実代数幾何学

数学において、実代数幾何学は、実代数集合、つまり実数係数を持つ代数方程式の実数解と、それらの間のマッピング（特に実多項式マッピング） を研究する代数幾何学のサブ分野です。

半代数幾何学は、半代数集合、すなわち実数係数を持つ代数不等式の実数解と、それらの間の写像を研究する学問です。半代数集合間の最も自然な写像は半代数写像、すなわちグラフが半代数集合となる写像です。

用語

今日では、「半代数幾何学」と「実代数幾何学」という言葉は同義語として用いられている。これは、実代数集合を半代数集合を用いずに真剣に研究することはできないためである。例えば、実代数集合を座標軸に沿って射影したものは、必ずしも実代数集合である必要はないが、常に半代数集合となる。これはタルスキ＝ザイデンベルクの定理である。^{[ 1 ] [ 2 ]}関連分野には、O極小理論と実解析幾何学がある。

例：実平面曲線は実代数集合の例であり、多面体は半代数集合の例です。実代数関数とナッシュ関数は半代数写像の例です。区分多項式写像（ピアース・バーコフ予想を参照）も半代数写像です。

計算実代数幾何学は、実代数幾何学（および半代数幾何学）のアルゴリズム的側面を扱う。主要なアルゴリズムは円筒代数分解である。これは、半代数集合を適切な大きさに分割し、それらの射影を計算するために用いられる。

実代数学は代数学のうち、実代数幾何学（および半代数幾何学）に関連する分野である。実代数学は主に、順序体および順序環（特に実閉体）の研究と、それらの正多項式および多項式の平方和の研究への応用を扱う。（ヒルベルトの第17問題およびクリヴィンの正定値問題を参照。）実代数学と実代数幾何学の関係は、可換代数学と複素代数幾何学の関係に類似している。関連分野としては、モーメント問題理論、凸最適化、二次形式理論、付値理論、モデル理論などがある。

