偶関数と奇関数

正弦関数とそのすべてのテイラー多項式は奇関数です。

余弦関数とそのすべてのテイラー多項式は偶関数です。

数学において、偶関数とは、その定義域の任意の に対してとなる実関数です。同様に、奇関数とは、その定義域の任意の に対してとなる関数です。 ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle x}$

これらは、各条件を満たすべき乗関数のべき乗の偶奇性から命名されています。つまり、 nが偶数の整数の場合は関数は偶数であり、nが奇数の整数の場合は関数は奇数です。 ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

偶関数とは、グラフがy軸に関して自己対称となる実関数であり、奇関数とは、グラフが原点に関して自己対称となる実関数です。

実関数の定義域が原点に対して自己対称である場合、その関数は偶関数と奇関数の和として一意に分解できます。

初期の歴史

偶関数と奇関数の概念は18世紀初頭にまで遡るものと見られ、レオンハルト・オイラーがその形式化に重要な役割を果たした。オイラーは1727年の著書Traiectoriarum Reciprocarum Solutioで偶関数と奇関数の概念（ラテン語のparesとimparesを使用）を導入した。しかし、オイラー以前にアイザック・ニュートンがプリンキピア（1687年）を執筆した際に冪級数の係数を導く幾何学的手段を既に開発し、またQuadrature of Curvesの初期草稿には代数的手法を含めていたが、1706年の出版前にそれを削除した。また、ニュートンが偶奇分解に明示的に名前を付けたり焦点を当てたりしなかったことも注目に値する。彼の冪級数に関する研究は、偶数と奇数冪に関連する特性の理解に関わるものであったであろう。

定義と例

偶関数と奇関数は、実変数の実数値関数において一般的に考慮されます。しかし、定義域と余定義域の両方に加法逆元の概念を持つ関数については、これらの概念をより一般的に定義できます。これには、アーベル群、すべての環、すべての体、すべてのベクトル空間が含まれます。したがって、例えば実関数は奇関数または偶関数（あるいはどちらでもない）になる可能性があり、ベクトル変数の 複素数関数も同様です。

与えられた例は、グラフの対称性を説明するための実関数です。

偶数関数

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 偶関数の例です。

実関数 fが偶関数であるとは、その定義域の任意のxに対して、−xもまたその定義域に存在し、^{[ 1 ] : p. 11} またはそれと同等の $${\displaystyle f(-x)=f(x)}$$ $${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$$

幾何学的には、偶関数のグラフはy軸に対して対称であり、つまりy軸を中心に反転した後もグラフは変化しません。

偶関数の例は次のとおりです。

• 絶対値${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ 任意の偶数整数${\displaystyle n,}$
• 余弦${\displaystyle \cos ,}$
• 双曲線余弦${\displaystyle \cosh ,}$
• ガウス関数${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}).}$

奇関数

${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ 奇関数の例です。

実関数fが奇関数であるとは、その定義域の任意のxに対して、−xもまたその定義域に存在し、^{[ 1 ]：p.72} または同等の $${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$$ $${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$$

幾何学的には、奇関数のグラフは原点に対して回転対称性を持ちます。つまり、原点を中心に 180度回転してもグラフは変化しません。

が奇関数の定義域内にある場合、 となります。 ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

奇関数の例は次のとおりです。

• 符号関数${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x),}$
• 恒等関数${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ 任意の奇数${\displaystyle n,}$
• ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$ 任意の奇数の正の整数${\displaystyle n,}$
• 正弦${\displaystyle \sin ,}$
• 双曲線正弦${\displaystyle \sinh,}$
• 誤差関数${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+1}$ 偶数でも奇数でもありません。

基本的なプロパティ

ユニークさ

• 関数が偶数かつ奇数の場合、定義されているすべての場所で 0 になります。
• 関数が奇数の場合、その関数の絶対値は偶数関数です。

足し算と引き算

• 2 つの偶関数の和は偶数です。
• 2 つの奇関数の和は奇数です。
• 2 つの奇関数の差は奇数です。
• 2 つの偶関数間の差は偶数です。
• 偶関数と奇関数の和は、指定された定義域で関数の 1 つが 0 にならない限り、偶関数でも奇関数でもありません。

