一貫性（公平性）

一貫性[ 1 ]、均一性[ 2 ]、 あるいは一貫性とも呼ばれる[3]は、公平な分割のルールを評価するための基準です。一貫性とは、公平性ルールの結果が、問題全体だけでなく、各部分問題に対しても公平であることを必要とします。公平な分割のあらゆる部分が公平でなければなりません。[ 2 ]

一貫性要件は、配分の文脈において初めて研究されました。この文脈において、一貫性が満たされないことは「ニュー・ステイツ・パラドックス」と呼ばれます。つまり、アメリカ合衆国に新しい州が加盟し、その新しい州に割り当てられる議席数に対応するために下院の議席数が増えると、無関係な他の州が影響を受けるということです。一貫性は、破産問題など、他の公平な分割問題にも関連しています。

意味

割り当てるリソースがあり、 で表されます。これは、例えば、下院の議席数を表す整数とすることができます。このリソースは、複数のエージェント間で割り当てられる必要があります。エージェント は、例えば、連邦州や政党 などです。エージェント はそれぞれ異なる権利を持ち、これはベクトル で表されます。例えば、t i は政党iが獲得した票の割合とすることができます。割り当て は、を持つベクトルです。割り当てルールは、任意の権利ベクトル と権利ベクトルに対して、割り当てベクトル を返すルールです。 h{\displaystyle h}n{\displaystyle n}t1、…、tn{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}1つの1、…、1つのn{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}∑私＝1n1つの私＝h{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}h{\displaystyle h}t1、…、tn{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}1つの1、…、1つのn{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}

割り当てルールがコヒーレント（または均一）であるとは、エージェントのサブセットSごとに、ルールがリソースのサブセットと権利ベクトルに対して有効化され、結果が割り当てベクトル となる場合を指します。つまり、ルールがエージェントのサブセット とそれらが受け取るリソースのサブセット に対して有効化された場合、それらのエージェントに対する結果は同じになります。 hS:=∑私∈S1つの私{\displaystyle h_{S}:=\sum _{i\in S}a_{i}}（t私）私∈S{\displaystyle (t_{i})_{i\in S}}（1つの私）私∈S{\displaystyle (a_{i})_{i\in S}}

同点の扱い

一般に、割り当て規則は複数の割り当てを返すことがあります（同点の場合）。この場合、定義を更新する必要があります。割り当て規則を で表し、 をリソースと資格ベクトルについてが返す割り当てベクトルの集合で表します。すべての割り当てベクトルとエージェントの任意の部分集合Sに対して以下が成り立つ場合、この規則は首尾一貫していると呼ばれます。 [ 3 ]：Sec.4 M{\displaystyle M}M（h;（t私）私＝1n）{\displaystyle M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}}M{\displaystyle M}h{\displaystyle h}t1、…、tn{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}M{\displaystyle M}（1つの私）私＝1n∈M（h;（t私）私＝1n）{\displaystyle (a_{i})_{i=1}^{n}\in M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}}

  • （1つの私）私∈S∈M（∑私∈S1つの私;（t私）私∈S）{\displaystyle (a_{i})_{i\in S}\in M{\Big (}\sum _{i\in S}a_{i};(t_{i})_{i\in S}{\Big )}}つまり、大きな問題に対するあらゆる可能な解決策のあらゆる部分は、部分的な問題に対する可能な解決策でもあるのです。
  • あらゆるおよびに対して、 が成り立ちます。つまり、部分問題に他の（同点の）解が存在する場合、それらの解を部分問題に対する元の解の代わりに用いると、全体問題に対する他の（同点の）解が得られるということです。（b私）私∈S∈M（∑私∈S1つの私;（t私）私∈S）{\displaystyle (b_{i})_{i\in S}\in M{\Big (}\sum _{i\in S}a_{i};(t_{i})_{i\in S}{\Big )}}（c私）私∉S∈M（∑私∉S1つの私;（t私）私∉S）{\displaystyle (c_{i})_{i\notin S}\in M{\Big (}\sum _{i\notin S}a_{i};(t_{i})_{i\notin S}{\Big )}}[（b私）私∈S、（c私）私∉S]∈M（h;（t私）私＝1n）{\displaystyle [(b_{i})_{i\in S},(c_{i})_{i\notin S}]\in M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}}

