パドヴァン配列

数論において、パドヴァン数列は初期値によって 定義される整数P ( n )の列である[ 1 ] 。

P（0）＝P（1）＝P（2）＝1、{\displaystyle P(0)=P(1)=P(2)=1,}

そして再帰関係

P（n）＝P（n−2）+P（n−3）。{\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}

P ( n ) の最初のいくつかの値は

1、1、1、2、2、3、4、5、7、9、12、16、21、28、37、49、65、86、114、151、200、265、...（OEISのシーケンスA000931）
パドヴァン数列に従う辺の長さを持つ正三角形の螺旋。

パドヴァン数列は、リチャード・パドヴァンにちなんで名付けられました。彼は1994年のエッセイ「ドム・ハンス・ファン・デル・ラーン：現代の原始人」の中で、この数列の発見者はオランダの建築家ハンス・ファン・デル・ラーンであると述べています。[ 2 ]この数列は、イアン・スチュワートが1996年6月にサイエンティフィック・アメリカン誌のコラム「数学的レクリエーション」で解説しました。 [ 3 ]彼はまた、著書「数学ヒステリア：数学の楽しいゲーム」でもこの数列について書いています。 [ 4 ]

上記の定義は、イアン・スチュワートとMathWorldによって与えられたものです。他の情報源では、シーケンスの開始位置が異なる場合があります。その場合、この記事の恒等式の一部は適切なオフセットで調整する必要があります。

再帰関係

螺旋では、各三角形が他の2つの三角形と1つの辺を共有しており、パドヴァン数列が再帰関係も満たしていることを視覚的に証明している。

P（n）＝P（n−1）+P（n−5）{\displaystyle P(n)=P(n-1)+P(n-5)}

これを出発点として、定義的再帰と他の再帰が発見されるにつれて、繰り返し置き換えていくことで無限の数の再帰を作り出すことができる。P（メートル）{\displaystyle P(m)}P（メートル−2）+P（メートル−3）{\displaystyle P(m-2)+P(m-3)}

ペラン列は初期値が異なりますが、パドヴァン列と同じ再帰関係を満たします。

ペラン配列は、次の式によってパドヴァン配列から得ることができます。

Perr私n（n）＝P（n+1）+P（n−10）。{\displaystyle \mathrm {ペリン} (n)=P(n+1)+P(n-10).\,}

負のパラメータへの拡張

再帰関係によって定義される任意の数列と同様に、m <0のパドヴァン数P ( m )は、再帰関係を次のように書き直すことによって定義できる。

P（メートル）＝P（メートル+3）−P（メートル+1）、{\displaystyle P(m)=P(m+3)-P(m+1),}

m = −1から始めて逆順にP ( m )を負のインデックスに拡張します。

P −20P −19P −18P −17P −16P −15P −14P −13P −12P −11P −10P −9P −8P −7P −6P −5P −4P −3P −2P −1P 0P1​P2​
7 −7 4 0 −3 4 −3 1 1 −2 2 −1 0 1 −1 1 0 0 1 0 1 1 1

項の和

パドヴァン数列の最初のn項の和はP ( n  +5)より2小さい。つまり、

∑メートル＝0nP（メートル）＝P（n+5）−2.{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)=P(n+5)-2.}

交互の項の和、3 つ目の項ごとの和、および 5 つ目の項ごとの和も、シーケンス内の他の項と関連しています。

∑メートル＝0nP（2メートル）＝P（2n+3）−1{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(2m)=P(2n+3)-1}OEIS :  A077855
∑メートル＝0nP（2メートル+1）＝P（2n+4）−1{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(2m+1)=P(2n+4)-1}
∑メートル＝0nP（3メートル）＝P（3n+2）{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(3m)=P(3n+2)}OEIS :  A034943
∑メートル＝0nP（3メートル+1）＝P（3n+3）−1{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(3m+1)=P(3n+3)-1}
∑メートル＝0nP（3メートル+2）＝P（3n+4）−1{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(3m+2)=P(3n+4)-1}
∑メートル＝0nP（5メートル）＝P（5n+1）。{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(5m)=P(5n+1).}OEIS :  A012772

