積の法則の証明の幾何学的図解[ 1 ] 微積分学 において、積の法則 （ライプニッツの法則 [ 2 ] ライプニッツの積の法則 ）は、2つ以上の関数の 積の導関数を 求める公式である。2つの関数の場合、ラグランジュの記法 では次のように、ライプニッツの記法 では次のように表される。（ あなた ⋅ v ） ′ ＝ あなた ′ ⋅ v + あなた ⋅ v ′ {\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'} d d × （ あなた ⋅ v ） ＝ d あなた d × ⋅ v + あなた ⋅ d v d × 。 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.}
この規則は、3 つ以上の関数の積、積の高次導関数の規則、およびその他のコンテキストに拡張または一般化できます。
発見 この規則の発見者はゴットフリート・ライプニッツ とされ、彼はこれを「無限小」 （現代の 微分法 の前身）を用いて証明した。[ 3 ] [ 4 ] これはアイザック・バロー によるものだと主張している。）ライプニッツの主張は以下の通りである。[ 5 ] vを 関数とする。するとd(uv)は 2つの連続する uv の差と同じになる。つまり、これらのうちの1つをuv 、もう1つをu+du × v+dv とすると、次のようになる。 d （ あなた ⋅ v ） ＝ （ あなた + d あなた ） ⋅ （ v + d v ） − あなた ⋅ v ＝ あなた ⋅ d v + v ⋅ d あなた + d あなた ⋅ d v 。 {\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}
du · dv という項は（ du とdv と比較して） 「無視できる」ので、ライプニッツは、これはまさに積の法則の微分形式であると結論付けました。これを微分dx で割ると、 ラグランジュ記法 では次のよう に表すことができます。d （ あなた ⋅ v ） ＝ v ⋅ d あなた + あなた ⋅ d v {\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv} d d × （ あなた ⋅ v ） ＝ v ⋅ d あなた d × + あなた ⋅ d v d × {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}} （ あなた ⋅ v ） ′ ＝ v ⋅ あなた ′ + あなた ⋅ v ′ 。 {\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}
初版 ライプニッツとニュートンはどちらも、現代の基準からすると 厳密で はない証明 を与えた。ライプニッツは「無限に小さな量 」を用いて推論し、積を長方形 の面積 と解釈したのに対し、ニュートンは「流れる量 」を用いて推論した。[ 6 ] [ 7 ]
例 積の法則を使って微分したいとします。すると、導関数が得られます( の導関数はであり、正弦 関数の導関数は余弦関数であるため)。f （ × ） ＝ × 2 罪 （ × ） 。 {\displaystyle f(x)=x^{2}{\text{sin}}(x).} f ′ （ × ） ＝ 2 × ⋅ 罪 （ × ） + × 2 コス （ × ） {\displaystyle f'(x)=2x\cdot {\text{sin}}(x)+x^{2}{\text{cos}}(x)} × 2 {\displaystyle x^{2}} 2 × 、 {\displaystyle 2x,} 積の法則の特殊なケースの一つに定数倍則 があります。これは、c が数で、が微分可能な関数であるならば、も微分可能であり、その導関数は である、というものです。これは、任意の定数の導関数がゼロであることから、積の法則から導かれます。これを導関数の和の法則と組み合わせると、微分は線形である ことがわかります。f （ × ） {\displaystyle f(x)} c ⋅ f （ × ） {\displaystyle c\cdot f(x)} （ c f ） ′ （ × ） ＝ c ⋅ f ′ （ × ） 。 {\displaystyle (cf)'(x)=c\cdot f'(x).} 部分積分 の規則は積の規則から導き出され、商の規則（の弱いバージョン）も同様です。（商が微分可能であることを証明するのではなく、微分可能である 場合 の導関数が何であるかを示すという点で、「弱い」バージョンです。）
証明
微分の極限定義 h ( x ) = f ( x ) g ( x )f とg はそれぞれx で微分可能であると仮定します。hが x で微分可能であり、その導関数h ′ ( x )がf ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x )f （ × ） グラム （ × + Δ × ） − f （ × ） グラム （ × + Δ × ） {\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)} h ′ （ × ） ＝ リム Δ × → 0 h （ × + Δ × ） − h （ × ） Δ × ＝ リム Δ × → 0 f （ × + Δ × ） グラム （ × + Δ × ） − f （ × ） グラム （ × ） Δ × ＝ リム Δ × → 0 f （ × + Δ × ） グラム （ × + Δ × ） − f （ × ） グラム （ × + Δ × ） + f （ × ） グラム （ × + Δ × ） − f （ × ） グラム （ × ） Δ × ＝ リム Δ × → 0 [ f （ × + Δ × ） − f （ × ） ] ⋅ グラム （ × + Δ × ） + f （ × ） ⋅ [ グラム （ × + Δ × ） − グラム （ × ） ] Δ × ＝ リム Δ × → 0 f （ × + Δ × ） − f （ × ） Δ × ⋅ リム Δ × → 0 グラム （ × + Δ × ） + リム Δ × → 0 f （ × ） ⋅ リム Δ × → 0 グラム （ × + Δ × ） − グラム （ × ） Δ × ＝ f ′ （ × ） グラム （ × ） + f （ × ） グラム ′ （ × ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}} lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) = g ( x ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}
