カチョッポリセット

数学において、カチョポリ集合とは、境界が（適切な意味で）測定可能であり、（少なくとも局所的に）有限の測度を持つの部分集合である。同義語は、 （局所的に）有限の周長を持つ集合である。基本的に、集合の特性関数が有界な変化の関数であり、その周長が特性関数の全変化である 場合、その集合はカチョポリ集合である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

歴史

カチョッポリ集合の基本概念は、イタリアの数学者レナト・カチョッポリが論文 ( Caccioppoli 1927 ) で初めて導入した。平面集合または平面上の開集合上に定義された面を考え、その測度または面積を、その定義関数、つまりその媒介変数方程式のTonelliの意味における全変化として定義したが、ただしこの量は有界であると仮定した。集合の境界の測度は、関数、正確には集合関数として初めて定義された。また、開集合上で定義されているため、すべてのボレル集合上で定義でき、その値は部分集合の増加ネット上で取る値で近似できる。この関数のもう 1 つの明確に述べられ (かつ実証された) プロパティは、その下側半連続性である。

論文 ( Caccioppoli 1928 ) で、彼は、開領域を近似する増加ネットとして三角形メッシュを使用し、合計が全変化、つまり関数の領域となる正と負の変化を定義することで、 を明確化しました。彼自身が明確に認めているように、彼の刺激的な観点は、ジュゼッペ・ペアノの観点であり、ペアノ-ジョルダン測度で表現されています。つまり、近似弦が曲線に関連付けられているのと同様に、方向付けられた平面領域を曲面のあらゆる部分に関連付けることです。また、この理論に見られるもう 1 つのテーマは、関数を部分空間から周囲空間全体に拡張することでした。ハーン-バナッハの定理を一般化する定理の使用は、Caccioppoli の研究では頻繁に遭遇します。ただし、トネッリの意味での全変化の限定された意味は、理論の形式的な展開を非常に複雑にし、セットの媒介変数による記述の使用はその範囲を制限しました。

ランベルト・チェザーリは、 1936年にようやく有界変分関数の「正しい」一般化を多変数の場合に導入した。^{[ 1 ]}おそらくこれが、カチョッポリが理論の改良版を、1951年10月に開催された第4回UMI会議における講演（Caccioppoli 1953）で発表し、その後リンチェイ国立アカデミーのRendiconti誌に5つの論文を発表するに至った理由の一つであろう。これらの論文は、ローレンス・チザム・ヤングによってMathematical Reviews誌で厳しく批判された。^{[ 2 ]}

1952年、エンニオ・デ・ジョルジはオーストリア数学会のザルツブルク会議で、カチョッポリのアイデアを発展させ、集合の境界の測度の定義に関する最初の結果を発表しました。彼は、ガウス関数から構築された、軟化器に類似した平滑化演算子 を使用することでこの結果を取得し、カチョッポリのいくつかの結果を独立に証明しました。おそらく、彼は教師であり友人でもあるマウロ・ピコーネによってこの理論を研究するように導かれました。ピコーネもカチョッポリの教師であり、同様に彼の友人でもありました。デ・ジョルジは1953年に初めてカチョッポリに会っています。会ったとき、カチョッポリは彼の仕事に深い感謝の意を表し、生涯にわたる友情が始まりました。^{[ 3 ]}同じ年、彼は ie のトピックに関する最初の論文を発表しました ( De Giorgi 1953 )。しかし、この論文と直後の論文は数学者コミュニティから大きな関心を集めませんでした。ローレンス・チザム・ヤングが数学評論誌^{[ 4 ]}で再度論評した論文（デ・ジョルジ1954 ）によって初めて、彼の有限周囲の集合へのアプローチは広く知られ、評価されるようになった。また、この論評の中で、ヤングはカチョッポリの研究に対する以前の批判を修正した。

デ・ジョルジの周長論に関する最後の論文は1958年に発表された。カチョッポリの死後、1959年に彼は有限周長の集合を「カチョッポリ集合」と呼ぶようになった。2年後、ハーバート・フェデラーとウェンデル・フレミングは論文（Federer & Fleming 1960）を発表し、理論へのアプローチを変えた。彼らは基本的に、それぞれ正規流と積分流という2種類の新しい流を導入した。フェデラーはその後の一連の論文と彼の有名な論文^{[ 5 ]}において、カチョッポリ集合が次元ユークリッド空間における次元の正規流であることを示した。しかしながら、カチョッポリ集合の理論は流長論の枠組みの中で研究できるとしても、数学および数理物理学の多くの重要なモノグラフの様々なセクションが証明しているように、有界変分関数を用いた「伝統的な」アプローチを通して研究するのが通例である。^{[ 6 ]}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

