セントラルシリーズ

数学、特に群論とリー理論の分野において、中心級数（ちゅうかんりつ）は部分群あるいはリー部分代数の正規級数の一種であり、交換子がほぼ自明であるという考えを表現する。群の場合、中心級数の存在はそれが冪零群であることを意味する。行列環（リー代数として考えられる）の場合、中心級数の存在は、ある基底において環が定数対角線を持つ上三角行列のみで構成されることを意味する。

この記事では群論の言語を使用します。リー代数にも類似の用語が使用されます。

一般群は下中心級数と上中心級数（それぞれ下降中心級数と上昇中心級数とも呼ばれる）を持つが、これらが厳密な意味での中心級数（自明部分群で終結する）であるためには、群が冪零である必要がある。関連しているが異なる構成として導来級数があり、これは群が可解な場合は必ず自明部分群で終結する。

意味

中心系列は部分群の列である

${\displaystyle \{1\}=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \dots \triangleleft A_{n}=G}$

となるように、連続する商は中心 となる。つまり、 となる。ここで は、形式 のすべての元によって生成される交換子部分群を表し、gはGに、hはHにそれぞれ属する。 であるため、部分群は各iに対してGにおいて正規である。したがって、上記の「中心」条件は次のように言い換えることができる。はGにおいて正規であり、 各iに対して において 中心である。結果として、は各iに対してアーベルである。 ${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}}$ ${\displaystyle [G,H]}$ ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$ ${\displaystyle [G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$ ${\displaystyle G/A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}}$

リー理論では、中心級数は、随伴作用によって厳密に保存される旗（より平易に言えば、各要素が厳密に上三角行列で表される基底）に類似しています。エンゲルの定理と比較してください。

群は中心級数を持つ必要はありません。実際、群が中心級数を持つのは、それが冪零群_である場合のみです。群が中心級数を持つ場合、項が特定の意味で極値となる中心級数が 2 つ存在します。A 0 = {1} であるため、中心Z ( G )はA ₁ ≤ Z ( G ) を満たします。したがって、 A ₁の最大選択はA ₁ = Z ( G )です。このようにして、 A _iが与えられたときに可能な限り最大のA _{i + 1を選択し続けると、}上中心級数と呼ばれるものが生成されます。双対的に、A _n  =  Gであるため、交換子部分群 [ G , G ] は [ G , G ] = [ G , A _n ] ≤ A _{n − 1を満たします。したがって、} A _{n − 1}の最小選択は[ G , G ]です。A _{i + 1}が最小値として与えられ、_[ G , A i + 1 ] ≤ A i となるようなA iを_{選び続ける}と、_下中心級数と呼ばれるものが得られます。この級数は任意の群に対して構成でき、群が中心級数を持つ（冪零群である）場合、これらの手順によって中心級数が得られます。

下部中央シリーズ

群の下中心系列（または下降中心系列）は、部分群の下降系列である。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=G_{1}\trianglerighteq G_{2}\trianglerighteq \cdots \trianglerighteq G_{n}\trianglerighteq \cdots }$ 、

ここで、各 について、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle G_{n+1}=[G_{n},G]}$ 、

と のすべての交換子によって生成されるの部分群。したがって、はの導来部分群であり、 などである。下中心級数はしばしば と表記される。級数はのとき終結または安定すると言い、そのような最小のものは級数の 長さより1大きい。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x\in G_{n}}$ ${\displaystyle y\in G}$ ${\displaystyle G_{2}=[G,G]=G^{(1)}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{3}=[[G,G],G]}$ ${\displaystyle \gamma _{n}(G)=G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots }$ ${\displaystyle n}$

これを導関数級数と混同してはならない。導関数級数の項は

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]}$ 、

ではない。2つの級数は によって関連している。例えば、対称群はクラス2で解ける。導来級数は ${\displaystyle G_{n}=[G_{n-1},G]}$ ${\displaystyle G^{(n)}\leq G_{n}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

${\displaystyle S_{3}\trianglerighteq \{e,(1\;2\;3),(1\;3\;2)\}\trianglerighteq \{e\}.}$