線形近似 定義により、が で微分可能であれば、次のように線形近似 できます。 およびで、誤差項はh に関して小さい値を持ちます。つまり、とも表記されます 。次に、次の 式が成り立ちます。 「誤差項」は、やなどの項目で構成され、大きさは容易にわかります。で割っての極限値を取ると、という結果になります。 f , g : R → R {\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } x {\displaystyle x} f ( x + h ) = f ( x ) + f ′ ( x ) h + ε 1 ( h ) {\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)} g ( x + h ) = g ( x ) + g ′ ( x ) h + ε 2 ( h ) , {\displaystyle g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),} lim h → 0 ε 1 ( h ) h = lim h → 0 ε 2 ( h ) h = 0 , {\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,} ε 1 , ε 2 ∼ o ( h ) {\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)} f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) = ( f ( x ) + f ′ ( x ) h + ε 1 ( h ) ) ( g ( x ) + g ′ ( x ) h + ε 2 ( h ) ) − f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) + f ′ ( x ) g ( x ) h + f ( x ) g ′ ( x ) h − f ( x ) g ( x ) + error terms = f ′ ( x ) g ( x ) h + f ( x ) g ′ ( x ) h + o ( h ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}} f ( x ) ε 2 ( h ) , f ′ ( x ) g ′ ( x ) h 2 {\displaystyle f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}} h f ′ ( x ) ε 1 ( h ) {\displaystyle hf'(x)\varepsilon _{1}(h)} o ( h ) . {\displaystyle o(h).} h {\displaystyle h} h → 0 {\displaystyle h\to 0}
四分の一正方形 この証明では、連鎖律 と導関数 を持つ1/4平方関数 を用いています。以下の式が成り立ち 、両辺を微分すると以下の式が得られます。 q ( x ) = 1 4 x 2 {\displaystyle q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}} q ′ ( x ) = 1 2 x {\displaystyle q'(x)={\tfrac {1}{2}}x} u v = q ( u + v ) − q ( u − v ) , {\displaystyle uv=q(u+v)-q(u-v),} f ′ = q ′ ( u + v ) ( u ′ + v ′ ) − q ′ ( u − v ) ( u ′ − v ′ ) = ( 1 2 ( u + v ) ( u ′ + v ′ ) ) − ( 1 2 ( u − v ) ( u ′ − v ′ ) ) = 1 2 ( u u ′ + v u ′ + u v ′ + v v ′ ) − 1 2 ( u u ′ − v u ′ − u v ′ + v v ′ ) = v u ′ + u v ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}
多変数連鎖律 積の法則は、乗算関数に適用された、複数の変数に対する連鎖律 の特殊なケースと考えることができます。 m ( u , v ) = u v {\displaystyle m(u,v)=uv} d ( u v ) d x = ∂ ( u v ) ∂ u d u d x + ∂ ( u v ) ∂ v d v d x = v d u d x + u d v d x . {\displaystyle {d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.}
非標準分析 u とvを x の連続関数とし、dx 、du 、dvを 非標準解析 の枠組みにおける無限小 、具体的には超実数 とします。有限の 超実数に無限に近い実数を 関連付ける標準部分関数 を st で表すと、次の式が得られます。 これは本質的に、（上記の標準部分の代わりに） 超越的同次法則を利用した ライプニッツ の証明です。d ( u v ) d x = st ( ( u + d u ) ( v + d v ) − u v d x ) = st ( u v + u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v − u v d x ) = st ( u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v d x ) = st ( u d v d x + ( v + d v ) d u d x ) = u d v d x + v d u d x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}
滑らかな微小解析 ローヴェアの無限小数へのアプローチの文脈において、 を二乗無限小数とします。すると となり、 と なるので、で割るとまたはとなります。 d x {\displaystyle dx} d u = u ′ d x {\displaystyle du=u'\ dx} d v = v ′ d x {\displaystyle dv=v'\ dx} d ( u v ) = ( u + d u ) ( v + d v ) − u v = u v + u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v − u v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v = u ⋅ d v + v ⋅ d u {\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}} d u d v = u ′ v ′ ( d x ) 2 = 0. {\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.} d x {\displaystyle dx} d ( u v ) d x = u d v d x + v d u d x {\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}} ( u v ) ′ = u ⋅ v ′ + v ⋅ u ′ {\displaystyle (uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'}
対数微分 とします。各関数の絶対値 と方程式の両辺の 自然対数 をとり、 絶対値と対数の性質を適用し、 両辺の対数微分 をとってを解きます。 を解き、 を代入すると次のようになります。 注：対数は正の引数に対してのみ実数値 となるため、負の値を持つ可能性のある関数の対数微分 には、関数の絶対値を取ることが必要です。これは であるため、対数微分において関数の絶対値を取ることが正当化されるからです。 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle h(x)=f(x)g(x)} ln | h ( x ) | = ln | f ( x ) g ( x ) | {\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|} ln | h ( x ) | = ln | f ( x ) | + ln | g ( x ) | {\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|} h ′ ( x ) {\displaystyle h'(x)} h ′ ( x ) h ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) + g ′ ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}} h ′ ( x ) {\displaystyle h'(x)} f ( x ) g ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)} h ( x ) {\displaystyle h(x)} h ′ ( x ) = h ( x ) ( f ′ ( x ) f ( x ) + g ′ ( x ) g ( x ) ) = f ( x ) g ( x ) ( f ′ ( x ) f ( x ) + g ′ ( x ) g ( x ) ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}} d d x ( ln | u | ) = u ′ u {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}
