メートル法の外側寸法

数学において、計量外測度とは、与えられた計量空間( X ,  d )の部分集合上で定義される外測度μ であり、

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$

Xの正に分離された部分集合AとBのすべてのペアについて。

メートル法の外部測定の構築

τ : Σ → [0, +∞]を、空集合 ∅ を含むX の部分集合のクラス Σ 上で定義される集合関数とし、τ (∅) = 0とする。

${\displaystyle \mu (E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }(E),}$

どこ

${\displaystyle \mu_{\delta}(E)=\inf\left\{\left.\sum_{i=1}^{\infty}\tau(C_{i})\right|C_{i}\in\Sigma,\operatorname{diam}(C_{i})\leq\delta,\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}\supseteqE\right\},}$

は外部測度であるだけでなく、実際には計量外部測度でもあります。（一部の著者は、δ → 0の極限 ではなく、δ > 0の上限を取ることを好みます。μ δ ( E )_はδ が減少するにつれて増加する ため、2つは同じ結果になります。）

関数τについて は、

${\displaystyle \tau (C)=\operatorname {diam} (C)^{s},\,}$

ここでsは正の定数である。このτはXのすべての部分集合の冪集合上で定義される。カラテオドリの拡張定理により、外測度は完全な測度に昇格することができる。関連する測度μはs次元ハウスドルフ測度である。より一般的には、いわゆる次元関数を用いることができる。

この構成はフラクタル幾何学において非常に重要です。なぜなら、ハウスドルフ測度はこのようにして得られるからです。パッキング測度は表面的には似ていますが、集合を覆うのではなく、集合の中に球を詰め込むという異なる方法で得られます。

メトリック外部測定の特性

μを計量空間( X ,  d )上の計量外部測度とする。

• Xの任意の部分集合列A _n , n  ∈  Nに対して、

${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \dots \subseteq A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n},}$

そして、A _nとA  \  A _{n +1}が正に分離されているとすると、

${\displaystyle \mu (A)=\sup _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n}).}$

• Xのすべてのd閉部分集合Eは、カラテオドリの基準の次のバージョンを満たすという意味でμ測定可能である: A  ⊆  EかつB  ⊆  X  \  Eであるすべての集合AとBに対して、

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)。}$

• その結果、 Xのすべてのボレル部分集合（開集合と閉集合の可算な和集合、積集合、集合論的差として得られるもの）はμ測定可能である。

参考文献

• Rogers, CA (1998).ハウスドルフ測度. Cambridge Mathematical Library (Third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xxx+195. ISBN 0-521-62491-6。