最大表面

微分幾何学という数学の分野において、最大曲面はローレンツ多様体の一種の部分多様体である。正確には、ローレンツ多様体( M , g )が与えられたとき、最大曲面とは平均曲率がゼロとなる M の空間的部分多様体である。[ 1 ]このように、ローレンツ幾何学における最大曲面はリーマン幾何学における極小曲面と直接類似している。この2つの設定における用語の違いは、最大曲面の小領域は面積関数の局所最大化子であるのに対し、極小曲面の小領域は面積関数の局所最小化子であるという事実に関係している。 [ 2 ]

1976年、シュウ・ユエン・チェンとシン・トン・ヤウは、ミンコフスキー空間に真に埋め込まれた極大曲面に関するベルンシュタイン問題を解き、そのような超曲面は平面であることを示した。これは、ヤウが1982年にフィールズ賞を受賞した業績の一部である。ベルンシュタイン問題は、1970年にエウジェニオ・カラビによって初めて提起され、彼はその結果のいくつかの特殊なケースを証明した。簡単な例から、ミンコフスキー空間には平均曲率がゼロで空間的ではない超曲面が多数存在することがわかる。[ 3 ]

芥川一夫は、チェンとヤウの手法を拡張して、ド・ジッター空間のような正定曲率のロレンツ多様体における定平均曲率の時空的超曲面の場合を考察した。ルイス・アリアス、アルフォンソ・ロメロ、ミゲル・サンチェスは、ミンコフスキー空間を区間を持つ 閉リーマン多様体の歪んだ積に置き換え、チェンとヤウの結果のバージョンを証明した。

偏微分方程式の問題として、ロバート・バートニックとレオン・サイモンはミンコフスキー空間における極大曲面の境界値問題を研究した。バートニックによる漸近平坦ローレンツ多様体における極大超曲面の一般的な存在は、デメトリオス・クリストドゥロウとセルジュ・クライナーマンによる、アインシュタイン場の方程式の下でのミンコフスキー空間の非線形安定性の有名な証明において重要である。彼らは一般時空の最大スライスを用いており、同様のアプローチは数値相対論でも一般的である。[ 4 ]

参考文献

脚注

  1. ^ Beem、Ehrlich、Easley、セクション 6.3
  2. ^ショケ＝ブリュア、745ページ
  3. ^小林（1983）、第5節
  4. ^グルゴルホン、第10章2節

本

  • ジョン・K・ビーム、ポール・E・エーリッヒ、ケビン・L・イーズリー著『グローバル・ロレンツ幾何学』第2版。純粋数学および応用数学のモノグラフと教科書、202ページ。マルセル・デッカー社、ニューヨーク、1996年。xiv+635頁。ISBN 0-8247-9324-2
  • イヴォンヌ・ショケ＝ブリュア著『一般相対性理論とアインシュタイン方程式』オックスフォード数学モノグラフ、オックスフォード大学出版局、オックスフォード、2009年、785頁、ISBN 978-0-19-923072-3
  • デメトリオス・クリストドゥロウとセルジュ・クライナーマン著『ミンコフスキー空間の大域的非線形安定性』プリンストン数学シリーズ41. プリンストン大学出版局, プリンストン, ニュージャージー州, 1993年. x+514 pp. ISBN 0-691-08777-6
  • エリック・グルグロン著.一般相対論における3+1形式論. 数値相対論の基礎.物理学講義ノート, 846. Springer, Heidelberg, 2012. xviii+294 pp. ISBN 978-3-642-24524-4

記事

  • 芥川一夫.ド・ジッター空間における平均曲率一定な空間的超曲面について. Math. Z. 196 (1987), no. 1, 13–19. doi : 10.1007/BF01179263アクセスが閉じられたアイコン
  • ルイス・J・アリアス、アルフォンソ・ロメロ、ミゲル・サンチェス。一般化ロバートソン・ウォーカー時空における平均曲率一定完全空間的超曲面の一意性。一般相対性重力誌27 (1995), no. 1, 71–84. doi : 10.1007/BF02105675アクセスが閉じられたアイコン
  • ロバート・バートニックとレオン・サイモン.境界値と平均曲率を与えられた空間的超曲面.無料アクセスアイコン Comm. Math. Phys. 87 (1982), no. 1, 131–152. doi : 10.1007/bf01211061アクセスが閉じられたアイコン
  • エウジェニオ・カラビ.いくつかの非線形方程式に対するバーンスタイン問題の例. Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XV (1970), pp. 223–230. Global Analysis. Amer. Math. Soc., Providence, RI doi : 10.1090/pspum/015アクセスが閉じられたアイコン
  • Shiu Yuen ChengとShing Tung Yau.ローレンツ・ミンコフスキー空間における極大空間的超曲面. Ann. of Math. (2) 104 (1976), no. 3, 407–419. doi : 10.2307/1970963アクセスが閉じられたアイコン
  • 小林修. 3次元ミンコフスキー空間L 3における最大曲面.東京数学会誌 6 (1983), no. 2, 297–309. doi : 10.3836/tjm/1270213872無料アクセスアイコン
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