掛け算と割り算

• 2 つの偶関数の積と商は偶関数です。
  • これは、任意の数の偶関数の積も偶数であることを意味します。
  • これは、偶関数の逆数も偶数であることを意味します。
• 2 つの奇関数の積と商は偶関数です。
• 偶関数と奇関数の積と商は奇関数です。
  • これは奇関数の逆数が奇数であることを意味します。

構成

• 2 つの偶関数の合成は偶関数です。
• 2 つの奇関数の合成は奇数です。
• 偶関数と奇関数の合成は偶関数です。
• 任意の関数と偶関数の合成は偶関数です (ただしその逆は成り立ちません)。

逆関数

• 奇関数が逆関数である場合、その逆関数も奇関数になります。

偶奇分解

実関数が原点に関して自己対称な定義域を持つ場合、その関数は、それぞれ関数の偶数部（または偶数成分）と奇数部（または奇数成分）と呼ばれる偶関数と奇数関数の和として一意に分解することができ、 次 のように定義されます。$${\displaystyle f_{\text{even}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},}$$ $${\displaystyle f_{\text{odd}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.}$$

が偶数で、が奇数であり、${\displaystyle f_{\text{even}}}$ ${\displaystyle f_{\text{odd}}}$ ${\displaystyle f=f_{\text{even}}+f_{\text{odd}}.}$

この分解は、

${\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}$

ここでgは偶数、hは奇数なので 、 ${\displaystyle g=f_{\text{even}}}$ ${\displaystyle h=f_{\text{odd}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}}$

例えば、双曲線余弦と双曲線正弦は、前者が偶関数、後者が奇関数であるため、指数関数の偶数部と奇数部とみなすことができます。

${\displaystyle e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{even}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{odd}}(x)}}$ 。

フーリエの正弦変換と余弦変換では、関数の奇数部分を正弦波(奇関数) で表し、関数の偶数部分を余弦波 (偶関数) で 表すことによって、偶奇分解も実行されます。

さらなる代数的性質

• 偶関数の任意の線形結合は偶関数であり、偶関数は実数上のベクトル空間を形成します。同様に、奇関数の任意の線形結合は奇関数であり、奇関数も実数上のベクトル空間を形成します。実際、すべての実関数のベクトル空間は、偶関数と奇関数の部分空間の直和です。これは、前のセクションの性質をより抽象的に表現したものです。
  • この性質や上記の性質のいくつかにより、関数の空間は実数上の次数付き代数とみなすことができます。

• 偶関数は実数上の可換代数を形成します。しかし、奇関数は乗法に関して閉じていないため、実数上の代数を形成しません。

分析特性

関数が奇数か偶数かは、微分可能性や連続性さえも意味しません。例えば、ディリクレ関数は偶数ですが、連続ではありません。

以下では、導関数、フーリエ級数、テイラー級数に関する特性を考慮し、これらの概念は検討対象の関数に対して定義されているものとします。

基本的な解析特性

• 偶関数の導関数は奇関数です。
• 奇関数の導関数は偶数です。
• 奇関数が有界対称区間上で積分可能である場合、その区間上の積分はゼロである。つまり^{[ 2 ]}${\displaystyle [-A,A]}$

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$ 。

  • これは、実数直線全体にわたる奇関数のコーシー主値がゼロであることを意味します。
• 偶関数が有界対称区間上で積分可能である場合、その区間での積分は0からAまでの積分の2倍である。つまり^{[ 3 ]}${\displaystyle [-A,A]}$

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$ 。

  • この特性は、0 から への積分が収束するという条件で、 のときの不定積分にも当てはまります。${\displaystyle A=\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

シリーズ

• 偶関数のマクローリン級数には偶数べき乗のみが含まれます。
• 奇関数のマクローリン級数には奇数べきだけが含まれます。
• 周期的偶関数のフーリエ級数には余弦項のみが含まれます。
• 周期奇関数のフーリエ級数には正弦項のみが含まれます。
• 純粋に実数値の偶関数のフーリエ変換は実数かつ偶数です。（フーリエ解析§対称性特性を参照）
• 純粋に実数値の奇関数のフーリエ変換は虚数かつ奇数である。（フーリエ解析§対称性特性を参照）

倍音

信号処理において、高調波歪みは、正弦波信号がメモリレス非線形システム、すなわち時刻tにおける出力が時刻tにおける入力のみに依存し、それ以前のどの時刻の入力にも依存しないシステムを通過するときに発生する。このようなシステムは応答関数によって記述される。生成される高調波の種類は、応答関数fに依存する。^{[ 4 ]}${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))}$