パドヴァン数列の項の積を含む和は、次の恒等式を満たします。

∑メートル＝0nP（メートル）2＝P（n+2）2−P（n−1）2−P（n−3）2{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)^{2}=P(n+2)^{2}-P(n-1)^{2}-P(n-3)^{2}}
∑メートル＝0nP（メートル）2P（メートル+1）＝P（n）P（n+1）P（n+2）{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)^{2}P(m+1)=P(n)P(n+1)P(n+2)}
∑メートル＝0nP（メートル）P（メートル+2）＝P（n+2）P（n+3）−1.{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)P(m+2)=P(n+2)P(n+3)-1.}

その他のアイデンティティ

パドヴァン列も恒等式を満たす

P（n）2−P（n+1）P（n−1）＝P（−n−7）。{\displaystyle P(n)^{2}-P(n+1)P(n-1)=P(-n-7).\,}

パドヴァン数列は、次の恒等式によって 二項係数の和と関連しています。

P（け−2）＝∑2メートル+n＝け（メートルn）＝∑メートル＝⌈け/3⌉⌊け/2⌋（メートルけ−2メートル）。{\displaystyle P(k-2)=\sum _{2m+n=k}{m \choose n}=\sum _{m=\lceil k/3\rceil }^{\lfloor k/2\rfloor }{m \choose k-2m}.}

たとえば、k = 12の場合、 2 m  +  n = 12で非ゼロの二項係数を与える( m、  n )のペアの値は(6, 0)、(5, 2)、(4, 4)であり、次のようになります。

（60）+（52）+（44）＝1+10+1＝12＝P（10）。{\displaystyle {6 \choose 0}+{5 \choose 2}+{4 \choose 4}=1+10+1=12=P(10).\,}

ビネ式のような式

辺の比が1/ ρの三角形は閉じた螺旋を形成する

パドヴァン数列は、方程式の根の累乗で表すことができる[ 1 ]。

×3−×−1＝0。{\displaystyle x^{3}-x-1=0.\,}

この方程式には3つの根があります。1つは実根p （塑性比として知られています）で、もう1つは複素共役根qとrです。[ 5 ]これらの3つの根を考えると、パドヴァン数列はp、q、rを含む式で表すことができます 。

P（n）＝1つのpn+bqn+crn{\displaystyle P(n)=ap^{n}+bq^{n}+cr^{n}}

ここでa、b、cは定数である。[ 1 ]

複素根qとrの絶対値は両方とも 1 未満であるため(したがってpはピソット・ヴィジャヤラガヴァン数)、これらの根のべき乗はnが大きい場合に 0 に近づき、ゼロに近づきます。 P（n）−1つのpn{\displaystyle P(n)-ap^{n}}

すべての に対して、P ( n ) は に最も近い整数です。実際、は上記の定数aの値であり、bとc はそれぞれp をqとrに置き換えることで得られます。 n≥0{\displaystyle n\geq 0}p52p+3pn{\displaystyle {\frac {p^{5}}{2p+3}}p^{n}}p52p+3{\displaystyle {\frac {p^{5}}{2p+3}}}

パドヴァン数列における連続する項の比はpに近づき、その値は約1.324718です。この定数は、黄金比とフィボナッチ数列の関係と同様に、パドヴァン数列およびペラン数列との関係にあります。

組み合わせ解釈

  • P ( n ) は、 n  + 2 を各項が2または3となる順序和として表す方法の数（すなわち、 n + 2の各項が2または3となる合成の数 ）である。例えば、P (6) = 4 であり、8 を2と3の順序和として表す方法は4通りある。
2 + 2 + 2 + 2 ; 2 + 3 + 3 ; 3 + 2 + 3 ; 3 + 3 + 2
  • n をどの項も 2 としない順序和として表す方法はP (2 n  − 2) 通りあります。例えばP (6) = 4 であり、4 をどの項も 2 としない順序和として表す方法は 4 通りあります。
4 ; 1 + 3 ; 3 + 1 ; 1 + 1 + 1 + 1
  • n を、どの項も 2 でない回文順序和として表す方法はP ( n ) 通りあります。例えば、P (6) = 4 であり、6 をどの項も 2 でない回文順序和として表す方法は 4 通りあります。
6 ; 3 + 3 ; 1 + 4 + 1 ; 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
  • n を各項が奇数かつ1より大きい順序和として表す方法はP ( n  − 5) 通りである。例えば、P (6) = 4 であり、11 を各項が奇数かつ1より大きい順序和として表す方法は4通りある。
11 ; 5 + 3 + 3 ; 3 + 5 + 3 ; 3 + 3 + 5
  • n を、各項が 2 mod 3 と合同となる順序和で表す場合の書き方はP ( n − 4 )通りである 。例えばP (6) = 4 であり、10 を、各項が 2 mod 3 と合同となる順序和で表す場合の書き方は 4 通りある。
8 + 2 ; 2 + 8 ; 5 + 5 ; 2 + 2 + 2 + 2 + 2