配分における一貫性

配分問題では、配分すべき資源は離散的であり、例えば議席数などである。したがって、各主体は整数の配分を受けなければならない。

非一貫性手法：新たな国家パラドックス

議会の議席配分に関する最も直感的なルールの 1 つは、最大剰余法(LRM) です。この方法では、権利ベクトルは、権利の合計が(割り当てる議席の総数) と等しくなるように正規化されます。次に、各エージェントは、正規化された権利 (多くの場合、クォータと呼ばれます) を切り捨てて取得します。議席が残っている場合は、最大の剰余 (権利の最大の割合) を持つエージェントに割り当てられます。驚くべきことに、このルールは首尾一貫していません。簡単な例として、アリス、ボブ、チャナの正規化された権利がそれぞれ 0.4、1.35、3.25 であるとします。この場合、LRM によって返される一意の割り当ては1、1、3です(最初の割り当ては 0、1、3 で、余り 0.4 が最大であるアリスに追加の議席が与えられます)。ここで、同じルールをアリスとボブのみに適用し、二人の合計割り当てが2であると仮定します。正規化された権利は、0.4/1.75 × 2 ≈ 0.45と1.35/1.75 × 2 ≈ 1.54になります。したがって、LRMによって返される一意の割り当ては、 1, 1ではなく0, 2になります。つまり、1, 1, 3という全体解において、アリスとボブの間の内分は最大剰余の原則に従わ ず、一貫性がないということです。h{\displaystyle h}h＝5{\displaystyle h=5}

この非一貫性を別の角度から見ると、次のようになります。議席数が2で、州Aと州Bがそれぞれ0.4と1.35の議席割り当てを受けているとします。LRMによって与えられる固有の割り当ては0と2です。ここで、新たに州Cが3.25の議席で連邦に加わります。州Cには3議席が割り当てられ、これらの新しい議席を収容するために議席数が5に増加します。この変更は既存の州Aと州Bには影響を与えないはずです。しかし、LRMでは既存の州が影響を受け、州Aは議席を増やし、州Bは議席を減らします。これは「新州パラドックス」と呼ばれます。

新州パラドックスは、1907年にオクラホマ州が州になった際に実際に観察されました。オクラホマ州には5議席が配分され、その分議席数は386議席から391議席に増加しました。その後、他の州の影響で議席数に変化が生じ、ニューヨーク州は1議席減少し、メイン州は1議席増加しました。[ 4 ] : 232–233 [ 5 ]

一貫した方法

全ての除数法は一貫性があります。これは、ピッキングシーケンスとしての説明から直接導かれます。各反復において、次にアイテムを選択するエージェントは、比率（権利/除数）が最も高いエージェントです。したがって、エージェントのサブセットを考慮した場合でも、エージェント間の相対的な優先順位は同じです。

コヒーレントメソッドの特性

一貫性は他の自然な要件と組み合わされると、構造化された配分方法のクラスを特徴づける。このような特徴づけは、様々な著者によって証明されている。[ 3 ]：第1節 すべての結果は、規則が均質的（つまり、各政党の得票率のみに依存し、総得票数には依存しない）であると仮定している。

破産問題における一貫性

破産問題において、配分すべき資源は連続的であり、例えば債務者が残した金額などです。各主体は資源の任意の一部を取得できます。しかし、権利の合計は通常、残存資源の合計よりも大きくなります。

このような問題を解決するための最も直感的なルールは、各主体が自身の権利に比例した資源の一部を取得する比例ルールである。このルールは確かに首尾一貫したものである。しかし、これが唯一の首尾一貫したルールというわけではない。タルムードにおける争奪服のルールは、首尾一貫した分配ルールへと拡張することができる。[ 1 ]：第4節

臓器配分の一貫性

ほとんどの国では、臓器移植を待つ患者の数は、利用可能な臓器の数をはるかに上回っています。そのため、ほとんどの国では、臓器の割り当て先を何らかの優先順位で決定しています。驚くべきことに、実際に用いられている優先順位の中には、一貫性のないものもあります。例えば、UNOSが過去に用いたルールの一つは、以下の通りです。[ 1 ]：第6条

