角度

2本の線が1点で曲がっている
直交座標系における2本の赤い光線によって形成される緑の角度

幾何学では、角度は2本の直線が1点で交わることで形成されます。[ 1 ]各直線は角度の辺と呼ばれ、それらの直線が共有する点は角度の頂点と呼ばれます。 [ 2 ] [ 3 ]角度という用語は、幾何学的図形と、それに関連付けられた量としての大きさまたは大きさの両方を示すために使用されます。角度測定または角度の測定は、量の測定と図形自体を区別するために使用されることがあります。角度の測定は本質的に円や回転に関連しており、これは多くの場合、頂点を中心とし辺の間にある円弧を使用して視覚化または定義され ます。

基礎

角度については、普遍的に合意された定義はありません。[ 4 ]角度は様々な方法で考えられ、使用される可能性があり、特定の状況に対して有効な定義が与えられることはありますが、角度の一般的な概念のすべての側面を完全に捉える単一の正式な定義を与えることは困難です。[ 5 ]

標準的な定義の一つは、角度とは、平面上にあり共通の端点を共有する2本の光線によって構成される図形である、というものです。あるいは、そのような図形が与えられた場合、角度は、光線間の開き具合、光線間に挟まれた平面の面積、あるいは一方の光線の頂点を中心とするもう一方の光線への 回転量として定義されることもあります。

より一般的には、三角形やその他の多角形の角など、 2つの線分が交わる場所にも角度が形成されます。 [ 2 ]また、2つの平面または曲線の交差点でも角度が形成されます。この場合は、交差点で各曲線に接する光線が角度を定義します。[ 6 ]

一般的に、角の辺は平面を角の内部と外部と呼ばれる2つの領域に分割すると考えられています。角の内部は、角扇形とも呼ばれます。[ 7 ] [ 8 ] [ a ]

表記と測定

∠血中アルコール濃度{\displaystyle \angle {\text{BAC}}}は光線とによって形成されます。はの従来の測定法であり、は代替測定法です。AB→{\displaystyle {\vec {\text{AB}}}}交流→{\displaystyle {\vec {\text{AC}}}}θ{\displaystyle \theta}∠血中アルコール濃度{\displaystyle \angle {\text{BAC}}}β{\displaystyle \beta}

幾何学図形における角度の識別には、角度記号（または「角度」と読みます）と1つまたは3つの定義点が用いられます。例えば、頂点Aを中心とする、直線と直線によって形成される角度は、 （頂点のみを用いる場合）または（頂点は常に中央に名前を付ける場合）と表記されます。角度の大きさは、またはで表されます。 ∠{\displaystyle \angle}^{\displaystyle {\widehat {\quad }}}AB→{\displaystyle {\vec {\text{AB}}}}交流→{\displaystyle {\vec {\text{AC}}}}∠あ{\displaystyle \angle {\text{A}}}∠血中アルコール濃度{\displaystyle \angle {\text{BAC}}}メートル∠あ{\displaystyle m\angle {\text{A}}}メートル∠血中アルコール濃度{\displaystyle m\angle {\text{BAC}}}

幾何学的図形や数式では、角度の大きさを表す変数としてギリシャ文字（α、β、γ、θ、φ、…）や小文字のローマ字（a、  b、  c、…）を使うことも一般的です。 [ 12 ]角度の測定は一般的にスカラー量ですが、[ 13 ]物理学や数学の一部の分野では、慣例により符号付き角度が回転方向を示すために使用されます。正であれば反時計回り、負であれば時計回りです。[ 14 ]

測定単位

角度は様々な単位で測定されますが、最も一般的な単位は度（記号°で表記）、ラジアン（記号radで表記）、回転です。これらの単位は、全角（最初は合同であった一方の光線が、頂点を中心に完全に回転して開始位置に戻る角度）を分割する方法が異なります。[ 15 ]

