オペレータトポロジ

関数解析の数学的分野には、バナッハ空間 $X$ 上の有界線形作用素の代数 $B($ $X$ $)に与えられる標準的な$ 位相がいくつかあります。

導入

バナッハ空間上の線型作用素の列とします。が上のある作用素に収束するという命題を考えます。これはいくつかの異なる意味を持つ可能性があります。 $(T_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ $X$ $(T_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ $T$ $X$

つまり、の演算子ノルム（の上限、ただしはの単位球上を変動する）がに収束する場合、均一演算子位相においてがであると言えます。 $\|T_{n}-T\|\to 0$ $T_{n}-T$ $\|T_{n}x-Tx\|_{X}$ $x$ $X$ $0$ $T_{n}\to T$
すべてのに対してであれば、強演算子位相においてであると言えます。 $T_{n}x\to Tx$ $x\in X$ $T_{n}\to T$
最後に、の弱位相において、すべてに対してが成り立つと仮定する。これは、上のすべての連続線形汎関数に対してが成り立つことを意味する。この場合、弱作用素位相においてが成り立つと言える。 $x\in X$ $T_{n}x\to Tx$ $X$ $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ $F$ $X$ $T_{n}\to T$

B( H )上の位相のリスト

$B(X)$ 上には、上記で用いたもの以外にも多くの位相が定義できる。そのほとんどは、多くの場合適切な一般化が存在するにもかかわらず、まず $X = H$ がヒルベルト空間である場合にのみ定義される。以下に挙げる位相はすべて局所凸であり、これは半ノルムの族によって定義されることを意味する。

解析学において、位相が開集合を多く含む場合、それは強い位相と呼ばれ、開集合を少なく含む場合、それは弱い位相と呼ばれます。したがって、対応する収束モードはそれぞれ強い収束と弱い収束です。（位相学においては、これらの用語は逆の意味を示唆する可能性があるため、「強い」と「弱い」はそれぞれ「細かい」と「粗い」に置き換えられます。）右の図は、強い位相から弱い位相へと矢印が向いている関係をまとめたものです。

$H が$ ヒルベルト空間であるとき、ヒルベルト空間作用素 $B(X)$ の線型空間には、トレース類作用素からなる（唯一の）前双対が存在します。この前双対において、 $w$ が正であるときの半ノルム $p$ $w$ $($ $x$ $)$ $は$ $、$ $B($ $w$ $,$ $x$ $*$ $x$ $)$ $1/2$ と定義されます。 $B(H)_{*}$

$B がベクトル空間$ $A$ 上の線型写像のベクトル空間である場合、 $σ(A, B)は、$ $B$ のすべての要素が連続するような $A$ 上の最も弱い位相として定義されます。

ノルム位相、ユニフォーム位相、ユニフォーム作用素位相は、 $B($ $H$ $)$ 上の通常のノルム || x ||によって定義されます。これは、以下の他のすべての位相よりも強い位相です。
弱（バナッハ空間）位相は $σ(B(H), B(H) *)$ 、言い換えれば、双対 $B(H) *$ $のすべての元が連続となる最も弱い位相です。これはバナッハ空間B(H)$ 上の弱位相です。これは、超弱位相や弱作用素位相よりも強い位相です。（注意：弱バナッハ空間位相、弱作用素位相、超弱位相はすべて弱位相と呼ばれることがありますが、これらは異なります。）
マッキー位相またはアレンズ-マッキー位相は、双対がB( H $)$ $*$ $であるB(H)$ 上の最も強い局所凸位相であり、 $B(H )$ $*$ $のBσ(B(H) *$ 、 $B$ $(H)$ -コンパクト凸部分集合 $)$ 上の一様収束位相でもある $。$ これは以下のすべての位相よりも強い。
σ-強^*位相または超強^*位相は、超強位相よりも強い位相で、随伴写像が連続となる最も弱い位相である。これは、 $B($ $H$ $)$ $*$ の正元 $wに対する半ノルム$ $p w (x)$ と $p w (x *)$ の族によって定義される。これは、以下のすべての位相よりも強い。
σ-強位相、超強位相、最強位相、最強作用素位相は、 $B$ $($ $H$ $)$ $*$ の正元 $w$ $に対する半ノルムpw (x)$ の族によって定義される。これは、強^*位相を除く以下のすべての位相よりも強い。注意：「最強位相」という名前にもかかわらず、ノルム位相よりも弱い。
σ-弱位相、超弱位相、弱^*演算子位相、弱 * 位相、弱位相、 $σ(B(H), B(H) *$ ) 位相は、 $B($ $H$ $)$ $*$ の元wに対する半ノルム族 |( w , x )|によって定義されます。これは弱演算子位相よりも強い位相です。(注意: 弱バナッハ空間位相、弱演算子位相、超弱位相はすべて弱位相と呼ばれることもありますが、それぞれ異なる位相です。)
強^*作用素位相または強^*位相は、 $h$ $\in$ $H$ に対して半ノルム || x ( h )|| と || x ^* ( h )||によって定義されます。これは、強作用素位相や弱作用素位相よりも強い位相です。
強作用素位相（SOT）または強位相は、 $h$ $\in$ $H$ の半ノルム || x ( h )||によって定義されます。これは弱作用素位相よりも強い位相です。
弱作用素位相( WOT) または弱位相は、 $h$ $1$ $、$ $h$ $2$ $\in$ $H$ の半ノルム |( x ( h ₁ )、h ₂ )|によって定義されます。 (注意: 弱バナッハ空間位相、弱作用素位相、超弱位相はすべて弱位相と呼ばれることもありますが、それぞれ異なる位相です。)