正式な定義

以下では、次元設定における有界変化関数の定義と特性を使用します。 ${\displaystyle n}$

カチョッポリの定義

定義1 .を の開部分集合とし、をボレル集合とする。におけるの周長は以下のように定義される。 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle P(E,\Omega )=V\left(\chi _{E},\Omega \right):=\sup \left\{\int _{\Omega }\chi _{E}(x)\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \|{\boldsymbol {\phi }}\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

ここではの特性関数です。つまり、開集合におけるの周長は、その開集合における の特性関数の全変分として定義されます。 の場合には、 （大域）周長を と 書きます。${\displaystyle \chi _{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P(E)=P(E,\mathbb {R} ^{n})}$

定義2ボレル集合がカチョポリ集合であるための必要十分条件は、のすべての有界開部分集合において有限の周長を持つ場合、 すなわち${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle P(E,\オメガ)<+\infty }$ いつでも開いていて境界がある。${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

したがって、カチョポリ集合は、その全変化が局所的に有界である特性関数を持つ。有界変化関数の理論から、これはベクトル値ラドン測度の存在を意味し、 ${\displaystyle D\chi _{E}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\chi _{E}(x)\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\mathrm {d} x=\int _{E}\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

有界変動の一般関数の場合と同様に、このベクトル測度は の分布勾配または弱勾配である。 に関連付けられた全変動測度はで表され、すなわち、任意の開集合 に対してと書ける。 ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle \chi _{E}}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|(\Omega )}$ ${\displaystyle P(E,\Omega )=V(\chi _{E},\Omega )}$

デ・ジョルジの定義

エンニオ・デ・ジョルジは論文（デ・ジョルジ1953）と（デ・ジョルジ1954）の中で、1次元の場合 のワイエルシュトラス変換に類似した次の平滑化演算子を導入している。

${\displaystyle W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g_{\lambda }(xy)\chi _{E}(y)\mathrm {d} y=(\pi \lambda )^{-{\frac {n}{2}}}\int _{E}e^{-{\frac {(xy)^{2}}{\lambda }}}\mathrm {d} y}$

簡単に証明できるように、はすべての に対して滑らかな関数であり、 ${\displaystyle W_{\lambda }\chi (x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \to 0}W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\chi _{E}(x)}$

また、その勾配はどこでも明確に定義されており、その絶対値も同様である。

${\displaystyle \nabla W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\mathrm {grad} W_{\lambda }\chi _{E}(x)=DW_{\lambda }\chi _{E}(x)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{n}}}\\\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow \left|DW_{\lambda }\chi _{E}(x)\right|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}\left|{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{k}}}\right|^{2}}}}$

この関数を定義した後、De Giorgi は周囲の次の定義を与えています。

定義3。を の開部分集合とし、 をボレル集合とする。におけるの周長は、 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle P(E,\Omega )=\lim _{\lambda \to 0}\int _{\Omega }|DW_{\lambda }\chi _{E}(x)|\mathrm {d} x}$

実際にデ・ジョルジはこのようなケースを検討したが、一般の場合への拡張は難しくない。2つの定義は完全に等価であることが証明できる。証明については、既に引用したデ・ジョルジの論文または書籍（Giusti 1984 ）を参照のこと。ここで、周長とは何かを定義した上で、デ・ジョルジは（局所的に）有限な周長の集合についても同様の定義2を与えている。 ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$

基本的なプロパティ

以下の特性は、周囲の一般的な概念が持つと想定される通常の特性です。

• のとき、の閉包がのコンパクト部分集合である場合に限り、等式が成立します。${\displaystyle \Omega \subseteq \Omega _{1}}$ ${\displaystyle P(E,\Omega )\leq P(E,\Omega _{1})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$
• 任意の 2 つの Cacciopoli 集合およびに対して、関係が成立し、 の場合にのみ等式が成立します。ここで、はユークリッド空間における集合間の距離です。${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle P(E_{1}\cup E_{2},\Omega )\leq P(E_{1},\Omega )+P(E_{2},\Omega _{1})}$ ${\displaystyle d(E_{1},E_{2})>0}$ ${\displaystyle d}$
• のルベーグ測度がの場合、次のようになります。これは、 2 つの集合の対称差のルベーグ測度が 0 であれば、2 つの集合の周囲長は同じ、つまり になることを意味します。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle P(E)=0}$ ${\displaystyle E_{1}\triangle E_{2}}$ ${\displaystyle P(E_{1})=P(E_{2})}$