度と回転は、1回転または360°を表す全角を基準として直接定義されます。[ 16 ]回転の単位は、角度の大きさを全角に対する割合として表し、度は回転の細分として考えることができます。ラジアンは全角を基準として直接定義されるのではなく（「角度の測定」を参照）、その大きさは2πラジアン 、つまり約6.28ラジアンとなります。[ 17 ]

歴史的には、直線角度や全角度の半分などの度単位が選択され、その値は 180 とされていました。

足し算と引き算

角度加算公準は、角度の加算と減算を定義します。θ + α = φ ; φ − α = θ。

角の加法公理は、Dが内部にある点である場合、次の関係が成り立つことを述べています。[ 18 ]この関係は、任意の2つの角度を加算することを意味します。つまり、2つの頂点を1つの辺を共有しながら並べることで、新たな大きな角度が生まれます。この新たな大きな角度の大きさは、2つの角度の大きさの和です。減算は、この式を整理することで得られます。[ 18 ]∠血中アルコール濃度{\displaystyle \angle {\text{BAC}}}メートル∠血中アルコール濃度＝メートル∠悪い+メートル∠DAC。{\displaystyle m\angle {\text{BAC}}=m\angle {\text{BAD}}+m\angle {\text{DAC}}.}

種類

共通角度

一般的な角度を視覚化した図: 0 度、鋭角、直角、鈍角、直線、反射角、全角
一般的な角度の種類
  • 0°に等しい角度、または回転していない角度をゼロ角度と呼びます。[ 19 ]
  • 直角より小さい角度（90°未満）を鋭角といいます。[ 20 ]
  • ⁠に等しい角度1/4⁠ 回転（90°または⁠π/2⁠  rad）は直角と呼ばれます。直角を形成する2本の直線は、垂直、直交、または垂直であると言われます。[ 21 ]
  • 直角より大きく直線より小さい角度（90°から180°の間）は鈍角と呼ばれます[ 20 ]（「鈍角」は「鈍い」という意味です）。
  • ⁠に等しい角度1/2⁠ 回転（180°またはπ ラジアン）は直角と呼ばれます。[ 19 ]
  • 直角より大きく1回転未満の角度（180°～360°）を反射角といいます。
  • 1 回転 (360° または 2 π ラジアン)に等しい角度は、全角、完全角、円角、または近角と呼ばれます。
  • 直角の倍数ではない角度を斜角といいます。

隣接角と垂直角

  • 角度 A と B は隣接しています。
    角度 A と B は隣接しています。
  • 角度AとB、そして角度CとDは、2組の垂直角です。ハッチングマークは、これらの組が等しいことを示しています。
    角度AとB、そして角度CとDは、2組の垂直角です。ハッチングマークは、これらの組が等しいことを示しています。

隣接角（略称：∠s）は、頂点と辺を共有するものの、内点を共有しない角です。言い換えれば、隣り合った、あるいは隣接する角で、「腕」を共有している角です。

垂直角は、2本の直線が1点で交差し、4つの角が生じるときに形成される。互いに向かい合う2つの角は、垂直角、対角、または垂直に対角（略してvert. opp. ∠s）と呼ばれる。 [ 22 ]ここで、「垂直」とは、上下方向ではなく、頂点を共有していることを意味する。定理によれば、垂直角は常に互いに合同または等しい。 [ 23 ]横断 線は、2本の（多くの場合平行な）線と交差する線であり、外角、内角、交互外角、交互内角、対応する角、連続する内角に関連付けられている。 [ 24 ]

角度の組み合わせ

2 つの角度 (空間的に隣接しているか離れているか) を合計する場合、補角、補助角、補角という 3 つの特殊なケースがあります。

補角とは、その大きさの合計が直角（ ⁠1/4⁠回転、90°、または⁠π/2⁠ rad）。2つの補角が隣接している場合、それらの共有されていない辺は直角を形成します。直角三角形では、2つの鋭角は補角です。三角形の内角の和は180°です。ある角度と直角の差は、角度の補角と呼ばれます。 [ 6 ]

