射影ベクトル場

射影ベクトル場（projective ）は、半リーマン多様体（例えば時空）上の滑らかなベクトル場であり、その流れは測地線の構造を保存しますが、測地線のアフィンパラメータは必ずしも保存しません。より直感的に言えば、射影ベクトル場の流れは、アフィンパラメータを保存することなく、測地線を測地線に滑らかに写像します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

分解

半リーマン多様体上のベクトル場を扱う場合（例えば一般相対論）、共変微分を対称部分と歪対称部分に 分解すると便利なことがよくあります。${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{a;b}={\frac {1}{2}}h_{ab}+F_{ab}}$

どこ

${\displaystyle h_{ab}=({\mathcal {L}}_{X}g)_{ab}=X_{a;b}+X_{b;a}}$

そして

${\displaystyle F_{ab}={\frac {1}{2}}(X_{a;b}-X_{b;a})}$

は の共変成分であることに注意してください。 ${\displaystyle X_{a}}$ ${\displaystyle X}$

同等の条件

数学的には、ベクトル場が射影的であるための条件は、次の式を満たす 1形式が存在することと等しい。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle X_{a;bc}\,=R_{abcd}X^{d}+2g_{a(b}\psi _{c)}}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle h_{ab;c}\,=2g_{ab}\psi _{c}+g_{ac}\psi _{b}+g_{bc}\psi _{a}}$

連結多様体またはコンパクト多様体上のすべての大域射影ベクトル場の集合は、 （射影代数）で表される有限次元リー代数を形成し、連結多様体に対して条件 を満たします。ここで、射影ベクトル場は、 の任意の点において 、 、 の値を指定することによって（同等に、 、 を指定することによって）一意に決定されます。（連結されていない多様体の場合は、連結成分ごとにこれら 3 つを 1 つの点で指定する必要があります。）射影は、次の特性も満たします。 ${\displaystyle P(M)}$ ${\displaystyle \dim P(M)\leq n(n+2)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nablaX}$ ${\displaystyle \nabla \nabla X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=\delta ^{a}{}_{d}\psi _{b;c}-\delta ^{a}{}_{c}\psi _{b;d}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=-3\psi _{a;b}}$

部分代数

射影ベクトル場にはいくつかの重要な特殊ケースが存在し、それらは のリー部分代数を形成する。これらの部分代数は、例えば一般相対論における時空の分類に有用である。 ${\displaystyle P(M)}$

アフィン代数

アフィンベクトル場（アフィン）は（同値として）を満たすため、すべてのアフィンは射影的である。アフィンは、半リーム多様体（時空と読み替える）の測地線構造を保存すると同時に、アフィンパラメータも保存する。 上のすべてのアフィンの集合は、（アフィン代数）で示されるのリー部分代数を形成し、連結されたM、に対して を満たす。アフィンベクトルは、 の任意の点におけるベクトル場とその第1共変微分の値を指定することによって（同値として、 、 を指定することによって）一意に決定される。アフィンはまた、リーマンテンソル、リッチテンソル、ワイルテンソルを保存する。すなわち ${\displaystyle \nabla h=0}$ ${\displaystyle \psi =0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P(M)}$ ${\displaystyle A(M)}$ ${\displaystyle \dim A(M)\leq n(n+1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=0}$ 、、​${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}C^{a}{}_{bcd}=0}$

同型代数

相似ベクトル場（相似性）は、定数因子、すなわち まで計量を保存します。 なので、すべての相似性はアフィンであり、 上のすべての相似性の集合はのリー部分代数（相似代数 ）を形成し、連結なM に対して を満たします。${\displaystyle h={\mathcal {L}}_{X}g=2cg}$ ${\displaystyle \nabla h=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A(M)}$ ${\displaystyle H(M)}$

${\displaystyle \dim H(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)+1}$ 。

相似ベクトル場は、多様体の任意の点において ベクトル場とその最初の共変微分の値を指定することで（つまり、、およびを指定することで）一意に決定されます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$

代数学を殺す

キリングベクトル場（キリング）は計量を保存する。すなわち、 である。相似性の定義特性を考慮すると、すべてのキリングは相似性（したがってアフィン）であり、 上のすべてのキリングベクトル場の集合はのリー部分代数（キリング代数 ）を形成し、連結なM に対して が成り立つことがわかる。${\displaystyle h={\mathcal {L}}_{X}g=0}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H(M)}$ ${\displaystyle K(M)}$

${\displaystyle \dim K(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ 。

キリングベクトル場は、ベクトル場とその最初の共変微分の値を指定することで（つまり、とを指定することで）一意に決定されます（ の任意の点（すべての接続されたコンポーネントに対して））。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$

アプリケーション

一般相対論では、多くの時空は時空上のベクトル場によって特徴付けられる特定の対称性を持つ。例えば、ミンコフスキー空間は 最大射影代数、すなわち を許容する。 ${\displaystyle {\mathbb {M} }}$ ${\displaystyle \dim P({\mathbb {M} })=24}$

一般相対性理論における対称性ベクトル場の他の多くの応用については、一般相対性理論における対称性の分野における多くの研究論文を含む広範な参考文献も含まれている Hall (2004) に記載されています。

参考文献

• プア, W. (1981).微分幾何学的構造. ニューヨーク: マグロウヒル. ISBN 0-07-050435-0。
• 矢野 憲 (1970). 『リーマン幾何学における積分公式』 ニューヨーク: マルセル・デッカー. ISBN ???.
• ホール、グラハム (2004).一般相対論における対称性と曲率構造 (World Scientific Lecture Notes in Physics) . シンガポール: World Scientific Pub. ISBN 981-02-1051-5。