一般化
2つ以上の因数の積 積の法則は2つ以上の因数の積にも一般化できる。例えば、3因数の積については、 関数の集合については、 d ( u v w ) d x = d u d x v w + u d v d x w + u v d w d x . {\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.} f 1 , … , f k {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}} d d x [ ∏ i = 1 k f i ( x ) ] = ∑ i = 1 k ( ( d d x f i ( x ) ) ∏ j = 1 , j ≠ i k f j ( x ) ) = ( ∏ i = 1 k f i ( x ) ) ( ∑ i = 1 k f i ′ ( x ) f i ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}
対数微分は、 最後の形式のより簡単な表現と、再帰を 伴わない直接的な証明を提供する。 関数fの 対数微分（ここでは Logder( f ) と表記）は、関数の 対数 の微分である。したがって 、積の対数は因数の対数の和であることを用いると、微分和則は 直ちに次式を与える。積 の微分の最後の式は、この式の両項に次の積を乗じることによって得られる。Logder ( f ) = f ′ f . {\displaystyle \operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.} Logder ( f 1 ⋯ f k ) = ∑ i = 1 k Logder ( f i ) . {\displaystyle \operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).} f i . {\displaystyle f_{i}.}
高階微分 これは、二項定理 に従って記号的に展開することにより、2つの因子の積のn 次導関数に対する一般的なライプニッツの定理 に一般化することもできます。 d n ( u v ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ⋅ d ( n − k ) ( u ) ⋅ d ( k ) ( v ) . {\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}
上記の式を 特定の点xに適用すると、次のようになります。 ( u v ) ( n ) ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ⋅ u ( n − k ) ( x ) ⋅ v ( k ) ( x ) . {\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}
さらに、任意の数の因子のn次導関数については、 多項式係数 を持つ同様の式が得られます。 ( ∏ i = 1 k f i ) ( n ) = ∑ j 1 + j 2 + ⋯ + j k = n ( n j 1 , j 2 , … , j k ) ∏ i = 1 k f i ( j i ) . {\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}
高次の偏微分 偏微分 については、[ 8 ] Sは {1, ..., n } の2n個 の 部分 集合すべてに通っており、| S |は S の濃度 である。例えばn = 3の とき、 ∂ n ∂ x 1 ⋯ ∂ x n ( u v ) = ∑ S ∂ | S | u ∏ i ∈ S ∂ x i ⋅ ∂ n − | S | v ∏ i ∉ S ∂ x i {\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}} ∂ 3 ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ( u v ) = u ⋅ ∂ 3 v ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 1 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 2 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 1 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 3 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 1 ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 2 ⋅ ∂ v ∂ x 3 + ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 3 ⋅ ∂ v ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 ∂ x 3 ⋅ ∂ v ∂ x 1 + ∂ 3 u ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ⋅ v . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}
バナッハ空間 X , Y , Z がバナッハ空間（ ユークリッド空間 を含む）であり、 B : X × Y → Zが 連続 双線型作用素 であるとする。このときBは微分可能であり、 X × Y の点 ( x , y ) におけるその導関数は、次式で与えられる 線型写像 D ( x , y ) B : X × Y → Z となる。( D ( x , y ) B ) ( u , v ) = B ( u , y ) + B ( x , v ) ∀ ( u , v ) ∈ X × Y . {\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}
この結果は[ 9 ]
ベクトル計算では 積の法則はベクトル関数の様々な積演算に拡張される：[ 10 ] R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