補角は直角（ ⁠1/2⁠回転、180°、またはπラジアン）。2つの補角が隣接している場合、それらの共有されていない辺は直角または直線を形成し、線状角ペアと呼ばれます。[ 25 ]角度と直角の差は、角度の補角と呼ばれます。 [ 26 ]

補角または共役角を足すと全角（1回転、360°、または2πラジアン）になります。 [ 27 ]角度と全角の差は、角度の補角または共役角と呼ばれます。 [ 28 ] [ 29 ]

隣接しない補角の例としては、平行四辺形の隣接角や円周四辺形の対角などが挙げられます。中心Oを持つ円において、外点Pから点Tと点Qで接する接線がある場合、結果として生じる角∠TPQと∠TOQは補角となります。

  • 角度aとbは補角である
    角度aと角は補角でbある
  • 角aと角bは補角である
    角aと角は補角でbある
  • 角AOBとCODは補角または共役角である
    角AOBと角は補角または共役角CODである
内角と外角
  • 単純多角形を構成する角は、その多角形の内側にある場合、内角と呼ばれます。単純凹多角形には、少なくとも1つの内角、つまり屈折角があります。
    ユークリッド幾何学では、三角形の内角の角度の合計はπラジアン、180°、または⁠1/2⁠回転; 単純な凸四角形の内角の合計は2 πラジアン、つまり 360°、つまり 1 回転になります。一般に、 n辺を持つ単純な凸多角形の内角の合計は( n  − 2) π ラジアン、つまり ( n −  2)180 度、( n  − 2)2 直角、つまり ( n  − 2) ⁠ になります。1/2⁠ ターン。
  • 内角の補角は外角と呼ばれます。つまり、内角と外角は線状の角度のペアを形成します。多角形の各頂点には2つの外角があり、それぞれは頂点で交わる多角形の2辺のうち1つを延長することによって決まります。これらの2つの角度は垂直なので等しいです。外角は、多角形をトレースするために頂点で行う必要がある回転量を測定します。[ 30 ]対応する内角が反射角である場合、外角は負の と見なす必要があります。単純でない多角形であっても、外角を定義できる場合があります。それでも、外角の符号を決定するために平面（または表面）の方向を選択する必要があります。
    ユークリッド幾何学において、単純な凸多角形において、各頂点の2つの外角のうち1つだけを仮定した場合、外角の和は1回転（360°）になります。ここでの外角は、補助外角と呼ぶことができます。外角は、Logo Turtleプログラムで正多角形を描画する際によく使用されます。
  • 三角形では、 2つの外角の二等分線ともう1つの内角の二等分線は交わる（1点で交わる）。[ 31 ]：149
  • 三角形では、外角の二等分線と反対側の延長辺との3つの交点は同一直線上にある。[ 31 ] : 149
  • 三角形では、内角の二等分線と対辺との交点が2つ、外角の二等分線と対辺の延長線との交点が3つ、全て同一直線上にある。[ 31 ] : 149
  • 一部の著者は、単純多角形の外角という名称を、内角の補外角（補角ではない！）という意味で使用している。 [ 32 ]これは上記の用法と矛盾している。

角度の測定

角度の測定には、分度器などの測定器具を用いた直接的な物理的測定と、他の既知の量から角度の大きさを理論的に計算することの両方が含まれます。角度の測定は本質的に回転と円に関連していますが、測定対象が正確に何であるかについては様々な観点があり、例えば、一方の光線の頂点を中心とするもう一方の光線への回転量、[ 33 ]光線間の開き量、[ 34 ]単位円の中心における角度を定める円弧の長さ[ 35 ]などが挙げられます。