  • 各患者には、いくつかの医療データに基づいて個人スコアが割り当てられます。
  • 各患者には、自分よりも待ち時間が短かった患者の割合の 10 倍であるボーナスが割り当てられます。
  • エージェントは、スコア + ボーナスの合計によって優先順位が付けられます。

患者A、B、C、Dの個人スコアがそれぞれ16、21、20、23であるとします。また、待機時間はA > B > C > Dの順だとします。したがって、ボーナスはそれぞれ10、7.5、5、2.5となります。したがって、合計は26、28.5、25、25.5となり、優先順位はB > A > D > Cとなります。Bが臓器移植を受けた後、A、C、Dの個人スコアは変わりませんが、ボーナスはそれぞれ10、6.67、3.33となり、合計は26、26.67、26.33となり、優先順位はC > D > Aとなります。これにより、3人のエージェント間の順序が逆転します。

一貫性のある優先順位付けを行うためには、優先順位は個人の特性のみに基づいて決定されるべきである。例えば、ボーナスは患者数の割合ではなく、順番待ちの月数に基づいて計算することができる。[ 11 ]

参照

参考文献

  1. ^ a b c Balinski, Michel (2005-06-01). "What Is Just?" . The American Mathematical Monthly . 112 (6): 502– 511. doi : 10.1080/00029890.2005.11920221 . ISSN  0002-9890 . S2CID  32125041 .
  2. ^ a b c dバリンスキー、ミシェル・L.、ヤング、H.ペイトン（2001）[1982] 「公正な代表：一人一票の理想の実現」ニューヘイブン：イェール大学出版局。ISBN 0-300-02724-9。
  3. ^ a b c Palomares, Antonio; Pukelsheim, Friedrich; Ramírez, Victoriano (2016-09-01). 「全体とその部分：BalinskiとYoungのコヒーレンス定理について」 . Mathematical Social Sciences . 83 : 11–19 . doi : 10.1016/j.mathsocsci.2016.06.001 . ISSN 0165-4896 . 
  4. ^スタイン、ジェームズ・D. (2008). 『数学は世界を説明する：自動車修理から現代物理学まで、数の力へのガイド』ニューヨーク：スミソニアン・ブックス. ISBN 9780061241765。
  5. ^ Caulfield, Michael J. (2010年11月). 「米国議会における代表者の配分 ― 配分のパラドックス」 .コンバージェンス. アメリカ数学会. doi : 10.4169/loci003163 (2025年7月11日現在非アクティブ).{{cite journal}}: CS1 maint: DOIは2025年7月時点で非アクティブです（リンク）
  6. ^ Hylland, Aannud. 「割当法：不可分な実体の比例配分手順」1978年。
  7. ^ Balinski, Michel L.; Rachev, Svetlozar T. (1993-01-01). 「比率の丸め：丸めのルール」 .数値関数解析と最適化. 14 ( 5–6 ): 475–501 . doi : 10.1080/01630569308816535 . ISSN 0163-0563 . 
  8. ^ Michel BalinskyとSvetlozar Rachev (1997). 「四捨五入の比率：四捨五入の方法」 Mathematical Scientist, Volume 22, Issue 1, pages 1–26 . 2021年9月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年9月14日閲覧。
  9. ^ヤング、ペイトンH.（1995年）『公平性：理論と実践』プリンストン大学出版局。
  10. ^ Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Securing System Consistency: Coherence and Paradoxes" , Proportional Representation: Apportionment Methods and Their Applications , Cham: Springer International Publishing, pp.  159– 183, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4、 2021年9月20日閲覧{{citation}}: CS1 maint: ISBNによる作業パラメータ（リンク）。
  11. ^ Fleurbaey, Marc (1997年4月). 「Equity: In Theory and Practice, H. Peyton Young. Princeton University Press, 1994, 238+xvページ」 . Economics & Philosophy . 13 (1): 128– 131. doi : 10.1017/S0266267100004387 . ISSN 1474-0028 . S2CID 145232571 .  
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