レッドヘファーのスター製品

数学において、レッドヘッファーのスター積は、線形方程式の連立方程式を解く際に生じる線形演算子の二項演算である。これは1959年にレイモンド・レッドヘッファーによって導入され、 ^{[ 1 ]}、その後、散乱行列の計算手法において広く採用されてきた。異なる線形散乱体からの2つの散乱行列が与えられた場合、レッドヘッファーのスター積は、一方の散乱体の出力チャネルの一部またはすべてをもう一方の散乱体の入力に接続することで生成される、合成散乱行列を与える。

意味

がブロック行列と で 、 のときブロックの形状が同じである とする。このとき、Redhefferスター積は次のように定義される。 ^{[ 1 ]}${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle A_{ij},B_{kl}}$ ${\displaystyle ij=kl}$

${\displaystyle A\star B={\begin{pmatrix}B_{11}(I-A_{12}B_{21})^{-1}A_{11}&B_{12}+B_{11}(I-A_{12}B_{21})^{-1}A_{12}B_{22}\\A_{21}+A_{22}(I-B_{21}A_{12})^{-1}B_{21}A_{11}&A_{22}(I-B_{21}A_{12})^{-1}B_{22}\end{pmatrix}}}$ 、

が可逆であると仮定すると、 はそれぞれまたは に従う単位行列である。これは、いわゆる プッシュスルー単位行列を用いていくつかの方法で書き直すことができる。 ${\displaystyle (I-A_{12}B_{21}),(I-B_{21}A_{12})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A_{12}B_{21}}$ ${\displaystyle B_{21}A_{12}}$ ${\displaystyle (I-AB)A=A(I-BA)\iff A(I-BA)^{-1}=(I-AB)^{-1}A}$

レッドヘッファーの定義は行列を超えて、 ヒルベルト空間上の線型作用素にまで拡張される。 ^{[ 2 ]} 。定義により、は の線型自己準同型であり、の線型自己準同型となる。ここでは直和である。しかし、変換が両立する限り、スター積は依然として意味を持ち、 のときは となり、 と なる。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle A_{ij},B_{kl}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \oplus}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {L(H_{\gamma }\oplus H_{\alpha },H_{\alpha }\oplus H_{\gamma })}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {L(H_{\alpha }\oplus H_{\beta },H_{\beta }\oplus H_{\alpha })}}}$ ${\displaystyle A\star B\in {\mathcal {L(H_{\gamma }\oplus H_{\beta },H_{\beta }\oplus H_{\gamma })}}}$

プロパティ

存在

${\displaystyle (I-A_{12}B_{21})^{-1}}$ が存在する場合にのみ存在する 。 ^{[ 3 ]} したがって、どちらかが存在する場合、Redhefferスター積も存在する。 ${\displaystyle (I-B_{21}A_{12})^{-1}}$

身元

スターアイデンティティは、または上のアイデンティティです。 ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&0\\0&I\end{pmatrix}}}$

結合性

スター積は、関連するすべての行列が定義されている限り、結合的である。 ^{[ 3 ]} したがって。 ${\displaystyle A\star B\star C=(A\star B)\star C=A\star (B\star C)}$

副次

どちらかの辺が存在する場合、レッドヘッファースター積の随伴項は である。 ^{[ 2 ]}${\displaystyle (A\star B)^{*}=B^{*}\star A^{*}}$

逆

が の左逆行列で、が右逆行列を持ち、 が 存在する場合、 となります。 ^{[ 2 ]} 同様に、がの左逆行列で、が右逆行列を持ち、 が 存在する場合、 となります。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BA=I}$ ${\displaystyle A_{22}}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A\star B=I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BA=I}$ ${\displaystyle A_{11}}$ ${\displaystyle B\star A}$ ${\displaystyle B\star A=I}$

また、と に左逆が存在する場合、 となります。 ${\displaystyle A\star B=I}$ ${\displaystyle A_{22}}$ ${\displaystyle BA=I}$

スター逆行列は逆行列と等しく、両方ともブロック逆行列で 計算できる。 ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}&(A_{21}-A_{22}A_{12}^{-1}A_{11})^{-1}\\(A_{12}-A_{11}A_{21}^{-1}A_{22})^{-1}&(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}\end{pmatrix}}}$ 。

線形システムからの導出

連立方程式。矢印は各行列への入力と出力を示す。

スター積は、共通の変数を持つ複数の線形方程式系を解くことから生じる。多くの場合、各線形系は物理プロセスにおける一つのサブシステムの挙動をモデル化し、複数のサブシステムを一つの全体として接続することで、サブシステム間で共有される変数を除去し、全体の線形系を得ることができる。例えば、^{[ 4 ]}を満たす ヒルベルト空間の元を とする。${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{6}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{3}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{5}\\x_{4}\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{3}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

