森田等価性

抽象代数学において、森田同値性は環間に定義される関係であり、環論的性質の多くを保存します。より正確には、二つの環R , Sは、それらの加群の圏が加法的に同値である（^{[ a ]}と表記される）とき、森田同値（ と表記される）です。^{[ 2 ]}これは、1958年に同値性と類似の概念である双対性を定義した日本の数学者森田喜一にちなんで名付けられました。 ${\displaystyle R\approx S}$ ${\displaystyle {}_{R}M\approx {}_{S}M}$

モチベーション

環は一般に、加群の観点から研究される。これは、加群が環の表現とみなせるためである。すべての環Rは、それ自身に自然なR加群構造を持ち、加群作用は環における乗法として定義されるので、加群を介したアプローチはより一般的であり、有用な情報を与える。このため、環を研究する際には、その環上の加群のカテゴリを研究することが多い。森田同値では、環の加群カテゴリが同値である場合に森田同値であると定義することにより、この観点を自然な結論に導いている。この概念は、非可換環を扱う場合にのみ重要となる。なぜなら、2 つの可換環が森田同値であるためには、それらが同型である必要があるからである。

意味

二つの環RとS (結合的、1 を満たす) は、R上の (左) 加群の圏、R-Modと、 S上の (左) 加群の圏、 S-Modとの間に同値が存在するとき、(森田)同値であるという。左加群の圏R-ModとS-Mod が同値であることは、右加群の圏Mod-RとMod-Sが同値であることと同値であることに等しい。さらに、同値となるR-ModからS-Modへの任意の関数は自動的に加法的であることが示される。

例

任意の 2 つの同型環は森田同値です。

Rを元とするn行n列の行列の環M _n Rは、任意の整数n > 0に対してRと森田同値です。これは、アルティン–ウェダーバーン理論によって与えられた単純なアルティン環の分類を一般化したものになります。同値性を確認するために、 Xが左R加群であれば、X ⁿはM _n ( R ) 加群であり、加群構造はXの列ベクトルの左側の行列乗算で与えられることに注意してください。これにより、左R加群のカテゴリから左M _n ( R ) 加群のカテゴリへの関数を定義できます。逆関数は、任意のM _n ( R ) 加群に対して、上記のようにXからM _n ( R ) 加群が得られるような左R加群Xが存在することを認識することで定義されます。

同等性の基準

同値は次のように特徴付けられる: F  : R-Mod S-ModとG  : S-Mod R-Modが加法(共変)関数である場合、S PとP Rが有限生成射影生成子であり、関数の自然同型、および関数の自然同型が存在するようなバランスの取れた ( S、R )-双加群Pが存在する場合のみ、 _Fと_Gは同値である。有限生成射影生成子は、そのモジュールカテゴリのプロジェネレータと呼ばれることもある。 ^{[ 3 ]}${\displaystyle \to}$ ${\displaystyle \to}$ ${\displaystyle \operatorname {F} (-)\cong P\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle \operatorname {G} (-)\cong \operatorname {Hom} (_{S}P,-).}$

左R加群のカテゴリから左S加群のカテゴリへの直和と可換なすべての右完全関数Fに対して、ホモロジー代数の定理は、関数が関数 と自然に同型となるような ( S , R )-双加群Eが存在することを示しています。同値は必然的に完全であり、直和 と可換であるため、RとS が森田同値であるための必要十分条件は、双加群_R M _Sと_S N _Rが存在して、 ( R , R )-双加群として、かつ( S , S )-双加群としてとなる場合です。さらに、NとM は、( S , R )-双加群同型 を介して関連付けられています。 ${\displaystyle \operatorname {F} (-)}$ ${\displaystyle E\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle M\otimes _{S}N\cong R}$ ${\displaystyle N\otimes _{R}M\cong S}$ ${\displaystyle N\cong \operatorname {Hom} (M_{S},S_{S})}$

より具体的には、二つの環RとSが森田同値となるのは、原始モジュールP R_に対して[ ^{4 ] である}ときのみである。これは、 ${\displaystyle S\cong \operatorname {End} (P_{R})}$

${\displaystyle S\cong e\mathbb {M} _{n}(R)e}$

(環の同型性)行列環 M _n Rの任意の正の整数nと完全冪等なeに対して成り立つ。

RがSと森田同値である場合、環 Z( R ) は環 Z( S )と同型であることが知られています。ここで、 Z(-) は環の中心を表します。さらに、 R / J ( R ) はS / J ( S )と森田同値であり、J (-) はヤコブソン根号を表します。

同型環は森田同値であるが、森田同値環は非同型になり得る。簡単な例として、除算環Dはそのすべての行列環M _n Dと森田同値であるが、 n > 1の場合には同型にはならない、ということがある 。可換環の特殊なケースでは、森田同値環は実際には同型である。これは上記のコメントから直ちに導かれる。なぜなら、RがSと森田同値ならば、 となるからである。 ${\displaystyle R=\operatorname {Z} (R)\cong \operatorname {Z} (S)=S}$

同値性によって保存される特性

多くの特性は、モジュール カテゴリ内のオブジェクトの同値関数によって保存されます。一般的に言えば、モジュールとその準同型性のみで定義された(基礎となる要素や環ではなく)モジュールの特性は、同値関数によって保存されるカテゴリ特性です。たとえば、F (-) がR-ModからS-Modへの同値関数である場合、RモジュールMが以下の特性を持つのは、SモジュールF ( M ) が以下の特性を持つ場合のみです。単射、射影、平坦、忠実、単純、半単純、有限生成、有限提示、アルティン、およびネーター。必ずしも保存されない特性の例には、自由、巡回などがあります。

