局所コンパクト量子群

数学および理論物理学において、局所コンパクト量子群とは、カッツ代数、コンパクト量子群、ホップ代数のアプローチを一般化した、量子群に対するC*代数的アプローチである。例えば乗法ユニタリーを用いた量子群の統一的定義の試みは、ある程度の成功を収めたものの、いくつかの技術的問題にも直面した。

この新しいアプローチを従来のアプローチと区別する主な特徴の一つは、左不変重みと右不変重みの公理的存在である。これは、局所コンパクト・ハウスドルフ群上の 左ハール測度と右ハール測度の非可換な類似を与える。

定義

局所コンパクト量子群を適切に定義する前に、まずいくつかの予備的な概念を定義し、いくつかの定理を述べる必要があります。

定義（重み）。C *-代数をとし、の正の元の集合を とする。の重みは、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\geq 0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$

• ${\displaystyle \phi (a_{1}+a_{2})=\phi (a_{1})+\phi (a_{2})}$ すべての に対して、そして${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{\geq 0}}$
• ${\displaystyle \phi (r\cdot a)=r\cdot \phi (a)}$ すべてのおよびについて。${\displaystyle r\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$

重みに関する表記法。C *-代数 上の重みを とします。以下の表記法を用います。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}:=\{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)<\infty \}}$ であり、これはのすべての正の積分可能要素${\displaystyle \phi }$ の集合と呼ばれます。${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\phi }:=\{a\in A\mid \phi (a^{*}a)<\infty \}}$ であり、これは のすべての-平方可積分元の集合と呼ばれます。${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }:={\text{Span}}~{\mathcal {M}}_{\phi }^{+}={\text{Span}}~{\mathcal {N}}_{\phi }^{*}{\mathcal {N}}_{\phi }}$ であり、これは のすべての-積分可能元の集合と呼ばれます。${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$

重みの種類。C *-代数上の重みをとします。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$

• ゼロでない各 に対して が忠実であるとき、かつその場合に限ります。${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (a)\neq 0}$ ${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$
• が下側半連続であるとは、集合が任意の に対しての閉部分集合である場合に限ります。${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)\leq \lambda \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,\infty ]}$
• が の稠密部分集合である場合に限り、 が稠密に定義されていると言えます。また、 または のいずれかがの稠密部分集合である場合に限り、 が稠密に定義されていると言えます。${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$ ${\displaystyle A_{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\phi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }}$ ${\displaystyle A}$
• は、ゼロでなく、下側半連続であり、稠密に定義されている場合にのみ適切であると言えます。${\displaystyle \phi }$

定義（1パラメータ群）。C *-代数をとする。上の1パラメータ群は、の*-自己同型群の族であり、のすべてに対してを満たす。 がノルム連続であるためには、任意の に対して によって定義される写像が連続である必要がある。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha _{s}\circ \alpha _{t}=\alpha _{s+t}}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to A}$ ${\displaystyle t\mapsto {\alpha _{t}}(a)}$

定義（1パラメータ群の解析的拡張）。C *-代数 上のノルム連続な1パラメータ群が与えられたとき、の解析的拡張を定義する。各 に対して、 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle I(z):=\{y\in \mathbb {C} \mid |\Im (y)|\leq |\Im (z)|\}}$ 、

これは複素平面上の水平方向の帯である。関数がノルム正則であるとは、以下の条件が満たされる場合のみである。 ${\displaystyle f:I(z)\to A}$

• これは の内部に関して解析的です。つまり、の内部の各 に対して、上のノルム位相に関する極限が存在します。${\displaystyle I(z)}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle I(z)}$ ${\displaystyle \displaystyle \lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(y)-f(y_{0})}{y-y_{0}}}}$ ${\displaystyle A}$
• それは に関してノルム有界です。${\displaystyle I(z)}$
• それは 上でノルム連続である。${\displaystyle I(z)}$

ここで、 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$

${\displaystyle D_{z}:=\{a\in A\mid {\text{ノルム正則な}}~f:I(z)\to A~{\text{が存在し、}}~f(t)={\alpha _{t}}(a)~{\text{すべての}}~t\in \mathbb {R} \}となる。}$