レッドヘッファーの連立方程式の 1 つを「配管」する。

変数に次の式を与えます。 ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 6}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=A_{11}x_{5}+A_{12}x_{4}\\x_{6}&=A_{21}x_{5}+A_{22}x_{4}\\x_{1}&=B_{11}x_{3}+B_{12}x_{2}\\x_{4}&=B_{21}x_{3}+B_{22}x_{2}\end{aligned}}}$ 。

最初の方程式を最後の方程式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle x_{4}=(I-B_{21}A_{12})^{-1}(B_{21}A_{11}x_{5}+B_{22}x_{2})}$ 。

最後の式を最初の式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle x_{3}=(I-A_{12}B_{21})^{-1}(A_{11}x_{5}+A_{12}B_{22}x_{2})}$ 。

前の2つの式を代入して消去する と、レッドヘッファースター積は次の行列となる。 ^{[ 1 ]}${\displaystyle x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{6}}$

スター積は、この結合された方程式システム内の共有変数を排除します。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{6}\end{pmatrix}}=(A\star B){\begin{pmatrix}x_{5}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$ 。

散乱行列への接続

散乱行列の「配管」は、Redhefferとは異なる慣習に従っており、いくつかの量の交換とラベル付けを伴います。利点は、S行列の添字がブロックインデックスだけでなく、入力ポートと出力ポートにもラベル付けされることです。

多くの散乱過程は、散乱行列の線形システムのブロック構造に異なる規則を課す形をとる。典型的には、電磁波や量子力学的散乱における線形誘電体媒体のように、入力に対して線形変換を実行する物理デバイスは、それぞれが入力を受け入れて出力を返すさまざまなポートを介して環境と相互作用するシステムとしてカプセル化できる。ヒルベルト空間には、異なる表記法 を使用するのが慣例であり、その下付き文字はデバイス上のポートを示す。さらに、任意の要素 には、移動方向を示す上付き文字が追加される（ここで、+ はポート i から i+1 への移動を示し、- はその逆を示す）。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}^{\pm }\in {\mathcal {H}}_{i}}$

前のセクションで使用した Redheffer変換の同等の表記 は、${\displaystyle R\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{2}\oplus H_{1})}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{2}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}R_{11}&R_{12}\\R_{21}&R_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}}$ 。

S行列の作用は、 レッドヘッファーの定義と比べて反転を加えて定義される。^{[ 5 ]}${\displaystyle S\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{1}\oplus H_{2})}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{1}^{-}\\c_{2}^{+}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}}$ 、

となる 。対角外単位行列を定義するには、同じ基礎ヒルベルト空間が必要であることに注意する。（添え字は違いを意味するものではなく、単に記録のためのラベルである。） ${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}R}$ ${\displaystyle {\mathcal {H_{1},H_{2}}}}$

2つのS行列のスター積は^{[ 5 ]}で与えられる。 ${\displaystyle \star _{S}}$ ${\displaystyle A,B}$

スター積における散乱行列の結合ペアの「配管」。

${\displaystyle A\star _{S}B={\begin{pmatrix}A_{11}+A_{12}(I-B_{11}A_{22})^{-1}B_{11}A_{21}&A_{12}(I-B_{11}A_{22})^{-1}B_{12}\\B_{21}(I-A_{22}B_{11})^{-1}A_{21}&B_{22}+B_{21}(I-A_{22}B_{11})^{-1}A_{22}B_{12}\end{pmatrix}}}$ 、

ここで、 なので、 となります。 ${\displaystyle A\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{1}\oplus H_{2})}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {L(H_{2}\oplus H_{3},H_{2}\oplus H_{3})}}}$ ${\displaystyle A\star _{S}B\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{3},H_{1}\oplus H_{3})}}}$

プロパティ

これらはに対するの性質の類似物です。 そのほとんどは との対応から導かれます 。 交換演算子 は、以下で定義されるS行列のスター恒等式でもあります。このセクションの残りの部分では、はS行列です。 ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star _{S}}$ ${\displaystyle J(A\star B)=(JA)\star _{S}(JB)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A,B,C}$

存在

${\displaystyle A\star _{S}B}$ または のいずれかが 存在する場合に存在します 。 ${\displaystyle (I-A_{22}B_{11})^{-1}}$ ${\displaystyle (I-B_{11}A_{22})^{-1}}$