トポロジ間の関係

弱位相、強位相、強^{* （作用素）位相における} $B(H)$ 上の連続線型関数は同じであり、 $h$ $1$ $、$ $h$ $2$ $\in$ $H$ に対する線型関数（x h ₁、h ₂）の有限線型結合である。超弱位相、超強位相、超強^{*位相、Arens-Mackey位相における} $B($ $H$ $)$ 上の連続線型関数は同じであり、前双対 $B($ $H$ $)$ $*$ の元である。

定義により、ノルム位相における連続線型汎関数は、弱バナッハ空間位相における連続線型汎関数と同一である。この双対空間は、多くの病的な要素を含む、かなり大きな空間である。

$B(H)$ のノルム有界集合上では、弱（作用素）位相と超弱位相は一致する。これは例えば、バナッハ・アラオグル定理によって示される。本質的に同じ理由から、超強位相は $B(H)$ の任意の（ノルム）有界部分集合上の強位相と同じである。Arens-Mackey位相、超強^*位相、強^*位相についても同様である。

局所凸空間において、凸集合の閉包は連続線型汎関数によって特徴付けられる。したがって、 $B($ $H$ $)$ の凸部分集合 $Kに対して、$ $K が超強$ ^*位相、超強位相、および超弱位相において閉じているという条件はすべて同値であり、また、すべての $r$ $> 0$ に対して、 $K が強$ ^*位相、強位相、または弱（作用素）位相において半径 $r$ の閉球と閉じた交差を持つという条件とも同値である。

ノルム位相は計量化可能であるが、他の位相は計量化不可能である。実際、それらは第一可算ではない。しかし、 $H$ が可分な場合、上記の位相はすべて、単位球（または任意のノルム有界部分集合）に制限すれば計量化可能である。

使用するトポロジ

最も一般的に用いられる位相は、ノルム作用素位相、強作用素位相、弱作用素位相である。弱作用素位相は、単位球がバナッハ・アラオグル定理によりコンパクトとなるため、コンパクト性の議論に有用である。ノルム位相は、 $B(H)$ をバナッハ空間にするため基本的な位相であるが、多くの用途には強すぎる。例えば、この位相では $B(H)$ は可分ではない。強作用素位相は最も一般的に用いられるであろう。

超弱位相と超強位相は、弱作用素位相や強作用素位相よりも振る舞いが良いが、定義が複雑なため、それらの優れた性質が本当に必要な場合を除いて通常は使用されない。例えば、弱作用素位相や強作用素位相における $B(H)$ の双対空間は小さすぎて、解析的な内容を多く含むことができない。

強作用素位相と超強位相では随伴写像は連続ではないが、強*位相と超強*位相は随伴写像が連続になるように修正されたものである。これらはあまり用いられない。

アレンス・マッキー位相と弱いバナッハ空間位相は比較的まれにしか使用されません。

まとめると、 $B(H)$ 上の本質的な位相は、ノルム位相、超強位相、超弱位相の3つである。弱作用素位相と強作用素位相は、超弱位相と超強位相の便利な近似として広く用いられている。その他の位相は比較的よく知られていない。

参照

有界演算子 – 線形変換の一種
連続線形作用素 – 位相ベクトル空間間の関数
ヒルベルト空間 – 数学におけるベクトル空間の種類
位相の一覧 – 具体的な位相と位相空間の一覧
収束のモード – シーケンスまたはシリーズの性質
ノルム（数学） - ベクトル空間における長さ
線型写像空間上の位相
曖昧な位相
弱収束（ヒルベルト空間） – ヒルベルト空間における収束の種類

参考文献

関数解析、リードとサイモン著、ISBN 0-12-585050-6
作用素環論 I、竹崎正治著（特に第 II.2 章）ISBN 3-540-42248-X