しかし、それはべき零ではない。その下中心系列は

${\displaystyle S_{3}\trianglerighteq \{e,(1\;2\;3),(1\;3\;2)\}}$

は で終了しません。冪零群は が解ける群であり、その導来長さはその冪零類において対数的である ( Schenkman 1975、p. 201,216)。 ${\displaystyle \{e\}}$

無限群の場合、下中心級数を超限再帰によって無限順序数まで続けることができる。極限順序数λに対して、次のように定義する。

${\displaystyle G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}}$ 。

ある順序数λに対して、Gはhypocentral groupと呼ばれる。任意の順序数λに対して、となる群Gが存在するが、すべての に対して となる( Malcev 1949 )。 ${\displaystyle G_{\lambda }=1}$ ${\displaystyle G_{\lambda }=1}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\neq 1}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda }$

が最初の無限順序数であるならば、 Gの最小の正規部分群であって、商が残余冪零であるもの、すなわち、すべての非恒等元が冪零群において非恒等準同型像を持つもの（Schenkman 1975 , p. 175,183）であるものは、G である。組合せ群論の分野において、自由群が残余冪零であるという重要な初期の結果は、事実上、下中心級数の商は、基本交換子によって定義される自然な基底を持つ自由アーベル群である（Hall 1959 , Ch. 11）。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G_{\omega }}$

ある有限なnに対して、 はGの冪零商を持つ最小の正規部分群であり、 はGの冪零残差と呼ばれる。これは有限群に対しては常に成り立ち、 Gの下側フィッティング級数における項を定義する。 ${\displaystyle G_{\omega }=G_{n}}$ ${\displaystyle G_{\omega }}$ ${\displaystyle G_{\omega }}$ ${\displaystyle F_{1}(G)}$

すべての有限nに対しては冪零ではありませんが、残差冪零です。 ${\displaystyle G_{\omega }\neq G_{n}}$ ${\displaystyle G/G_{\omega }}$

超中心 (下記) と同様に、超限下中心級数のすべての項の交差を表す一般用語は存在しません。

上部中央シリーズ

群Gの上中心系列（または昇中心系列）は、部分群の列である。

${\displaystyle 1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft Z_{i}\triangleleft \cdots ,}$

ここで、各グループは次のように定義されます。

${\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G\mid \forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}$

はGのi番目の中心（それぞれ、第2中心、第3中心など）と呼ばれます。この場合、はGの中心であり、各連続群に対して、因子群はの中心であり、は上中心級数商と呼ばれます。繰り返しますが、級数が等式の連鎖に安定する場合、級数は終了すると言い、その長さは、その級数に含まれる異なる群の数です。 ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}}$ ${\displaystyle G/Z_{i}}$

無限群の場合、上中心級数を超限再帰によって無限順序数まで続けることができる。極限順序数λに対して、次のように定義する。

${\displaystyle Z_{\lambda }(G)=\bigcup _{\alpha <\lambda }Z_{\alpha }(G).}$

このプロセスの限界 (高次の中心の結合) は、グループの 超中心と呼ばれます。

超限上中心級数が群全体で安定する場合、その群は超中心群と呼ばれる。超中心群は、正規化条件（真部分群の正規化群は真部分群を含む）、互いに素な順序の元が可換であること、周期的超中心群がそのシローp部分群の直和であることなど、冪零群の多くの性質を持つ（Schenkman 1975、Ch. VI.3）。任意の順序数λに対して、 Z _λ ( G ) = Gとなる群Gが存在するが、α < λの場合、 Z _α ( G ) ≠ Gとなる（Gluškov 1952およびMcLain 1956）。

下部中央シリーズと上部中央シリーズの接続

特に冪零群の場合、下中心系列 (LCS) と上中心系列 (UCS) の間にはさまざまな関係があります ( Ellis 2001 ) 。

冪零群では、LCSとUCSの長さは一致し、この長さは群の冪零類と呼ばれます。しかし、冪零群のLCSとUCSは必ずしも同じ項を持つとは限りません。例えば、巡回群C ₂ ⊵ { e }と四元数群Q ₈ ⊵ {1, −1} ⊵ {1}ではUCSとLCSは一致しますが、それらの直積C ₂ × Q ₈のUCSとLCSは一致しません。そのLCSはC ₂ × Q ₈ ⊵ { e } × {−1, 1} ⊵ { e } × {1}ですが、そのUCSはC ₂ × Q ₈ ⊵ C ₂ × {−1, 1} ⊵ { e } × {1}です。

