フィッティング長さ

数学、特に代数学の群論と呼ばれる分野において、フィッティング長（または冪零長）は、可解群が冪零からどれだけ離れているかを示す尺度です。この概念は、冪零正規部分群の研究を行ったハンス・フィッティングにちなんで名付けられました。

意味

フィッティングチェーン（またはフィッティングシリーズまたは群の冪零級数（べき零級数）は冪零商を持つ非正規級数である。言い換えれば、部分群正規部分群であり、かつ連続する項の商が冪零群であるようなものである。

グループのフィッティング長または冪零長は、フィッティング チェーンが存在する場合、そのチェーンの可能な最小の長さとして定義されます。

上部および下部フィッティングシリーズ

中心系列の中で上中心系列と下中心系列が極値であるのと同様に、べき零系列の中にも極値となる類似の系列が存在します。

有限群Hに対して、フィッティング部分群Fit ( H ) は最大正規冪零部分群であり、それによる商が冪零となる最小正規部分群はγ _∞ ( H ) であり、これは（有限）下中心級数の交点であり、冪零残差と呼ばれる。これらは中心と交換子部分群（それぞれ上中心級数と下中心級数の場合）に対応する。これらは無限群には当てはまらないため、以降の説明ではすべての群が有限であると仮定する。

有限群の上フィッティング級数は、Fit 0 (G) = 1、Fit n +1 (G)/Fit n (G) = Fit (G/Fit n (G)) で定義される特性部分群Fit n ⁽ G )の列^である。これは昇順^の冪零級数で^あり、各ステップで^最大の部分群をとる。

有限群Gの下フィッティング級数とは、 F ₀ ( G ) = G、およびF _{n +1} ( G ) = γ _∞ ( F _n ( G ) )で定義される特性部分群F _n ( G )の列である。これは下降するべき零級数であり、各ステップで最小の部分群をとる。

例

• 非自明な群は、冪零である場合に限り、フィッティング長さが 1 になります。
• 3 点上の対称群のフィッティング長さは 2 です。
• 4 点上の対称群のフィッティング長さは 3 です。
• 5 点以上の対称群にはフィッティング チェーンがまったく存在せず、解決できません。
• 3 点上の対称群のn個のコピーの反復花輪積のフィッティング長さは 2 nです。

プロパティ

• グループがフィッティング チェーンを持つのは、それが解ける場合のみです。
• 下側のフィッティング級数がフィッティング チェーンとなるのは、最終的に自明な部分群に到達し、 Gが解ける場合のみです。
• 上側のフィッティング級数がフィッティング チェーンとなるのは、最終的にグループG全体に到達する場合と、 Gが解ける場合のみです。
• 下側のフィッティング系列はすべてのフィッティングチェーンの中で最も速く下降し、上側のフィッティング系列はすべてのフィッティングチェーンの中で最も速く上昇します。明示的には、すべてのフィッティングチェーン 1 = H ₀ ⊲ H ₁ ⊲ … ⊲ H _n = Gについて、 H _i ≤ Fit ⁱ ( G )、および F _i ( G ) ≤ H _{n − i}が成り立ちます。
• 解けるグループの場合、下側のフィッティング シリーズの長さは上側のフィッティング シリーズの長さに等しく、この共通の長さがグループのフィッティング 長さになります。

詳しい情報は（Huppert 1967、Kap. III、§4）に記載されています。

中央シリーズとフィッティングシリーズの接続

解けるグループ上の下部フィッティング級数と下部中心級数を組み合わせると、定規の粗い目盛りと細かい目盛りのように、粗い目盛りと細かい目盛りのある級数が生成されます。

中心級数がべき零群に対して行うことは、フィッティング級数が可解群に対して行うことです。群が中心級数を持つのは、それがべき零群である場合と同値であり、フィッティング級数を持つのは、それが可解群である場合と同値です。

解けるグループが与えられた場合、下側フィッティング級数は下側中心級数よりも「粗い」分割になります。下側フィッティング級数はグループ全体の級数を与えますが、下側中心級数はグループ全体からフィッティング級数の最初の項までのみ下降します。

下のフィッティングシリーズは次のように進行します。

G = F ₀ ⊵ F ₁ ⊵ ⋯ ⊵ 1,

中央下部のシリーズは最初のステップを細分化し、

G = G ₁ ⊵ G ₂ ⊵ ⋯ ⊵ F ₁、

これは、べき零である 最初の商F ₀ / F ₁の下中心級数の持ち上げです。

このように進めると（フィッティング級数の各商について下側の中心級数を持ち上げると）、非正規級数が得られます。

G = G ₁ ⊵ G ₂ ⊵ ⋯ ⊵ F ₁ = F _1,1 ⊵ F _1,2 ⊵ ⋯ ⊵ F ₂ = F _2,1 ⊵ ⋯ ⊵ F _n = 1,

定規の粗い目盛りと細かい目盛りのように。

連続する商はアーベルであり、解けることとフィッティング級数を持つことの間に同値性があることを示しています。

参照

• セントラルシリーズ
• 3ステップグループ

参考文献

• Huppert, B. (1967)、Endliche Gruppen (ドイツ語)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-03825-2、MR  0224703、OCLC  527050
• アレクサンドル・トゥルル（2001）[1994]、「フィッティング長さ」、数学百科事典、EMSプレス
• アレクサンドル・トゥルル（2001）[1994]、「フィッティングチェーン」、数学百科事典、EMSプレス