実代数学と実代数幾何学の年表

• 1826線形不等式系に対するフーリエのアルゴリズム。 ^{[ 3 ]} 1919年にロイド・ダインズ^{[ 4 ]}と1936年にセオドア・モツキンによって再発見された。^{[ 5 ]}
• 1835実根計算に関するシュトゥルムの定理^{[ 6 ]}
• 1856 実根計算に関するエルミートの定理。^{[ 7 ]}
• 1876ハルナックの曲線定理。^{[ 8 ]}（この成分数の上限は後に、すべての実代数集合のすべてのベッティ数^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}とすべての半代数集合のすべてのベッティ数に拡張されました。^{[ 12 ]}）
• 1888年 ヒルベルトの三元四次関数の定理。^{[ 13 ]}
• 1900ヒルベルトの問題（特に第16問題と第17問題）
• 1902ファーカスの補題^{[ 14 ]}（線形実証的定理として再定式化できる。）
• 1914年、アンニバレ・コメサッティは、すべての実代数曲面がRP2に対して双有理的ではないことを示し^た[ ^{15 ] 。}
• 1916 年、非負の三角多項式に関するフェジェルの予想。^{[ 16 ]} ( Frigyes Rieszによって解決されました。^{[ 17 ]} )
• 1927年エミール・アルティンによるヒルベルトの第17問題の解答^{[ 18 ]}
• 1927年のクルル・ベーア定理^{[ 19 ] [ 20 ]}（順序と評価の関係）
• 1928 単体上の正多項式に関するポリアの定理^{[ 21 ]}
• 1929年、B.L.ファン・デル・ワールデンは、実代数集合と半代数集合が三角形化可能であるという証明を概説したが^{[ 22 ]}、その議論を厳密なものにするために必要なツールはまだ開発されていなかった。
• 1931年アルフレッド・タルスキの実数量化子除去。^{[ 23 ]} 1954年にアブラハム・ザイデンベルグによって改良され普及した。^{[ 24 ]}（どちらもシュトゥルムの定理を使用している。）
• 1936年、ヘルベルト・ザイフェルトは、自明な正規束を持つのあらゆる閉じた滑らかな部分多様体は、その完全な交差を持つ非特異な実代数部分集合の成分に同位化できることを証明した^{[ 25 ]}（この定理の結論から「成分」という言葉を取り除くことはできない^{[ 26 ]}）。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 1940年マーシャル・ストーンの半順序環に対する表現定理。^{[ 27 ]} 1951年にリチャード・カディソン^{[ 28 ]}、1967年にドナルド・デュボア^{[ 29 ]}によって改良された（カディソン・デュボア表現定理）。さらに1993年にミハイ・プーティナール^{[ 30 ]}、2001年にヤコビ^{[ 31 ]}によって改良された（プーティナール・ヤコビ表現定理）。
• 1952年ジョン・ナッシュは、すべての閉じた滑らかな多様体は実代数集合の非特異成分と微分同相であることを証明した。^{[ 32 ]}
• 1956年ピアース・バーコフ予想が定式化された。^{[ 33 ]}（次元≤2で解かれた。^{[ 34 ]}）
• 1964クリヴィンの零定理と正定理。^{[ 35 ]} 1974年にステングルによって再発見され普及した。^{[ 36 ]}（クリヴィンは実数量化子除去を使用し、ステングルはラングの準同型定理を使用した。^{[ 37 ]}）
• 1964 ロヤシェヴィッチの三角半解析集合^{[ 38 ]}
• 1964年広中平輔が特異点定理の解決を証明した^{[ 39 ]}
• 1964年ハスラー・ホイットニーは、あらゆる解析多様体はホイットニー条件を満たす成層構造を許容することを証明した。^{[ 40 ]}
• 1967年セオドア・モツキンは多項式の平方和ではない正の多項式を発見した。^{[ 41 ]}
• 1972年ウラジミール・ロクリンがグドコフの予想を証明した。^{[ 42 ]}
• 1973年アルベルト・トニョーリは、すべての閉じた滑らかな多様体は非特異な実代数集合に微分同相であることを証明した。^{[ 43 ]}
• 1975年ジョージ・E・コリンズは円筒代数分解アルゴリズムを発見した。これはタルスキの実数量化子除去を改良し、コンピュータ上での実装を可能にした。^{[ 44 ]}
• 1973年、ジャン＝ルイ・ヴェルディエは、すべての部分解析集合は条件(w)を満たす成層構造を持つことを証明した。^{[ 45 ]}
• 1979年ミシェル・コストとマリー・フランソワーズ・ロイは可換環の実スペクトルを発見した。^{[ 46 ]}
• 1980年オレグ・ヴィロは「パッチワーキング」手法を導入し、低次数の実代数曲線の分類に使用しました。^{[ 47 ]}その後、イリヤ・イテンベルグとヴィロはそれをラグズデール予想の反例を生成するために使用し、^{[ 48 ] [ 49 ]}グリゴリー・ミハルキンはそれを熱帯幾何学の曲線のカウントに応用しました。^{[ 50 ]}
• 1980年セルマン・アクブルットとヘンリー・C・キングは、孤立した特異点を持つ実代数集合の位相的特徴付けと、位相的に特徴付けられた非特異実代数集合（必ずしもコンパクトではない）を与えた^{[ 51 ]}
• 1980年、アクブルットとキングは、任意の結び目が孤立した特異点を持つ実代数集合の結び目である ことを証明した^{[ 52 ]。}${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$
• 1981年アクブルットとキングは、すべてのコンパクトPL多様体は実代数集合にPL同相であることを証明した。^{[ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]}
• 1983年、アクブルットとキングは実代数集合の位相モデルとして「位相分解タワー」を導入し、これによって実代数集合の新しい位相不変量を得て、すべての3次元代数集合を位相的に特徴付けた。^{[ 56 ]これらの不変量は後にミシェル・コステとクリストフ・クルディカ[ 57 ]} 、クリント・マクロリーとアダム・パルシンスキ によって一般化された。^{[ 58 ]}
• 1984年 ルートヴィヒ・ブロッカーの基本開半代数集合の最小生成に関する定理^{[ 59 ]}（シャイデラーによって改良され、基本閉半代数集合に拡張された。^{[ 60 ]}）
• 1984年ベネデッティとデドは、すべての閉じた滑らかな多様体が全代数的非特異実代数集合に微分同相ではないことを証明した（全代数的とは、そのZ/2Zホモロジーサイクルのすべてが実代数部分集合によって表されることを意味する）。^{[ 61 ]}
• 1991年アクブルットとキングは、すべての閉じた滑らかな多様体は全代数的実代数集合に同相であることを証明した。^{[ 62 ]}
• 1991 シュミュッゲンによるコンパクト半代数集合と関連する厳密な正定理に対する多次元モーメント問題の解。^{[ 63 ]}代数的証明はヴェルマンによって発見された。^{[ 64 ]}一様分母を持つアルティンの定理のレズニック版を示唆する。^{[ 65 ]}
• 1992年、アクブルットとキングはナッシュ・トニョーリ定理のアンビエント版を証明した。R ⁿのすべての閉じた滑らかな部分多様体は、 R ⁿの実代数的部分集合の非特異点（成分）と同位体であり、彼らはこの結果をR ⁿの浸漬部分多様体に拡張した。^{[ 66 ] [ 67 ]}
• 1992年ベネデッティとマリンは、あらゆるコンパクト閉平滑3次元多様体Mは滑らかな中心に沿ったブローアップとブローダウンのシーケンスによって得られること、そしてMはおそらく特異なアフィン実代数的有理3次元多様体と同相であることを証明した^{[ 68 ]}${\displaystyle S^{3}}$
• 1997年ビアストンとミルマンは特異点定理の標準的な解決を証明した^{[ 69 ]}
• 1997 ミハルキンは、すべての閉じた滑らかなn次元多様体は、位相的な爆発と爆発の連続によって得られることを証明した^{[ 70 ]}${\displaystyle S^{n}}$
• 1998年ヤノシュ・コラーは、すべての閉3次元多様体がRP3^に双有理的な射影実3次元多様体ではないことを示した ^{[ 71 ]。}
• 2000 シャイデラーの局所大域原理とそれに関連するシュミュッゲンのpositivstellensatzの次元≤2における非厳密拡張。^{[ 72 ] [ 73 ] [ 74 ]}
• 2000年ヤノシュ・コラーは、すべての閉じた滑らかな3次元多様体は、一連の実ブローアップとブローダウンによって得られるコンパクト複素多様体の実部であることを証明した 。 ^{[ 75 ]}${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$
• 2003年ウェルシンガーは実有理曲線を数えるための不変量を導入した^{[ 76 ]}
• 2005年、アクブルットとキングは、 RP ⁿの非特異実代数部分集合のすべてがCP ⁿの非特異複素代数部分集合の実部と滑らかに同位体となるわけではないことを示した^{[ 77 ] [ 78 ]}

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外部リンク

• 実代数幾何学におけるヒルベルト問題の役割（PostScript）
• 実代数幾何学と解析幾何学プレプリントサーバー