p進L関数

数学において、p進ゼータ関数（ p進L関数）は、リーマンゼータ関数（ L関数）あるいはより一般的にはL関数に類似した関数であるが、その定義域と対象はp進（pは素数）である。例えば、定義域はp進整数Z _p、原始有限p群、あるいはガロア表現のp進族などであり、像はp進数Q _pあるいはその代数的閉包などである。

p進L関数の源は、2 つのタイプのいずれかになる傾向があります。最初の源は、L関数の特殊値のp進補間によるもので、これはTomio KubotaとHeinrich-Wolfgang Leopoldtによって初めてp進L関数の構成 ( Kubota & Leopoldt 1964 ) に用いられました。たとえば、Kubota–Leopoldt は、ベルヌーイ数のクンマー合同式を使用してp進L関数、つまりp進リーマン ゼータ関数ζ _p ( s )を構成しました。この関数の負の奇数の値は、負の奇数のリーマン ゼータ関数の値 (明示的な補正係数を除く) と同じです。このようにして生じるp進L関数は、通常、解析的p進L関数と呼ばれます。p進L関数のもう一つの主な源泉は、岩澤健吉によって初めて発見されたもので、円分体の算術、あるいはもっと一般的には円分体の塔上あるいはもっと一般的な塔上の特定のガロア加群から来ている。このようにして生じるp進L関数は、関係するガロア加群の算術データを符号化するため、典型的には算術p進L関数と呼ばれる。岩澤理論の主予想（現在はバリー・メイザーとアンドリュー・ワイルズによる定理）は、久保田–レオポルドのp進L関数と岩澤理論によって構成される算術類似体が本質的に同じであるという主張である。解析的および算術的p進L関数の両方が構成される（または期待される）より一般的な状況では、それらが一致するという主張は、その状況に対する岩澤理論の主予想と呼ばれる。このような推測は、 L関数の特殊値には算術情報が含まれている という考え方に関する正式な記述を表しています。

ディリクレL関数

ディリクレL関数は、次の 解析接続によって与えられる。

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}}$

負の整数における ディリクレL関数は次のように与えられる。

${\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}}$

ここでB _{n ,χ}は次式で定義される 一般化ベルヌーイ数である。

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}$

χ は導体fを持つディリクレ指標です。

補間を用いた定義

クボタ・レオポルドのp進L関数L _p ( s , χ )は、ディリクレL関数からpにおけるオイラー因子を除いたものを補間する。より正確には、L _p ( s , χ )はp進数sの唯一の連続関数であり、

${\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )}$

正の整数n がp − 1で割り切れる場合 、右辺は通常のディリクレL関数と同じですが、 pにおけるオイラー因子が除去されている点が異なります。そうでなければp進連続とはなりません。右辺の連続性は、クンマー合同式と密接に関連しています。

nがp − 1で割り切れない場合は、 通常はこの条件は成立しない。

${\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})}$

正の整数nに対して。ここで χ はタイヒミュラー指標ω のべき乗でねじれている。

p進測度として見ると

p進L関数は、 p進プロ有限ガロア群上のp進測度（またはp進超関数）と考えることもできる。この観点と、クボタ・レオポルドの元々の観点（Z _p上のQ _p値関数として）との間の変換は、マズール・メリン変換（および類体論）を介して行われる。

完全に現実のフィールド

Deligne & Ribet (1980) は、 Serre (1973)の前研究を基に、全実体に対する解析的p進L関数を構築した。Barsky (1978)とCassou-Noguès (1979)も独立に同様の研究を行ったが、彼らのアプローチはL値の研究における新谷卓郎のアプローチを踏襲していた。

参考文献

• Barsky、Daniel (1978)、「Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels」、Amice、Y. ;バースキー、D. Robba, P. (編)、Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78)、vol. 16、パリ: 事務局数学、ISBN 978-2-85926-266-2、MR  0525346
• Cassou-Noguès、Pierrette (1979)、「Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques」、Inventiones Mathematicae、51 (1): 29–59、Bibcode : 1979InMat..51...29C、doi : 10.1007/BF01389911、ISSN  0020-9910、MR  0524276
• コーツ、ジョン（1989）「p進L関数について」、アステリスク（177）：33– 59、ISSN  0303-1179、MR  1040567
• Colmez, Pierre (2004), Fontaine 環と p 進 L 関数(PDF)、2012 年 3 月 11 日にオリジナル(PDF)からアーカイブ、2011 年 5 月 12 日に取得
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• 岩沢健吉 (1969)、「p進L関数について」、Annals of Mathematics、第2集、89 (1)、Annals of Mathematics: 198– 205、doi : 10.2307/1970817、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970817、MR  0269627
• 岩沢健吉（1972）『p進L関数講義』プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08112-0、MR  0360526
• Katz, Nicholas M. (1975), 「楕円曲線のモジュライによるp進L関数」, 代数幾何学, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 29, Providence, RI: American Mathematical Society , pp.  479– 506, MR  0432649
• コブリッツ、ニール（1984）、p進数、p進解析、ゼータ関数、大学院数学テキスト、第58巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-96017-3、MR  0754003
• 久保田 富雄; Leopoldt、Heinrich-Wolfgang (1964)、「Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、214/215: 328–339、doi : 10.1515/crll.1964.214-215.328、ISSN  0075-4102、MR  0163900
• Serre, Jean-Pierre (1973)、「Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques」、ウィレム、クイクにて。Serre、Jean-Pierre (編)、1 変数のモジュラー関数、III (Proc. Internat. Summer School、Univ. Antwerp、1972)、Lecture Notes in Math、vol. 350、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp.  191–268、doi : 10.1007/978-3-540-37802-0_4、ISBN 978-3-540-06483-1、MR  0404145