき、の台は最大の無視可能な開部分集合の補集合として定義でき、有界連続関数の集合は に属する。（×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}×{\displaystyle X}τ⊆Σ{\displaystyle \tau \subseteq \Sigma }（×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}μ、{\displaystyle \mu ,}補足⁡（μ）、{\displaystyle \operatorname {補足} (\mu),}Cb（×、τ）{\displaystyle C_{b}(X,\tau)}L∞（×、Σ、μ）。{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty}(X,\Sigma,\mu).}

の強い持ち上げとは、のすべての に対してと なる持ち上げのことである。 これは、 のすべての開集合に対して[ 7 ]となることを要求するのと同じである。（×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}T：L∞（×、Σ、μ）→L∞（×、Σ、μ）{\displaystyle T:L^{\infty}(X,\Sigma,\mu)\to {\mathcal{L}}^{\infty}(X,\Sigma,\mu)}Tφ＝φ{\displaystyle T\varphi =\varphi }補足⁡（μ）{\displaystyle \operatorname {Supp} (\mu )}φ{\displaystyle \varphi }Cb（×、τ）。{\displaystyle C_{b}(X,\tau ).}TU≥（U∩補足⁡（μ））{\displaystyle TU\geq (U\cap \operatorname {Supp} (\mu ))}U{\displaystyle U}τ。{\displaystyle \tau .}

定理。がσ有限かつ完全であり、可算基底を持つ場合、強い持ち上げが許容されます。（Σ、μ）{\displaystyle (\Sigma ,\mu )}τ{\displaystyle \tau }（×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}

証明。を の持ち上げ、の可算基底とします。無視できる集合内の 任意の点に対して、を の指標を拡張する 上の任意の指標[ 8 ]とし ます。すると、におけるおよびにおけるに対して、次式が 目的の強い持ち上げとなります。 T0{\displaystyle T_{0}}（×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}U1、U2、…{\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }τ。{\displaystyle \tau .}p{\displaystyle p}N:=⋃n{p∈補足⁡（μ）：（T0Un）（p）<Un（p）}{\displaystyle N:=\bigcup\nolimits_{n}\left\{p\in\operatorname{Supp}(\mu):(T_{0}U_{n})(p)<U_{n}(p)\right\}}Tp{\displaystyle T_{p}}L∞（×、Σ、μ）{\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}ϕ↦ϕ（p）{\displaystyle \phi \mapsto \phi (p)}Cb（×、τ）。{\displaystyle C_{b}(X,\tau ).}p{\displaystyle p}×{\displaystyle X}[f]{\displaystyle [f]}L∞（×、Σ、μ）{\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}（T[f]）（p）:={（T0[f]）（p）p∉NTp[f]p∈N。{\displaystyle (T[f])(p):={\begin{cases}(T_{0}[f])(p)&p\notin N\\T_{p}[f]&p\in N.\end{cases}}}T{\displaystyle T}

応用：尺度の崩壊

とがσ有限測度空間（正）であり、が可測写像であるとする。を について分解すると、は上の正σ加法測度の集合となり、（×、Σ、μ）{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}（Y、Φ、ν）{\displaystyle (Y,\Phi,\nu)}μ、ν{\displaystyle \mu,\nu}π：×→Y{\displaystyle \pi :X\to Y}μ{\displaystyle \mu}π{\displaystyle \pi }ν{\displaystyle \nu}Y∋y↦λy{\displaystyle Y\ni y\mapsto \lambda _{y}}（Σ、μ）{\displaystyle (\Sigma ,\mu )}

  1. λy{\displaystyle \lambda_{y}}は以上の繊維によって運ばれ、すなわち、ほぼすべてのπ−1（{y}）{\displaystyle \pi^{-1}(\{y\})}π{\displaystyle \pi }y{\displaystyle y}{y}∈Φ{\displaystyle \{y\}\in \Phi}λy（（×∖π−1（{y}））＝0{\displaystyle \lambda_{y}\left((X\setminus \pi^{-1}(\{y\})\right)=0}y∈Y{\displaystyle y\in Y}
  2. すべての-積分可能な関数に対して、 - のほぼすべてが- 積分可能であるという意味で、関数は- 積分可能であり、表示されている等式が成り立ちます。μ{\displaystyle \mu}f、{\displaystyle f,}∫×f（p）μ（dp）＝∫Y（∫π−1（{y}）f（p）λy（dp））ν（dy）（＊）{\displaystyle \int _{X}f(p)\;\mu(dp)=\int _{Y}\left(\int _{\pi^-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)\right)\nu(dy)\qquad (*)}ν{\displaystyle \nu}y{\displaystyle y}Y、{\displaystyle Y,}f{\displaystyle f}λy{\displaystyle \lambda_{y}}y↦∫π−1（{y}）f（p）λy（dp）{\displaystyle y\mapsto \int_{\pi^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda_{y}(dp)}ν{\displaystyle \nu}（＊）{\displaystyle (*)}

崩壊は様々な状況で存在し、証明も様々ですが、ほとんど全てが強い持ち上げを用いています。ここでは比較的一般的な結果を示します。簡潔な証明で、全体像が分かります。

定理。ポーランド空間[ 9 ]と可分ハウスドルフ空間を仮定し、両者ともそのボレルσ-代数を備える。をσ-有限ボレル測度と可測写像とする。すると、 σ-有限ボレル測度と σ-有限崩壊 (*) が存在する。が有限ならば、をプッシュフォワード[ 10 ]とすることができ、 は確率である。×{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}μ{\displaystyle \mu}×{\displaystyle X}π：×→Y{\displaystyle \pi :X\to Y}Σ、Φ−{\displaystyle \Sigma ,\Phi -}ν{\displaystyle \nu}Y{\displaystyle Y}μ{\displaystyle \mu}ν{\displaystyle \nu}π＊μ、{\displaystyle \pi _{*}\mu ,}λy{\displaystyle \lambda_{y}}