多くの環論的性質は加群によって表現されるため、これらの性質は森田同値環間で保存されます。同値環間で共有される性質は森田不変量と呼ばれます。例えば、環Rが半単純であるためには、そのすべての加群が半単純である必要があります。森田同値のもとで半単純加群は保存されるため、同値環Sもまたすべての加群が半単純でなければならず、したがってそれ自体が半単純環となります。

ある性質がなぜ保存されるべきかは、すぐには明らかでない場合があります。例えば、フォン・ノイマン正則環の標準的な定義（Rの任意のaに対して、 Rにa  =  axaとなるxが存在する）を用いると、同値な環がフォン・ノイマン正則であるかどうかは明らかではありません。しかし、別の定式化は、環がフォン・ノイマン正則であるための必要十分条件は、そのすべての加群が平坦であることです。平坦性は森田同値性を通して保存されるため、フォン・ノイマン正則性は森田不変であることが明らかです。

以下の特性は森田不変量である:

• 単純、半単純
• フォン・ノイマン正規
• 右（または左）ノイザン、右（または左）アルティン
• 右（または左）自己注入
• 準フロベニウス
• プライム、右（または左）プリミティブ、セミプライム、セミプリミティブ
• 右（または左）（半）遺伝
• 右（または左）非特異
• 右（または左）一貫性
• 半一次、右（または左）完了、半完了
• 半局所的

森田不変ではない特性の例には、可換性、局所性、簡約性、領域、右 (または左)ゴールディ性、フロベニウス性、不変基底数、デデキント有限性などがあります。

環の性質が森田不変であるかどうかを判定するテストは、他に少なくとも2つあります。環Rの元eは、 e ²  =  eかつReR  =  Rのとき、完全冪等元となります。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ が森田不変量である場合、かつその場合に限り、環R がを満たすときはいつでも、すべての完全冪等なeに対してeRe も を満たし、すべての正の整数nに対してすべての行列環 M _n Rも を満たす。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

または

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ は、次の場合のみ森田不変です: 任意の環RとR内の完全冪等なeに対して、環eRe がを満たす場合のみRは を満たします。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

さらなる道順

同値理論の双対として、加群圏間の双対性理論があります。ここでは、使用される関数は共変ではなく反変です。この理論は形式は似ていますが、任意の環の加群圏間には双対性がないという点で大きな違いがあります。ただし、部分圏には双対性が存在する可能性があります。言い換えれば、無限次元加群は一般に反射的ではないため、双対性理論はノイザン環上の有限生成代数に​​より容易に適用できます。おそらく驚くことではないかもしれませんが、上記の基準は双対性にも類似しており、自然な同型性はテンソル関数ではなくホム関数によって与えられます。

森田同値性は、シンプレクティック群やC*-代数のような、より構造化された状況でも定義できます。C*-代数の場合、 C*-代数の追加的な構造（対合的*-演算に由来）と、C*-代数が必ずしも単位元を持たないことから、応用において有用な結果を得るには、強い森田同値性と呼ばれるより強い型同値性が必要です。

K理論における意義

二つの環が森田同値である場合、それぞれの射影加群の圏には誘導同値性が存在する。これは、森田同値性は正確な列（ひいては射影加群）を保存するからである。環の代数的K理論は（キレンのアプローチにおいて）環上の有限生成射影加群の（小さな）圏の神経の（大まかな）分類空間のホモトピー群によって定義されるため、森田同値環は必ず同型のK群を持つ。

注記

1. この同値性は左右対称であることが示される。 ^{[ 1 ]}

引用

1. アンダーソン＆フラー 1992、262ページ、第22節。
2. アンダーソン＆フラー 1992、p. 251、「定義と表記法」。
3. デマイヤーとイングラハム、1971 年、p. 6.
4. デマイヤーとイングラハム、1971 年、p. 16.

参考文献

• アンダーソン, FW; フラー, KR (1992).環と加群の圏.大学院数学テキスト. 第13巻（第2版）. ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-97845-3. Zbl  0765.16001 .
• デマイヤー、F.イングラハム、E. (1971)。可換環上の分離可能な代数。数学の講義ノート。 Vol. 181. ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-05371-2. Zbl  0215.36602 .
• ラム, TY (1999). 『モジュールと環に関する講義』 .大学院数学テキスト. 第189巻. ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. 第17-19章. ISBN 978-1-4612-6802-4. Zbl  0911.16001 .
• マイヤー、ラルフ (1997). 「代数学と幾何学における森田同値性」(PDF) . CiteSeerX  10.1.1.35.3449 . 2023年8月22日閲覧.
• 森田喜一(1958). 「加群の双対性と最小条件環論へのその応用」.東京教育大学学術報告. Aセクション. 6 (150): 83–142 . ISSN  0371-3539 . Zbl  0080.25702 .

さらに読む

• ライナー, I. (2003).最大順序. ロンドン数学会モノグラフ. 新シリーズ. 第28巻.オックスフォード大学出版局. pp.  154– 169. ISBN 0-19-852673-3. Zbl  1024.16008 .