角度の測定は、長さなどの他の物理量の測定とは本質的に異なります。[ 36 ]特別な意味を持つ角度（直角など）は、角度測定のシステムと単位を決定しますが、長さの場合は測定単位（メートル、フィート）が任意であるため、これに当てはまりません。

角度の測定には、一般的に、基準角度 (直角など) に対する相対角度と円測定の 2 つの方法があります。

基準角度

選択した基準角度 (直角、直線角、または全角) を均等な部分に分割し、1 つの部分のサイズを他の角度の測定の単位として使用できます。

実用的な角度測定の最も一般的な方法では、直角は度と呼ばれる90の等しい部分に分割されますが、まれにしか使用されない百分率システムでは、直角はグラジアンと呼ばれる100の等しい部分に分割されます。[ 37 ] [ 38 ]

円測定

角度の大きさはs / rラジアンまたはs / C回転で測定できます。θ{\displaystyle \theta}

円測定では、任意のサイズの円内に角度が配置され、頂点が円の中心にあり、辺が周囲と交差します。

2つの交点を結ぶ円周の長さはsであり、この円周は角度を規定すると言われています。長さsは角度の大きさθを測定するために使用できますが、sは選択した円の大きさに依存するため、尺度を合わせる必要があります。これは、 sと円の半径rまたは円周Cの比を取ることで行うことができます。

長さsと半径rの比は角度のラジアン数であり、 [ 35 ]長さsと円周Cの比は回転数である。 θ＝srr1つのd＝sCtあなたrn＝s2πrtあなたrn{\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} ={\frac {s}{C}}\,\mathrm {turn} ={\frac {s}{2\pi r}}\,\mathrm {turn} }

θのラジアン測定θ＝sr＝ss北{\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}={\frac {s}{s_{N}}}}

このように定義されたθの値は円の大きさに依存しません。半径の長さが変化すると、円周と弧の長さが同じ割合で変化するため、比率は⁠s/r⁠と⁠s/C⁠は変更されていません。[注 1 ]

比率⁠s/r⁠は角度の「ラジアン測定」[ 18 ]または「円測定」[ 39 ] [ 38 ] [ 40 ]と呼ばれますが、ラジアンと呼ばれる測定単位を定義するためにも使用されます。ラジアンは、比が⁠s/r⁠ = 1. [ 39 ]したがって、 ⁠によって与えられる角度の測定値は、s/r⁠ は2つの方法で考えることができます。1つ目は角度自体の比率（円弧の長さと半径の比）に関する尺度として、もう1つは角度の単位の量（測定角度の円弧の長さと単位角度の円弧の長さの比）としてです。[ 41 ] [ 38 ]

ユニット

次の表は、角度を表すために使用されるいくつかの重要な単位を示しています。

名前（記号）1ターンあたりの数1単位（度）説明
振り向く1360°回転とは、円周が中心で囲む角度です。1回転は2πまたは𝜏ラジアンに相当します。
度（°） 3601°度数は、1回転が 360 度に等しい ように定義できます。
ラジアン（rad） 2π​57.2957...°ラジアンは、円の半径と同じ長さを持つ円弧によって囲まれる角度です。
卒業生（ゴン） 4000.9°グラッド（grad、gradian、gonとも呼ばれる）は、直角が100グラジアンに等しいと定義されています。グラッドは主に三角測量や大陸測量に用いられます。
弧分（′） 21,600​⁠1/60⁠ °分（またはarcminute、あるいは単にminute ）は、度の60進法の単位です。緯度と経度の値は、度、分、秒で表されることが多いです。
秒角（″） 1 296 000⁠1/3600⁠ °秒（または秒角、あるいは単に秒角）は、分の60進法の単位です。緯度と経度の値は、度、分角、秒角で表されることが多いです。
ミリラジアン（mrad） 2000 ‍ π0.057 29 ...°ミリラジアンは1ラジアンの1000分の1です。砲兵や航海では、しばしば「ミル」と呼ばれる単位が用いられ、これはミリラジアンとほぼ等しくなります。1回転は、定義によって6000ミル、6300ミル、または6400ミルに相当します。