スカラー乗算 の場合：( f ⋅ g ) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ {\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '} ドット積 の場合:( f ⋅ g ) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ {\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '} 上のベクトル関数の外積 の場合:R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ( f × g ) ′ = f ′ × g + f × g ′ {\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '} 微分の他の類似物にも類似物があります。f と g がスカラー場の場合、 勾配 との 積の法則があります。 ∇ ( f ⋅ g ) = ∇ f ⋅ g + f ⋅ ∇ g {\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}
このような規則は、任意の連続双線型積演算に対して成り立ちます。B : X × Y → Z をベクトル 空間間の連続双線型写像とし、f とgをそれぞれ X とY への微分可能関数とします。微分の極限定義 を用いた証明で使用される乗法の唯一の性質は、乗法が連続かつ双線型であるということです。したがって、任意の連続双線型演算に対して、 これはバナッハ空間 における双線型写像の積法則の特別な場合でもあります。 H ( f , g ) ′ = H ( f ′ , g ) + H ( f , g ′ ) . {\displaystyle H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').}
抽象代数学と微分幾何学における微分 抽象代数学 において、積の法則は微分 を定義する性質です。この用語では、積の法則は、微分演算子が関数の微分であることを述べています。
微分幾何学 では、点pにおける 多様体 M の接ベクトルは、 p における方向微分 のように振舞う実数値関数の演算子、つまり、微分である線型汎関数 v として抽象的に定義できます。 ベクトル解析の公式をn 次元多様体M に一般化 (および双対化)すると、と表記される次数k およびlの 微分形式を 、くさびまたは外積 演算および外微分 とともに取ることができます。すると、次数付きライプニッツ規則 が得られます。v ( f g ) = v ( f ) g ( p ) + f ( p ) v ( g ) . {\displaystyle v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).} α ∈ Ω k ( M ) , β ∈ Ω ℓ ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)} α ∧ β ∈ Ω k + ℓ ( M ) {\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)} d : Ω m ( M ) → Ω m + 1 ( M ) {\displaystyle d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)} d ( α ∧ β ) = d α ∧ β + ( − 1 ) k α ∧ d β . {\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}
アプリケーション 積の法則の応用例の 1 つに、 n が正の整数の 場合の証明があります (この法則は、 n が 正でない場合や整数でない場合にも成り立ちますが、その証明は他の方法に頼る必要があります)。この証明は、指数nについて 数学的帰納法 によります。n = 0の場合、 x n は nx n − 1 = 0 です。定数関数の導関数は 0 であるため、この法則はこの場合に成立します。この法則が任意の特定の指数n について成立する場合、次の値n + 1 について、次の式が得られます。 したがって、この命題がn について成立する場合、 n + 1についても成立し 、したがってすべての自然数n について成立します。 d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}} d x n + 1 d x = d d x ( x n ⋅ x ) = x d d x x n + x n d d x x (the product rule is used here) = x ( n x n − 1 ) + x n ⋅ 1 (the induction hypothesis is used here) = ( n + 1 ) x n . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(the product rule is used here)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(the induction hypothesis is used here)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}}
参照 積分の微分 – 平均値積分の微分の問題三角関数の微分 – 三角関数の導関数を求める数学的プロセス微分法則 – 関数の微分を計算するための規則分布（数学） - 関数の概念の一般化Pages displaying short descriptions of redirect targets 一般ライプニッツ則 – 微積分における積分則の一般化部分積分 – 微積分における数学的手法逆関数と微分 – 逆関数の微分の公式Pages displaying short descriptions of redirect targets 微分の線形性 – 微積分の性質べき乗則 – 単項多項式を微分する方法商の法則 – 関数の比の微分公式導関数表 – 関数の導関数を計算するための規則Pages displaying short descriptions of redirect targets ベクトル解析の恒等式 – 数学的恒等式
参考文献 
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42713fad94de8214d7838f3c1eee4f5e5f031451)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)hf(x)g(x)+{\text{誤差項}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e9f377df3a5a297b3608f8b2b4914c276d2621)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(uv)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(uv)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e6e0b2a3e40cc63d2008a010e62de5b3e98105)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a940fffdeb3b6d08c599ce4f164b33899794eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3513cff1dd38d9962661ce99f489a5baea16547)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(ここでは積の法則を用いる)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(ここでは帰納法の仮説を用いる)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7d3307afc1e7f372b2d0a6d67af71978d22fdf)