境界の概念

任意のカチョポリ集合に対して、自然に関連する2つの解析量、すなわちベクトル値のラドン測度とその全変動測度が存在する。 ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$

${\displaystyle P(E,\Omega )=|D\chi _{E}|(\Omega )}$

は任意の開集合 内の周囲長なので、のみで の周囲長を説明できるはずです。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle E}$

位相境界

オブジェクト、、および位相境界の関係を理解し​​ようとするのは自然なことです。 の（超関数の意味での）台、したがって も が常にに含まれることを保証する基本補題があります。 ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$ ${\displaystyle \partial E}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$ ${\displaystyle \partial E}$

補題. ベクトル値ラドン測度の台はの位相境界の部分集合である。 ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle \partial E}$ ${\displaystyle E}$

証明。これを確認するには、 を選択してください。すると は開集合に属し、これはの内部または の内部に含まれる開近傍に属することを意味します。 とします。が の閉包である場合、に対しておよび ${\displaystyle x_{0}\notin \partial E}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \partial E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus E}$ ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(A;\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle A\subseteq (\mathbb {R} ^{n}\setminus E)^{\circ }=\mathbb {R} ^{n}\setminus E^{-}}$ ${\displaystyle E^{-}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \chi _{E}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle =-\int _{A}\chi _{E}(x)\,\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=0}$

同様に、もしそう ならば${\displaystyle A\subseteq E^{\circ }}$ ${\displaystyle \chi _{E}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle =-\int _{A}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=0}$

任意 を使用すると、は のサポート外になります。 ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(A,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$

縮小された境界

位相境界はカチョポリ集合に対しては粗すぎることが判明した。なぜなら、そのハウスドルフ測度は上で定義した周長を過剰に補償するからである。実際、カチョポリ集合は ${\displaystyle \partial E}$ ${\displaystyle P(E)}$

${\displaystyle E=\{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}\cup \{(x,0):-1\leq x\leq 1\}\subset \mathbb {R} ^{2}}$

正方形と左に突き出た線分は周囲長を持ち、つまり余分な線分は無視されるが、その位相境界は ${\displaystyle P(E)=4}$

${\displaystyle \partial E=\{(x,0):-1\leq x\leq 1\}\cup \{(x,1):0\leq x\leq 1\}\cup \{(x,y):x\in \{0,1\},0\leq y\leq 1\}}$

1次元のハウスドルフ測度を持つ。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(\partial E)=5}$

したがって、「正しい」境界は の部分集合となるはずである。以下を定義する。 ${\displaystyle \partial E}$

定義4 .カチョッポリ集合の縮小境界は で表され、 は、次の極限を 満たす点の集合と等しいと定義される。${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \nu _{E}(x):=\lim _{\rho \downarrow 0}{\frac {D\chi _{E}(B_{\rho }(x))}{|D\chi _{E}|(B_{\rho }(x))}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

が存在し、長さは 1 です (つまり ) 。 ${\displaystyle |\nu _{E}(x)|=1}$

ラドン・ニコディムの定理によれば、被約境界は必然的に のサポートに含まれ、そのサポートは上のセクションで説明したように位相境界に含まれることがわかります。つまり、 ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle \partial E}$

${\displaystyle \partial ^{*}E\subseteq \operatorname {support} D\chi _{E}\subseteq \partial E}$

上記の包含関係は、前の例が示すように必ずしも等式ではありません。前の例では、は突出した線分を持つ正方形、は正方形、は四隅のない正方形です。 ${\displaystyle \partial E}$ ${\displaystyle \operatorname {support} D\chi _{E}}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$

デ・ジョルジの定理

便宜上、この節では の場合、すなわち集合が（大域的に）有限の周長を持つ場合のみを扱う。デ・ジョルジの定理は、縮約境界の概念に対する幾何学的直観を与え、カチョッポリ集合に対するより自然な定義であることを、次の式で証明する。 ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle P(E)\left(=\int |D\chi _{E}|\right)={\mathcal {H}}^{n-1}(\partial ^{*}E)}$