証明。のポーランド語的性質により、互いに素で、その和集合が無視できる補集合を持ち、かつ が連続であるのコンパクト部分集合の列が存在する。この観察は、 と が両方ともコンパクトで、が連続で、の下で完全であり、に対して強い持ち上げを固定する場合に問題を帰着させる。有界な -測定可能な関数が与えられ、 の下での条件付き期待値を表すものとする。つまり、[ 11 ]の に対するラドン・ニコディム微分である。次に、 における任意の に対して と設定する。これが崩壊を定義することを示すことは、簿記と適切なフビニの定理の問題である。持ち上げの強さがどのように現れるかを見るために、 と が のすべての正のに対して 下限を取ることに注意する。で、 のサポートが上のファイバーにあることは明らかである。×{\displaystyle X}×{\displaystyle X}π{\displaystyle \pi }×{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}π{\displaystyle \pi }ν＝π＊μ。{\displaystyle \nu =\pi _{*}\mu .}Φ{\displaystyle \Phi}ν{\displaystyle \nu}T{\displaystyle T}（Y、Φ、ν）。{\displaystyle (Y,\Phi ,\nu ).}μ{\displaystyle \mu }f,{\displaystyle f,}⌊f⌋{\displaystyle \lfloor f\rfloor }π,{\displaystyle \pi ,}π∗(fμ){\displaystyle \pi _{*}(f\mu )}π∗μ.{\displaystyle \pi _{*}\mu .}y{\displaystyle y}Y,{\displaystyle Y,}λy(f):=T(⌊f⌋)(y).{\displaystyle \lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).}λy(f⋅φ∘π)=φ(y)λy(f)∀y∈Y,φ∈Cb(Y),f∈L∞(X,Σ,μ){\displaystyle \lambda _{y}(f\cdot \varphi \circ \pi )=\varphi (y)\lambda _{y}(f)\qquad \forall y\in Y,\varphi \in C_{b}(Y),f\in L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}φ{\displaystyle \varphi }Cb(Y){\displaystyle C_{b}(Y)}φ(y)=1;{\displaystyle \varphi (y)=1;}λy{\displaystyle \lambda _{y}}y.{\displaystyle y.}

参照

参考文献

  1. ^フォン・ノイマン、ジョン(1931). 「Algebraische Repräsentanten der Funktionen "bis auf eine Menge vom Maße Null"」" . Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)。1931 ( 165): 109–115 . doi : 10.1515/crll.1931.165.109 . MR  1581278。
  2. ^マハラム, ドロシー(1958). 「フォン・ノイマンの定理について」 .アメリカ数学会報. 9 (6): 987–994 . doi : 10.2307/2033342 . JSTOR 2033342. MR 0105479 .  
  3. ^イオネスク・トゥルチャ、アレクサンドラ;イヨネスク・トゥルチャ、カッシウス(1961)。「エレベーター敷地内です。私は」数学的分析と応用のジャーナル。3 (3): 537–546 .土井: 10.1016/0022-247X(61)90075-0。MR 0150256。 
  4. ^イオネスク・トゥルチャ、アレクサンドラ;イヨネスク・トゥルチャ、カッシウス(1969)。リフティング理論のトピック。Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 48. ニューヨーク: Springer-Verlag。MR 0276438。OCLC 851370324。  
  5. ^部分集合が局所的に無視できるとは、その部分集合がの積分可能な集合のすべてと交わり、 の無視できる集合の部分集合にある。が完全であるとは、すべての局所的に無視できる集合が無視でき、 に属する場合である。N⊆X{\displaystyle N\subseteq X}Σ{\displaystyle \Sigma }Σ.{\displaystyle \Sigma .}(X,Σ,μ){\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}Σ.{\displaystyle \Sigma .}
  6. ^すなわち、基礎集合を覆う可積分集合（有限測度の集合）の可算な集合が存在する。Σ{\displaystyle \Sigma }X.{\displaystyle X.}
  7. ^ は、その指示関数によって識別されます。U,{\displaystyle U,}Supp⁡(μ){\displaystyle \operatorname {Supp} (\mu )}
  8. ^単位代数上の文字は、単位を 1 にマッピングする係数体に値を持つ乗法線形関数です。
  9. ^可分空間がポーランド空間であるとは、その位相が完備計量から導かれる場合である。現状では、 がスースリンであること、すなわち がポーランド空間の連続ハウスドルフ像であることを要求すれば十分である。X{\displaystyle X}
  10. ^下のプッシュフォワードは 、下の像とも呼ばれ、においてによって定義される上の測度として。π∗μ{\displaystyle \pi _{*}\mu }μ{\displaystyle \mu }π,{\displaystyle \pi ,}μ{\displaystyle \mu }π{\displaystyle \pi }π(μ),{\displaystyle \pi (\mu ),}ν{\displaystyle \nu }Φ{\displaystyle \Phi }ν(A):=μ(π−1(A)){\displaystyle \nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)}A{\displaystyle A}Φ{\displaystyle \Phi }
  11. ^は密度がfμ{\displaystyle f\mu }f{\displaystyle f}μ{\displaystyle \mu }
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