母関数

パドヴァン数列の 生成関数は

G（P（n）;×）＝1+×1−×2−×3。{\displaystyle G(P(n);x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.}}

これは、次のような 幾何学的項を含むパドヴァン数列の積を含む恒等式を証明するために使用できます。

∑n＝0∞P（n）2n＝125。{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {P(n)}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.}
∑n＝0∞P（n）αn＝α2（α+1）α3−α−1。{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {P(n)}{\alpha ^{n}}}={\frac {\alpha ^{2}(\alpha +1)}{\alpha ^{3}-\alpha -1}}.}

一般化

フィボナッチ数がフィボナッチ多項式 と呼ばれる多項式の集合に一般化できるのと同様に、パドバン数列数もパドバン多項式に一般化できます。

パドヴァンLシステム

次のような簡単な文法を定義します。

変数 ：ABC
定数 : なし
開始  ：A
ルール  ：（A → B）、（B → C）、（C → AB）

このリンデンマイヤー システムまたはL システムは、次の文字列のシーケンスを生成します。

n = 0 : A
n = 1 : B
n = 2 : C
n = 3 : AB
n = 4 : 紀元前
n = 5 : CAB
n = 6 : ABBC
n = 7 : BCCAB
n = 8 : CABABBC

各文字列の長さを数えると、パドヴァン数が得られます。

1、1、1、2、2、3、4、5、...

また、各文字列に含まれるA、B、Cの数を数えると、 n番目の文字列にはP ( n  −5)個のA、P ( n  −3)個のB、P ( n  −4)個のCが存在します。BBペアとCCペアの数もパドヴァン数です。

直方体螺旋

螺旋は、3次元の直方体集合の頂点同士を結ぶことで形成されます。これはパドヴァン直方体螺旋です。この螺旋の各辺の長さは、パドヴァン数に2の平方根を掛けた値となります。

パスカルの三角形

アーヴ・ウィルソンは論文「メルー山の天秤」[ 6 ]の中でパスカルの三角形の特定の対角線（図参照）に注目し、1993年に紙に描きました。パドヴァン数は1994年に発見されました。ポール・バリー（2004）はこれらの対角線が対角線の数を足し合わせることでパドヴァン数列を生成することを発見しました。[ 7 ]

参考文献

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W. 「Padovan Sequence」 . MathWorld .。
  2. ^リチャード・パドヴァン。ドム・ハンス・ファン・デル・ラーン: モダン・プリミティブ: Architectura & Natura Press、 ISBN 9789071570407。
  3. ^イアン・スチュワート、「無視された数字の物語」、サイエンティフィック・アメリカン、第6号、1996年6月、92-93ページ。
  4. ^イアン・スチュワート（2004年）、数学ヒステリー：数学の楽しみとゲーム、オックスフォード大学出版局、p.87、ISBN 978-0-19-861336-7。
  5. ^ Richard Padovan、「Dom Hans Van Der LaanとPlastic Number」、Wayback Machineに2020年12月26日にアーカイブ、pp. 181-193 in Nexus IV: Architecture and Mathematics、編集： Kim Williams、Jose Francisco Rodrigues、Fucecchio（フィレンツェ）：Kim Williams Books、2002年。
  6. ^アーヴ・ウィルソン（1993年）『メルー山のスケール』
  7. ^ Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA000931」 .整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.2004年7月6日、ポール・バリーによる公式を参照
  • イアン・スチュワート、「コンピュータによるデート（フィードバック）ガイド」、サイエンティフィック・アメリカン、第275巻、第5号、1996年11月、118ページ。
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