次元解析

数学と国際数量体系（ISQ）において、角度は無次元量として定義されており[ 42 ]、特にラジアンは国際単位系において無次元量として定義されています[ 43 ]。この慣習により、角度は次元解析のための情報を提供することができません。例えば、弧の長さを半径で割ってラジアンで角度を測定する場合、本質的には長さを別の長さで割っていることになり、長さの単位は互いに打ち消し合います。したがって、結果である角度は、メートルや秒のような物理的な「次元」を持ちません[ 44 ] 。これは、ラジアン、度、回転など、すべての角度単位に当てはまります。これらはすべて、物体がどれだけ回転したかを定量化する純粋な数値を表します[ 45 ] 。そのため、多くの方程式では、計算中に角度単位が「消える」ように見え、一貫性がなく、角度単位の混同につながる可能性があります[ 46 ] 。 [ 47 ]

この議論は、科学者や教育者の間で重要な議論を巻き起こしました。一部の科学者は、角度を長さや時間と同様に、独自の基本的な次元を持つものとして扱うことを提案しました。[ 48 ]これは、ラジアンなどの角度単位が計算で常に明示的に使用されることを意味し、次元解析が容易になります。しかし、このアプローチは多くのよく知られた数学や物理学の公式を変更する必要があり、それらは長くなり、おそらく少し馴染みが薄くなるでしょう。[ 49 ]今のところ、適切な場合には角度単位を表記しますが、これらの単位は重要ではあるものの、メートルやキログラムとは異なる動作をすることを理解した上で、無次元と見なすのが確立された慣習です。[ 50 ]

符号付き角度

x 軸から測定すると、単位円上の角度は反時計回り方向が正、時計回り方向が負としてカウントされます。

∠BACと表記される角度は、A を中心とする B から C への時計回りの角度、A を中心とする B から C への反時計回りの角度、A を中心とする C から B への時計回りの角度、または A を中心とする C から B への反時計回りの角度の 4 つの角度のいずれかを指します。したがって、何らかの基準に対して反対方向または「向き」の向きや回転を正と負の角度値で表せるようにする規則を適用すると役立つことがよくあります。

2次元直交座標系では、角度は通常、原点を頂点とする2辺で定義されます。最初の辺は正のx軸上にあり、もう一方の辺、つまり終端辺は、最初の辺からのラジアン、度、または回転数で定義されます。正の角度は正のy軸に向かう回転を表し、負の角度は負のy軸に向かう回転を表します。直交座標が、右向きのx軸と上向きのy軸で定義される標準位置で表される場合、正の回転は反時計回り、負の回転は時計回りになります。

多くの文脈において、角度 - θは実質的に「1回転マイナスθ」の角度と等価です。例えば、-45° と表現される方向は、360° - 45°または 315° と定義された方向と実質的に等価です。最終的な位置は同じですが、物理的な回転（動き） -45° は 315° の回転とは異なります（例えば、埃っぽい床の上でほうきを持った人の回転は、床に掃いた部分の視覚的な痕跡を残します）。

3 次元幾何学では、「時計回り」と「反時計回り」には絶対的な意味がないため、正の角度と負の角度の方向は方向によって定義する必要があります。方向は通常、角度の頂点を通り、角度の光線が存在する平面に垂直な 法線ベクトルによって決定されます。

航海において、方位角は北を基準として測定されます。慣例的に、上空から見た場合、方位角は時計回りが正方向となるため、方位45°は北東方向に対応します。航海では方位角の負の値は使用されないため、北西方向は方位315°に相当します。

同等の角度

  • 同じ大きさ（つまり、同じ大きさ）を持つ角度は、等しい、または合同であると言われます。角度はその大きさによって定義され、角度を構成する辺の長さには依存しません（例えば、すべての直角の大きさは等しい）。
  • 終端の辺を共有しているが、回転の整数倍の大きさが異なる 2 つの角度を、共通終端角と呼びます。
  • 標準位置における任意の角度θの基準角（関連角と呼ばれることもある）は、 θの終端とx軸（正または負）の間の正の鋭角である。[ 51 ]手順的には、与えられた角度に対する基準角の大きさは、角度の大きさを法として決定することができる。1/2⁠回転、180°、またはπラジアン回転し、鋭角の場合は停止し、そうでない場合は180°から減じた大きさを引いた補角を取ります。例えば、30度の角度はすでに基準角であり、150度の角度も基準角は30度です（180° − 150°）。210°と510°の角度も基準角30度に対応します（210° mod 180° = 30°、510° mod 180° = 150°で、その補角は30°です）。

角度の単位については、角度の加算公理が成り立つことが定義上は明らかですが、角度に関連するいくつかの測定値や量の中には、この公理を満たさないものもあります。

  • 勾配は角度の正接に等しく、多くの場合、パーセンテージ（「上昇」÷「下降」）で表されます。非常に小さい値（5%未満）の場合、線の勾配は、水平方向に対する角度のラジアン値とほぼ等しくなります。標高勾配は、道路、歩道、鉄道の線路の勾配を示すために使用される勾配です。
  • 有理幾何学では、2直線間の広がりは、直線間の角度の正弦の2乗として定義されます。ある角度の正弦とその補角の正弦は同じなので、一方の直線をもう一方の直線に写像する回転角度は、直線間の広がりと同じ値になります。
  • めったに行われませんが、角度の正弦など、三角関数の直接的な結果を報告することもできます。

曲線間の角度

P における 2 つの曲線間の角度は、 Pにおける接線Aと接線B間の角度として定義されます。

直線と曲線の間の角度（混合角）または交差する2つの曲線の間の角度（曲線角）は、交差点における接線間の角度と定義されます。特定のケースには様々な名称が付けられてきました（現在ではほとんど使われていませんが）。例えば、両円形（ギリシャ語ἀμφί、両側に凸、κυρτός、凸）またはシソイド状（ギリシャ語 κισσός、ツタ）、両凸、軸状またはシストロイド状（ギリシャ語 ξυστρίς、削るための道具）、凹凸、両凹（ギリシャ語 κοίλη、窪み）、または月状角（ angulus lunularis、両凹）などです。[ 52 ]

角度の二等分と三等分

古代ギリシャの数学者たちは、コンパスと定規だけを使って角を二等分する方法（等しい大きさの二つの角に分ける方法）を知っていましたが、三等分できるのは特定の角だけでした。1837年、ピエール・ヴァンツェルは、この作図法はほとんどの角では不可能であることを示しました。

ドット積と一般化

ユークリッド空間において、2つのユークリッドベクトルuとvの間の角度θは、それらの内積と長さと次の式 で関係している。あなた⋅v＝コス⁡（θ）‖あなた‖‖v‖。{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}

この式は、法線ベクトルから 2 つの平面 (または曲面) 間の角度を、ベクトル方程式から 斜線間の角度を簡単に求める方法を提供します。

内積

抽象的な実内積空間における角度を定義するために、ユークリッド内積（·）を内積に置き換える。すなわち、 ⟨⋅、⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }⟨あなた、v⟩＝コス⁡（θ） ‖あなた‖‖v‖。{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}

複素内積空間では、上記の余弦の式は実数値ではない場合があるため、次のように置き換えられる。 あるいは、より一般的には絶対値を使用して次のように置き換えられる。 再⁡（⟨あなた、v⟩）＝コス⁡（θ）‖あなた‖‖v‖。{\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}|⟨u,v⟩|=|cos⁡(θ)|‖u‖‖v‖.{\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}

後者の定義はベクトルの方向を無視します。つまり、ベクトルとが張る1次元部分空間と間の角度を記述します。 span⁡(u){\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}span⁡(v){\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}u{\displaystyle \mathbf {u} }v{\displaystyle \mathbf {v} }

部分空間間の角度

ヒルベルト空間 における1次元部分空間との 間の角度の定義は、有限次元の部分空間に拡張できます。と の2つの部分空間が与えられた場合、部分空間間の正準角または主角と呼ばれる角度の定義が得られます。 span⁡(u){\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}span⁡(v){\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}|⟨u,v⟩|=|cos⁡(θ)|‖u‖‖v‖{\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}U{\displaystyle {\mathcal {U}}}W{\displaystyle {\mathcal {W}}}dim⁡(U):=k≤dim⁡(W):=l{\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}k{\displaystyle k}

リーマン幾何学における角度

リーマン幾何学では、計量テンソルは2つの接線間の角度を定義するために用いられる。ここで、UとVは接線ベクトルであり、g ij は計量テンソルGの成分である。 cos⁡θ=gijUiVj|gijUiUj||gijViVj|.{\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}

双曲角

双曲回転の下での一定の双曲角 (0.2) は、可変の円角に対応します。

双曲角は双曲関数の引数であり、円角は円関数の引数である。この比較は、双曲扇形と円扇形の開口部の大きさとして視覚化することができる。なぜなら、これらの扇形の面積は、それぞれの場合の角度の大きさに対応するからである。 [ 53 ]円角とは異なり、双曲角は無制限である。円関数と双曲関数を角度引数における無限級数として見ると、円関数は双曲関数の交代級数形式にすぎない。角度の関数に対応するこの2つの級数の比較は、レオンハルト・オイラーの『無限の解析入門』 （1748年）で説明されている。

歴史と語源

角度（angle）という語は、ラテン語の「角」を意味するangulusに由来する。同義語には、ギリシャ語の「曲がった、湾曲した」を意味するἀγκύλος（ankylοs）や英語の「足首（ankle ）」などがある。どちらもインド・ヨーロッパ祖語の「曲げる」または「屈む」を意味する語根*ank-と関連している。 [ 54 ]

哲学者たちは数千年にわたって角度の性質について議論してきた。ある者は角度は量（尺度）であると主張し、ある者は角度はそれを囲む線によって定義される一種の形状（質的関係）であると主張し、またある者は角度はその両方であると主張した。[ 55 ]教育学的には、角度は図形として定義され、角度の尺度は、角度とその内部を覆うのに必要な単位角の同型で重なり合わないコピーの数として定義されるというのが、受け入れられている答えである。角度は、大きさが等しく、形状が相似または合同であると言われている。 [ 56 ]

ユークリッドは平面角を、平面上において互いに交わり、かつ互いに対して直線ではない2本の直線の傾きと定義した。新プラトン主義の形而上学者プロクロスによれば、角度は質、量、あるいは関係のいずれかでなければならない。最初の概念である質としての角度は、ロドスのエウデモスによって用いられ、彼は角度を直線からの偏差とみなした。2番目の概念である量としての角度は、アンティオキアのカルプスによって用いられ、彼は角度を交差する直線間の間隔または空間とみなした。ユークリッドは3番目の概念である関係としての角度を採用した。[ 57 ]

頂角定理

垂直に向かい合った角が等しいことは、鉛直角定理と呼ばれています。ロドスのエウデモスは、その証明をミレトスのタレスに帰しました。[ 58 ] [ 23 ]この命題は、一対の鉛直角の両方が隣接する角の両方の補角であるため、鉛直角の大きさが等しいことを示しています。歴史的記録によると、[ 23 ]タレスがエジプトを訪れたとき、エジプト人が2本の交差する線を引くときはいつでも、鉛直角を測定して等しいことを確認しているのを観察しました。タレスは、次のような一般的な概念を受け入れれば、すべての鉛直角が等しいと証明できると結論付けました。

  • すべての直角は等しい。
  • 等しいものに等しいものを足すと、等しいです。
  • 等しいものから等しいものを引けば等しい。

隣接する 2 つの角が直線を形成する場合、それらの角は補角です。したがって、角Aの角度がx に等しいと仮定すると、角Cの角度は180° − xになります。同様に、角Dの角度は180° − xです。角Cと角Dはどちらも180° − xに等しく、合同です。角B は角Cと角Dの両方に対して補角であるため、これらの角度のいずれかの角度の角度を使用して、角Bの角度を決定できます。角Cまたは角Dのいずれかの角度の角度を使用して、角Bの角度が180° − (180° − x ) = xであるとわかります。したがって、角Aと角Bはどちらもxに等しく、角度が等しくなります。

地理学と天文学における角度

地理学では、地球上のあらゆる地点の位置は地理座標系を用いて特定できます。この座標系は、赤道と（通常は）グリニッジ子午線を基準として、地球の中心を基準とした角度で​​、あらゆる地点の緯度と経度を指定します。

天文学において、天球上の任意の点（つまり、天体の見かけの位置）は、いくつかの天文座標系を用いて特定できます。これらの座標系では、基準となるものはシステムによって異なります。天文学者は、地球の中心を通る2本の線を想像し、それぞれの線が2つの星の1つと交差するようにすることで、2つの星の角度差を測定します。これらの線の間の角度と、2つの星の角度差を測定することができます。

地理学と天文学の両方において、視線方向は、地平線に対する高度角や仰角などの垂直角、および北に対する方位角で指定できます。

天文学者は物体の見かけの大きさを角直径で測ります。例えば、地球から見た満月の角直径は約0.5°、つまり30分角です。「月の直径は0.5度の角度を占めている」と言えるでしょう。小角の公式は、このような角度測定値を距離と大きさの比に変換することができます。

その他の天文学的な近似値は次のとおりです。

  • 0.5°は、地球から見た太陽と月のおおよその角度直径です。
  • 1°は、腕を伸ばしたときの小指の角度のおおよその幅です。
  • 10°は、腕を伸ばした状態で握りこぶしを握ったときのおおよその角度です。
  • 20°は、腕を伸ばしたときの手の幅のおおよその角度です。

これらの測定値は個々の被験者によって異なるため、上記はあくまでも大まかな目安として扱ってください。

天文学では、赤経は通常、1日24時間に基づいた時間で表された角度単位で測定されます。[ 59 ]

ユニットシンボル学位ラジアンターン他の
時間 h15°π ⁄ 12ラジアン1 ⁄ 24回転
分 メートル0°15′π ⁄ 720ラジアン1 ⁄1440ターン1 ⁄ 60時間
2番 s0°0′15″π ⁄43,200ラド​1 ⁄86 400ターン1 ⁄ 60分

参照

注記

  1. ^しかしながら、このアプローチでは、「測定単位の選択」の問題に加えて、角度の度合いが半径rの変化に伴って変化しないという追加の証明が必要になります。よりスムーズなアプローチは、対応する単位円弧の長さで角度を測定することです。ここで「単位」は、実数直線上の単位線分に関連付けられた実数 1 という意味で無次元に選択できます。例えば、 Dimitrić (2012)を参照してください。
  1. ^角扇形は、2つの回転した半平面の交差または和（それぞれ鋭角または鈍角の場合）の組み合わせによって構成できます。 [ 9 ] [ 10 ]これは、無限半径の円扇形と平らな半直線束に対応します。 [ 11 ]

参考文献

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参考文献

この記事には、現在パブリックドメインとなっている出版物のテキストが含まれています： ヒュー・チザム編（1911年）「アングル」、ブリタニカ百科事典第2巻（第11版）、ケンブリッジ大学出版局、14ページ

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