群がアーベル群となるのは、LCS が最初のステップで終了する場合（交換子部分群が自明部分群である場合）および UCS が最初のステップで終了する場合（中心が群全体である場合）に限ります。

対照的に、LCSは群が完全（交換子が群全体）である場合にのみ0ステップ目で停止しますが、UCSは群が中心なし（自明な中心）である場合にのみ0ステップ目で停止します。これらは異なる概念です。完全群の場合、UCSは常に最初のステップで安定化します（グリュンの補題）。しかし、中心なし群は非常に長いLCSを持つ場合があります。2つ以上の生成元を持つ自由群は中心なしですが、そのLCSは最初の無限順序数まで安定化しません。これは、LCSとUCSの長さが一般に一致する必要がないことを示しています。

洗練された中央シリーズ

p群（常に冪零である）の研究では、より長い中心級数を用いることがしばしば重要となる。そのような中心級数の重要なクラスとして、指数p中心級数がある。これは、商が基本アーベル群、あるいはそれと同義で指数pを持つ中心級数である。このような級数の中で最も速く降下する唯一の級数、すなわち下側指数p中心級数λは、以下のように定義される。

${\displaystyle \lambda _{1}(G)=G}$ 、 そして

${\displaystyle \lambda _{n+1}(G)=[G,\lambda _{n}(G)](\lambda _{n}(G))^{p}}$ 。

2番目の項 はに等しく、フラッティーニ部分群 である。下指数p中心級数は、単にp中心級数と呼ばれることもある。 ${\displaystyle \lambda _{2}(G)}$ ${\displaystyle [G,G]G^{p}=\Phi (G)}$

このような最も速く上昇する唯一の級数、つまり上指数p中心級数Sは次のように定義されます。

S ₀ ( G ) = 1

S _{n +1} ( G )/S _n ( G ) = Ω(Z( G /S _n ( G )))

ここで、Ω( Z ( H )) は、位数がp を割り切るHの中心元の集合によって生成される（かつそれに等しい）部分群を表す。最初の項 S ₁ ( G ) は、最小正規部分群によって生成される部分群であり、したがってGの底に等しい。このため、上指数pの中心級数は、底級数、あるいはローウィ級数と呼ばれることもあるが、後者は通常、下降級数を示すために使用される。

次のように定義されるジェニングス級数κのように、中心級数の他の改良が役に立つ場合もあります。

κ ₁ ( G ) = G、そして

κ _{n + 1} ( G ) = [ G , κ _n ( G )] (κ _i ( G )) ^p、ここでiはn / p以上の最小の整数です。

ジェニングス級数は、p群のモジュラー群環のローウィ級数を記述するためにこの級数を使用したスティーブン・アーサー・ジェニングスにちなんで名付けられました。

参照

• べき零級数、可解群の類似概念
• 様々な中心級数によって定義される有限p群の親子関係
• 単能群

参考文献

• エリス、グラハム（2001年10月）「群の上中心商と下中心級数の関係について」アメリカ数学会誌、353（10）：4219–4234、doi：10.1090/S0002-9947-01-02812-4、JSTOR  2693793
• Gluškov, VM (1952)「無限群の中心級数について」、Mat. Sbornik、New Series、31 : 491– 496、MR  0052427
• ホール、マーシャル（1959）、群論、マクミラン、MR  0103215
• マルチェフ, AI (1949)、「一般化冪零代数とその関連群」、マット・スボルニク、新シリーズ、25 (67): 347– 366、MR  0032644
• McLain, DH (1956)、「群の上中心級数に関する考察」、Proc. Glasgow Math. Assoc.、3 : 38– 44、doi : 10.1017/S2040618500033414、MR  0084498
• シェンクマン、ユージン（1975）、群論、ロバート・E・クリーガー出版、ISBN 978-0-88275-070-5、MR  0460422特に第 6 章。