身元

S行列のスター恒等式は である 。これは、${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle J\star _{S}S=S\star _{S}J=S}$

結合性

の結合法則は、行列乗算の結合法則および行列乗算の結合法則から導かれます。 ${\displaystyle \star _{S}}$ ${\displaystyle \star }$

副次

との対応、および の随伴関係から、次の関係が成り立つ。 ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star _{S}}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle (A\star _{S}B)^{*}=J(B^{*}\star _{S}A^{*})J}$

逆

は、 の S 行列スター積逆行列であり、 は 通常の逆行列であり 、は上で定義されたとおりです。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma \star _{S}S=S\star _{S}\Sigma =J}$ ${\displaystyle JS^{-1}J}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle J}$

転送マトリックスへの接続

伝達行列は散乱行列とは異なる「配管」構造を持ちます。伝達行列は、すべてのポートの入力をすべてのポートの出力に接続するのではなく、あるポートを別のポートに接続します。

散乱行列は、作用 を伴う伝達行列 、 として書き直すことができることに注意 する。 ここで ^{[ 6 ]}${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{2}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}=T{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}T_{\scriptscriptstyle ++}&T_{\scriptscriptstyle +-}\\T_{\scriptscriptstyle -+}&T_{\scriptscriptstyle --}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{21}-S_{22}S_{12}^{-1}S_{11}&S_{22}S_{12}^{-1}\\-S_{12}^{-1}S_{11}&S_{12}^{-1}\end{pmatrix}}}$ 。

ここで、下付き文字は各ポートにおける伝播方向の違いを表します。結果として、散乱行列のスター積は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{3}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}=(S^{A}\star S^{B}){\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{3}^{-}\end{pmatrix}}}$ 、

は、次の伝達行列の行列乗算に類似している ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{3}^{+}\\c_{3}^{-}\end{pmatrix}}=(T^{A}T^{B}){\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}}$ 、

ここで、 なので、 となります。 ${\displaystyle T^{A}\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{1},H_{2}\oplus H_{2})}}}$ ${\displaystyle T^{B}\in {\mathcal {L(H_{2}\oplus H_{2},H_{3}\oplus H_{3})}}}$ ${\displaystyle T^{A}T^{B}\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{1},H_{3}\oplus H_{3})}}}$

一般化

レッドヘファーはスター積をいくつかの方法で一般化しました。

任意の一対一

によって与えられた 一対一写像がある場合、結合的スター積は次のように定義される： ^{[ 7 ]}${\displaystyle M\leftrightarrow L}$ ${\displaystyle L=f(M)}$

${\displaystyle A\star B=f^{-1}(f(A)f(B))}$ 。

上記 Redheffer によって定義された特定のスター製品は、次から得られます。

${\displaystyle f(A)=((I-A)+(I+A)J)^{-1}((A-I)+(A+I)J)}$

どこ。 ${\displaystyle J(x,y)=(-x,y)}$

3x3スター製品

スター積は3x3行列に対しても定義できる。 ^{[ 8 ]}

散乱行列への応用

物理学において、レッドヘッファーのスター積は 、 2つ以上の部分系から全体の散乱行列を構成する際に現れる。系 が散乱行列 を持ち、系 が 散乱行列 を持つ場合、結合された系 は 散乱行列 を持つ。 ^{[ 5 ]}${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{A}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S^{B}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle S^{AB}=S^{A}\star S^{B}}$

伝送線路理論

放射伝達、中性子拡散、回路理論など多くの物理過程は散乱過程によって記述され、その定式化は過程の次元と演算子の表現に依存する。^{[ 6 ]}確率問題の場合、散乱方程式はコルモゴロフ型方程式として現れることがある。

電磁気

レッドヘッファーのスター積は、層状、多層媒体における電磁場の伝播を解くために使用できます。^{[ 9 ]}構造内の各層には独自の散乱行列があり、全体の構造の散乱行列はすべての層間のスター積として記述できます。^{[ 10 ]}層状媒体の電磁気学をシミュレートする無料のソフトウェアプログラムは、スタンフォード層状構造ソルバーです 。

半導体インターフェース

連続する半導体界面の運動モデルでは、散乱行列の定式化を用いて半導体間の電子の動きをモデル化することができる。 ^{[ 11 ]}

グラフ上の因数分解

グラフ上のシュレーディンガー作用素の解析において、グラフの散乱行列はその部分グラフに対応する散乱行列の一般化されたスター積として得られる。^{[ 12 ]}

参考文献

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