• 応答関数が偶数の場合、結果の信号は入力正弦波の偶数次高調波のみで構成されます。${\displaystyle 0f,2f,4f,6f,\dots }$
  • 基本音も奇数倍音なので存在しません。
  • 簡単な例としては全波整流器があります。
  • このコンポーネントは、偶数対称伝達関数の片側の性質により、DC オフセットを表します。${\displaystyle 0f}$
• 奇数の場合、結果の信号は入力正弦波の奇数高調波のみで構成されます。${\displaystyle 1f,3f,5f,\dots }$
  • 出力信号は半波対称になります。
  • 簡単な例としては、対称プッシュプル増幅器におけるクリッピングが挙げられます。
• 非対称の場合、結果として得られる信号には偶数次高調波または奇数次高調波のいずれかが含まれることがあります。${\displaystyle 1f,2f,3f,\dots }$
  • 簡単な例としては、半波整流器や非対称クラス A アンプにおけるクリッピングが挙げられます。

これはより複雑な波形には当てはまりません。例えば、のこぎり波は偶数次と奇数次の高調波の両方を含みます。偶数対称全波整流を行うと三角波となり、DCオフセットを除けば奇数次の高調波のみを含みます。

一般化

多変数関数

均一な対称性：

次の場合、関数は対称的であると呼ばれます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

奇妙な対称性:

次の場合、関数は奇対称と呼ばれます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

複素数値関数

実引数の複素数値関数における偶対称性と奇対称性の定義は、実数の場合と同様である。信号処理においては、複素共役を含む同様の対称性が考慮されることがある。^{[ 5 ] [ 6 ]}

共役対称性:

実引数の複素数値関数は、共役対称関数と呼ばれる。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

複素数値関数は、その実部が偶関数であり、その虚部が奇関数である場合にのみ共役対称です。

共役対称関数の典型的な例はシス関数である。

${\displaystyle x\to e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

共役反対称性:

実引数の複素数値関数は、次の場合、共役反対称関数と呼ばれます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

複素数値関数は、その実部が奇関数であり、その虚部が偶関数である場合に限り、共役反対称です。

有限長シーケンス

奇対称性と偶対称性の定義は、N点列（つまり、形式の関数）に次のように拡張される：^{[ 6 ]：p.411} ${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$

均一な対称性：

N点列が共役対称であるとは 、

${\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

このような数列は、しばしば回文数列と呼ばれます。回文多項式も参照してください。

奇妙な対称性:

N点列が共役反対称列と呼ばれるのは 、

${\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

このようなシーケンスは、逆回文シーケンスと呼ばれることもあります。逆回文多項式も参照してください。

参照

• 複素数の一般化のためのエルミート関数
• テイラー級数
• フーリエ級数
• ホルスタイン・ニリング法
• パリティ（物理学）

注記

1. イムダスタン州ゲルファンド;グラゴレバ, EG ;シュノール、EE (1990)。関数とグラフ。ビルクホイザー。ISBN 0-8176-3532-7。
2. W., Weisstein, Eric. 「奇関数」 . mathworld.wolfram.com .
3. W., Weisstein, Eric. 「偶関数」 . mathworld.wolfram.com .
4. Berners, Dave (2005年10月). 「Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics」 . UA WebZine . Universal Audio . 2016年9月22日閲覧.要約すると、関数f(x)が奇数の場合、コサイン波入力は偶数次高調波を生成しません。関数f(x)が偶数の場合、コサイン波入力は奇数次高調波を生成しません（ただし、DC成分を含む場合があります）。関数が奇数でも偶数でもない場合は、すべての高調波が出力に存在する可能性があります。
5. Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999).離散時間信号処理（第2版）. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. p. 55. ISBN 0-13-754920-2。
6. Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996)、デジタル信号処理：原理、アルゴリズム、アプリケーション（第3版）、アッパーサドルリバー、ニュージャージー：Prentice-Hall International、ISBN 9780133942897、sAcfAQAAIAAJ

参考文献

• ゲルファント, イミダミア州;グラゴレバ、EG; Shnol、EE (2002) [1969]、関数とグラフ、ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications