定義域（数学解析）

数学解析において、定義域または領域とは、位相空間における空でない連結な開集合です。特に、実座標空間R ⁿまたは複素座標空間C ⁿの空でない連結な開部分集合です。座標空間の連結な開部分集合は、関数の定義域としてよく用いられます。^{[ 1 ]}

空間の連結部分集合という基本的な考え方は19世紀に遡るが、概念の発展や用語のドイツ語、フランス語、英語の文献間での翻訳に伴い、正確な定義は世代、著者、版によって若干異なっている。英語では、ドメイン（domain ）という用語を使用する著者もいれば、^{[ 2 ]}領域（region ）という用語を使用する著者もいる。 ^{[ 3 ]}両方の用語を互換的に使用する著者もいる。[ ^{4 ]また}、2つの用語を若干異なる意味で定義する著者もいる。^{[ 5 ]}曖昧さを避けるために、空でない連結開部分集合（non-empty connected open subset）などの語句を使用する著者もいる。^{[ 6 ]}

慣例

一般的な慣例の一つは、定義域を連結した開集合として定義し、領域をその極限点を全く持たない、一部を持つ、またはすべてを持つ領域の和集合として定義することです。^{[ 7 ]}閉領域または閉領域は、定義域とそのすべての極限点の和集合です

領域境界の滑らかさの程度は、領域上で定義される関数の様々な性質、例えば積分定理（グリーンの定理、ストークスの定理）、ソボレフ空間の性質、境界上の測度やトレース空間（境界上で定義される一般関数）の定義などを満たすために必要となる。一般的に考えられる領域の種類としては、連続境界を持つ領域、リプシッツ境界、C ¹境界などがある。

有界領域とは、有界な、つまり何らかの球体に含まれる 領域です。有界領域も同様に定義されます。外域とは、補領域が有界な領域であり、その境界には平滑性条件が課される場合もあります。

複素解析において、複素領域（または単に領域）とは、複素平面Cの任意の連結した開部分集合のことである。例えば、複素平面全体は領域であり、開単位円板、開上半平面なども領域である。複素領域はしばしば正則関数の定義域として用いられる。多変数複素関数の研究では、領域の定義域はC ⁿの任意の連結した開部分集合を含むように拡張される。

ユークリッド空間では、1 次元、2 次元、3 次元の領域は曲線、面、立体であり、その範囲はそれぞれ長さ、面積、体積と呼ばれます。

歴史的注釈

定義：開集合は、2つの開集合の和として表すことができないとき、連結である。開連結集合は定義域と呼ばれる

ドイツ語: Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann。 Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet。

— コンスタンタン・カラテオドリ（カラテオドリ 1918、222ページ）

ハンス・ハーン^{[ 8 ]}によると、開連結集合としてのドメインの概念は、コンスタンティン・カラテオドリによって彼の有名な著書（Carathéodory 1918）で導入されました。この定義において、カラテオドリは明らかに空でない分離集合を考慮しています。ハーンはまた、「 Gebiet」（ドメイン）という語が以前は開集合の同義語として時々使用されていたと述べています。^{[ 9 ]} 大まかな概念はより古いものです。19世紀から20世紀初頭にかけて、ドメインと領域という用語は明確な定義なしに非公式に（時には互換的に）使用されることが多かったのです。^{[ 10 ]}

しかし、「ドメイン」という用語は、密接に関連しながらもわずかに異なる概念を識別するために時折使用されました。例えば、カルロ・ミランダは、楕円偏微分方程式に関する影響力のあるモノグラフにおいて、「領域」という用語を開連結集合を識別するために使用しています。^{[ 11 ] [ 12 ]}また、「ドメイン」という用語を、内部連結された^{[ 13 ]}完全集合（各点は内点の集積点です）を識別するために留保しています。 ^{[ 11 ]}これは、彼のかつての師であるマウロ・ピコーネに倣ったものです。^{[ 14 ]}この慣例によれば、集合Aが領域である場合、その閉包Aはドメインです。^{[ 11 ]}

参照

• 解析多面体 - 解析関数で囲まれた複素n次元空間の部分集合
• カチョポリ集合 – 有限測度の境界を持つ領域
• エルミート対称空間#古典領域 – 反転対称性を持つ多様体
• 区間（数学）  – 与えられた2つの数値の間にあるすべての数値
• リプシッツ領域 – 境界が十分に正則なユークリッド空間内の領域
• ホワイトヘッドの点自由幾何学 – 領域に基づく幾何学理論

注

1. 、位相空間ではない集合上でも関数が定義される場合があることに注意してください。詳細については、関連するWikipediaの項目を参照してください
2. たとえば ( Sveshnikov & Tikhonov 1978、 §1.3 pp. 21–22 )。
3. たとえば、 ( Churchill 1948、 §1.9 pp. 16–17 )、( Ahlfors 1953、 §2.2 p. 58 )、( Rudin 1974、 §10.1 p. 213 ) では、関数の定義域に「ドメイン」という用語が予約されており、 ( Carathéodory 1964、 p. 97 )では、連結された開集合に「領域」という用語が使用され、連結された閉集合に「連続体」という用語が使用されています。
4. 例えば（ Townsend 1915、 §10、p.20）；（ Carrier、Krook、Pearson 1966、 §2.2、p.32）。
5. 例えば ( Churchill 1960、 §1.9 p. 17 ) では、領域が接続されているか開いていることを要求していません。
6. 例えば ( Dieudonné 1960 , §3.19 pp. 64–67 ) では一般に開連結集合という語句が使われているが、後に単連結領域を定義している( §9.7 p. 215 ); Tao, Terence (2016). "246A, 注 2: 複素積分"。また、( Bremermann 1956 )は領域を開集合、定義域を連結開集合と呼んだ。
7. 例えば ( Fuchs & Shabat 1964 , §6 pp. 22–23 ); ( Kreyszig 1972 , §11.1 p. 469 ); ( Kwok 2002 , §1.4, p. 23.)
8. ( Hahn 1921、 p.85脚注1を参照)。
9. Hahn (1921、 p. 61 脚注 3 ) は、開集合 (「offene Menge」) の定義についてコメントし、正確に次のように述べています:-「 Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung "Gebiet" in Gebrauch, die wir (§ 5, S. 85) anders verwenden werden. " (無料英語翻訳:-")「Gebiet」はそのような点セットに時々使用されましたが、(§ 5、p. 85) では別の意味で使用されます。
10. 例えば ( Forsyth 1893 ) は、用語「領域」を非公式な表現「 z平面の部分」と並べて全体を通して非公式に (例えば、 §16、p. 21 ) 使用し、関数 f の点 a の定義域を、 f が正則である a の最大の r 近傍と定義しています(§32、p . 52 )。影響力のある教科書の初版( Whittaker 1902)では、用語「領域」と「領域」を非公式に、明らかに互換的に使用しています。第 2 版 ( Whittaker & Watson 1915、 §3.21、p. 44 )では、開領域を単純な閉曲線の内部と、閉領域または定義域を境界曲線に沿った開領域と定義しています。 ( Goursat 1905、 §262、p. 10 ) では、 région [領域] またはaire [面積] を平面の接続された部分と定義しています。 （タウンゼント 1915、 §10、p. 20）は、領域またはドメインを、内部の点のみで構成される複素平面の連結された部分として定義します。
11. (Miranda  1955、p. 1、1970 、 p. 2) を参照。
12. 正確には、ミランダ（1955年、1ページ）は、彼のモノグラフの初版で、文字通り「畑」を意味するイタリア語の「 campo」という用語を使用しており、これは農業における意味に似ています。この本の第2版では、ゼイン・C・モッテラーがこの用語を「地域」と適切に翻訳しています。
13. 内部連結集合とは、その内部が連結された集合のことである。
14. ( Picone 1923、66ページを参照)。

参考文献

• アルフォース、ラース(1953).複素解析. マグロウヒル
• Bremermann, HJ (1956). 「複素凸性」 .アメリカ数学会誌. 82 (1): 17–51 . doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR  1992976 .
• カラテオドリ、コンスタンティン（1918）。Vorlesungen über reelle Funktionen [実関数に関する講義] (ドイツ語)。 BG・トイブナー。JFM  46.0376.12。MR  0225940。1968年に再版（チェルシー）。
• カラテオドリ、コンスタンティン (1964) [1954].複素変数関数論 第1巻（第2版）. チェルシー.Carathéodory, Constantin (1950). Functionentheorie I (ドイツ語). Birkhäuser.の英訳。
• キャリア、ジョージ、クルック、マックス、ピアソン、カール (1966). 『複素変数関数：理論と技法』マグロウヒル.
• チャーチル、リュエル（1948年）『複素変数とその応用入門』（第1版）マグロウヒル社。チャーチル、ルーエル（1960年）『複素変数とその応用』（第2版）マグロウヒル社、ISBN 9780070108530。
• ジャン・ディウドネ（1960年）『現代分析の基礎』アカデミック・プレス
• イヴス、ハワード（1966年）『複素変数の関数』プリンドル、ウェーバー、シュミット共著、p.105。
• フォーサイス、アンドリュー(1893). 『複素変数関数論』 ケンブリッジ. JFM  25.0652.01 .
• フックス、ボリス；シャバット、ボリス（1964）『複素変数関数とその応用』第1巻、ペルガモン。Фукс、Борисの英語訳。 Шабат、Борис（1949）。Функции комплексного переменного и некоторые их приложения (PDF) (ロシア語)。 Физматгиз。
• グルサ、エドゥアール（1905）。Cours d'analyse mathématique、第 2 巻[数学的解析のコース、第 2 巻。 2 ] (フランス語)。ゴーティエ・ヴィラール。
• ハーン、ハンス（1921年）。機能理論。 Erster Band [実関数の理論、vol.私]（ドイツ語）。スプリンガー。JFM  48.0261.09。
• クランツ、スティーブン、パークス、ハロルド(1999).空間における領域の幾何学. ビルクハウザー.
• クレイジグ、エルウィン(1972) [1962].先端工学数学（第3版）. ワイリー. ISBN 9780471507284。
• クォック、ユエ・クエン（2002）『科学者とエンジニアのための応用複素変数』ケンブリッジ
• ミランダ、カルロ（1955年）。Equazioni alle derivate parziali ditipo ellittico (イタリア語)。スプリンガー。MR  0087853。Zbl  0065.08503。Miranda, Carlo (1970).楕円型偏微分方程式. Motteler, Zane C.訳(第2版). Springer. MR 0284700 . Zbl 0198.14101 .  
• ピコーネ、マウロ(1923)。「パルテ・プリマ – ラ・デリヴァツィオーネ」(PDF)。Lezioni di analisi infinitesimale、vol. I [無限小解析のレッスン] (イタリア語)。チルコロ・マテマティコ・ディ・カターニア。JFM  49.0172.07。
• ルディン、ウォルター(1974) [1966].実解析と複素解析（第2版）. マグロウヒル. ISBN 9780070542334。
• ソロメンツェフ、エフゲニー (2001) [1994]、「ドメイン」、数学百科事典、EMSプレス
• スヴェシュニコフ、アレクセイ；ティホノフ、アンドレイ(1978). 『複素変数関数の理論』ミール社.Свезников、Алексейの英語訳。 Ти́хонов、Андре́й（1967）。Теория функций комплексной переменной (ロシア語)。 Наука。
• タウンゼント、エドガー (1915).複素変数関数. ホルト.
• ウィテカー、エドマンド（1902年）『現代分析講座』（第1版）ケンブリッジ、JFM  33.0390.01。ウィテカー、エドマンド、ワトソン、ジョージ（1915年）『現代分析講座』（第2版）ケンブリッジ大学出版。