すなわち、そのハウスドルフ測度は集合の周囲長に等しい。この定理の記述は、様々な幾何学的概念を一挙に関連付けているため、かなり長くなる。

定理。がカチョッポリ集合であるとする。すると、被約境界の各点においての重複度1の近似接空間、すなわち の余次元1の部分空間が存在し、${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle T_{x}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$ ${\displaystyle T_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\lambda ^{-1}(z-x))|D\chi _{E}|(z)=\int _{T_{x}}f(y)\,d{\mathcal {H}}^{n-1}(y)}$

任意の連続コンパクトに支えられた に対して成り立つ。実際、部分空間は単位ベクトルの 直交補空間である。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{x}}$

${\displaystyle \nu _{E}(x)=\lim _{\rho \downarrow 0}{\frac {D\chi _{E}(B_{\rho }(x))}{|D\chi _{E}|(B_{\rho }(x))}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

前に定義した単位ベクトルも満たす。

${\displaystyle \lim _{\lambda \downarrow 0}\left\{\lambda ^{-1}(z-x):z\in E\right\}\to \left\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot \nu _{E}(x)>0\right\}}$

は局所的に となるので、縮約境界 への近似的な内向き単位法線ベクトルとして解釈される。最後に、は(n-1)-平行化可能であり、(n-1)-次元ハウスドルフ測度のへの制限はとなる。 すなわち、${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$

${\displaystyle |D\chi _{E}|(A)={\mathcal {H}}^{n-1}(A\cap \partial ^{*}E)}$ すべてのボレル集合に対して。${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$

言い換えれば、- 測度がゼロになるまで、縮小された境界はサポートされる最小の集合です。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$

アプリケーション

ガウス・グリーンの公式

ベクトルラドン測定 の定義と周囲の長さの特性から、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle D\chi _{E}}$

${\displaystyle \int _{E}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\partial E}\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle \qquad {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

これは、滑らかな境界を持たない領域に対する発散定理の一つのバージョンである。デ・ジョルジの定理は、同じ恒等式を、縮約境界と近似的な内向きの単位法線ベクトルを用いて定式化するために用いることができる。正確には、次の等式が成立する。 ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle \nu _{E}}$

${\displaystyle \int _{E}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\partial ^{*}E}{\boldsymbol {\phi }}(x)\cdot \nu _{E}(x)\,\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-1}(x)\qquad {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

参照

• 幾何学的測度理論
• 発散定理
• プフェッファー積分

注記

1. 論文（ Cesari 1936 ）より。詳細については、 「境界変動」および「全変動」の項を参照
2. MR 0056067を参照。 
3. それは1959年にカチョッポリが悲劇的に死ぬまで続いた。
4. MR 0062214を参照。 
5. (フェデラー1996 )を参照。
6. 「参考文献」セクションを参照してください。

参考文献

歴史的参照

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• Caccioppoli、Renato (1953)、「Elementi di una teoria Generale dell'integrazione k -Dimensione in uno spazio n -Dimensione 」、Atti IV Congresso UMI、タオルミーナ、1951 年 10 月[ n次元空間におけるk次元積分の一般理論の要素] (イタリア語)、vol. 2、ローマ: エディツィオーニ クレモネーゼ ( Unione Matematica Italianaによって配布)、 41 ～ 49ページ 、 MR  0056067、Zbl  0051.29402有限周囲長集合の理論をかなり完全な設定で詳述した最初の論文。
• Caccioppoli、Renato (1963)、Opere scelte [厳選された論文]、Roma : Edizioni Cremonese ( Unione Matematica Italianaによって配布)、pp. XXX+434 (vol. 1)、350 (vol. 2)、ISBN 88-7083-505-7、Zbl  0112.28201カチョッポリの科学的著作の抜粋とマウロ・ピコーネの伝記および解説。
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• De Giorgi, Ennio (1954)、「Su una teoria Generale della missura ( r -1) -Dimensione in uno spazio ad r Dimensionsi」[ r次元空間における( r -1) - 次元尺度の一般理論について]、Annali di Matematica Pura ed Applicata、Serie IV (イタリア語)、36 (1): 191–213、doi : 10.1007/BF02412838、hdl：10338.dmlcz/126043、MR 0062214、S2CID 122418733、Zbl 0055.28504   デ・ジョルジによるカチョッポリ集合の理論の最初の完全な解説。
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科学的参考文献

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外部リンク

• オニール、トビー・クリストファー (2001) [1994]、「幾何学的測度論」、数学百科事典、EMSプレス
• ザガラー、ヴィクトル・アブラモビッチ（2001）[1994]、「周囲」、数学百科事典、EMSプレス
• 数学百科事典における有界変分関数