によって定義される。この関数は（複素解析関数の理論によって）一意に決定されるため、確かに well-defined である。したがって、この族はの解析的拡大と呼ばれる。 ${\displaystyle \alpha _{z}:D_{z}\to A}$ ${\displaystyle {\alpha _{z}}(a):=f(z)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha_{z}}$ ${\displaystyle (\alpha _{z})_{z\in \mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \alpha}$

定理 1.集合は の解析的元の集合と呼ばれ、 の稠密部分集合である。 ${\displaystyle \cap _{z\in \mathbb {C} }D_{z}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

定義（KMS重み）。C *-代数を とし、上の重みとする。 が上のKMS重み（「KMS」は「Kubo-Martin-Schwinger」の略）であるとは、が上の適切な重みであり、上のノルム連続な1パラメータ群が存在し、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\sigma _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \phi }$ は に対して不変である、すなわち、すべての に対して不変であり、${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \phi \circ \sigma _{t}=\phi }$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
• あらゆる に対して、 が成り立ちます。${\displaystyle a\in {\text{Dom}}(\sigma _{i/2})}$ ${\displaystyle \phi (a^{*}a)=\phi (\sigma _{i/2}(a)[\sigma _{i/2}(a)]^{*})}$

を の乗数代数で表します。 ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle A}$

定理 2.および がC*-代数であり、 が非退化 *-準同型（つまり、が の稠密部分集合である）である場合、 *-準同型 に一意に拡張できます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi :A\to M(B)}$ ${\displaystyle \pi [A]B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\overline {\pi }}:M(A)\to M(B)}$

定理 3.が 上の状態 (つまり、ノルム の正の線形関数)である場合、上の状態に一意に拡張できます。 ${\displaystyle \omega :A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\overline {\omega }}:M(A)\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M(A)}$

定義（局所コンパクト量子群）。（C*-代数的）局所コンパクト量子群は、C*-代数、共乗法と呼ばれる非退化*-準同型である順序対であり、以下の4つの条件を満たす。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(A,\Delta )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta :A\to M(A\otimes A)}$

• 共乗法は共結合的である、すなわち、。${\displaystyle {\overline {\Delta \otimes \iota }}\circ \Delta ={\overline {\iota \otimes \Delta }}\circ \Delta }$
• 集合およびはの線形稠密部分集合です。${\displaystyle \left\{{\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$ ${\displaystyle A}$
• 上には左不変な忠実な KMS 重み、すなわちすべてのおよびに対して が存在する。${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi \!\left({\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \phi (a)}$ ${\displaystyle \omega \in A^{*}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$
• 上には右不変なKMS 重み、すなわちすべてのおよびに対して が存在する。${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi \!\left({\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \psi (a)}$ ${\displaystyle \omega \in A^{*}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$

局所コンパクト量子群の定義から、右不変KMS重みは自動的に忠実であることが示される。したがって、の忠実性は冗長な条件であり、仮定する必要はない。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

二重性

局所コンパクト量子群の圏は、局所コンパクト量子群の双対が元の双対と同型であることを証明できる双対構成を可能にする。この結果は、局所コンパクト・ハウスドルフ・アーベル群に対するポンチャギン双対性の広範な一般化を与える。

代替処方

この理論はフォン・ノイマン代数を用いて同等の定式化ができる。^{[ 1 ]}

参照

• 局所的にコンパクトな空間
• 局所コンパクト体
• 局所コンパクト群

参考文献

1. Kustermans, Johan; Vaes, Stefaan (2000年5月23日). 「フォン・ノイマン代数的設定における局所コンパクト量子群」 . Mathematica Scandinavica . 92 (1).

• ヨハン・クスターマンスとステファン・ヴァエス。 「局所的にコンパクトな量子グループ」。高等師範科学誌。 Vol. 33、No.6 (2000)、837 ～ 934 ページ。
• トーマス・ティメルマン。「量子群と双対性への招待 ― ホップ代数から乗法ユニタリー、そしてその先へ」EMS数学教科書、ヨーロッパ数学協会（2008年）。