正多面体化合物の一覧

この記事では、ユークリッド空間、球面空間、双曲空間における正多面体化合物を一覧表示します。

二次元化合物

任意の自然数nに対して、m < n/2（厳密には{n/m}={n/(n−m)}）かつmとnが互いに素であるようなすべてのmに対して、シュレーフリ記号{n/m}を持つn角星型正多角形が存在します。mとnが互いに素でない場合、得られる星型多角形はn / m辺の正多角形になります。これらの正n / m角形を、元の多角形上で1頂点ずつ左に回転させ、回転した頂点の数がn / m - 1になるまで回転させ、これらの図形を組み合わせることで、新しい図形が得られます。極端な例として、n / mが2の場合、 n / 2個の直線部分からなる図形が生成されます。 これは退化した星型多角形と呼ばれます

nとm が共通因数を持つ場合、より小さいnに対して星型多角形が得られ、回転したものを組み合わせることができます。これらの図形は、星型図形、不完全星型多角形、または複合多角形と呼ばれます。これらの図形には { n / m }という表記がよく用いられますが、Grünbaum (1994) などの権威ある学者は（ある程度の根拠に基づき） k { n }という表記がより正確であると考えています。この場合、通常はk = mとなります。

さらに複雑なのは、2つ以上の星型多角形を合成する場合です。例えば、10角形に内接する、回転角が36°異なる2つの五芒星などです。これは、一般的に用いられる{10/4}ではなく、 k { n / m }の形式、つまり2{5/2}で正しく表記されます。

Coxeterの複合表記法はc { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}の形式をとり、d個の異なる{ p , q ,...}が{ m , n ,... }の頂点をc回、{ s , t ,... }の面をe回カバーすることを示します。正規の{ m , n ,...}が存在しない場合は、表記法の最初の部分が削除され、[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}が残ります。正規の{ s , t ,...}が存在しない場合は、その逆が成り立ちます。c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}の双対はe { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...} です。cまたはeが1 の場合は省略できます。複合多角形の場合、この表記は { nk }[ k { n / m }]{ nk } に簡約されます。例えば、六芒星は{6}[2{3}]{6} と表記されます。

n =2..10、nk ≤30 の例
2{2} 3{2} 4{2} 5{2} 6{2} 7{2} 8{2} 9{2} 10{2} 11{2} 12{2} 13{2} 14{2} 15{2}
2{3}3{3}4{3}5{3}6{3}7{3} 8{3} 9{3} 10{3} 2{4}3{4}4{4}5{4}6{4} 7{4}
2{5}3{5}4{5}5{5} 6{5} 2{5/2} 3 4 5 6 23{6}4{6} 5{6}
2{7}3{7} 4{7} 2{7/2} 3{7/2} 4{7/2} 2{7/3} 3{7/3} 4{7/3} 2{8}3{8} 2{8/3} 3{8/3}
2{9}3{9} 2{9/2} 3{9/2} 2{9/4} 3{9/4} 2{10}3{10} 2{10/3} 3{10/3}
2{11} 2{11/2} 2{11/3} 2{11/4} 2{11/5} 2{12}2{12/5} 2{13} 2{13/2} 2{13/3} 2{13/4} 2{13/5} 2{13/6}
2{14} 2{14/3} 2{14/5} 2{15}2{15/2} 2{15/4} 2{15/7}

正多角形は、例えば 反プリズムのプリズム複合の辺に見られるように、複合面も作ります

正多角形
複合傾斜正方形 複合斜め六角形 複合斜め十角形
2 {2}#{ } 3 {2}#{ } 2 {3}#{ } 2 {5/3}#{ }

三次元化合物

正多面体複合とは、正多面体と同様に、頂点推移、辺推移、面推移を持つ複合として定義できます。この定義では、5種類の正多面体複合が存在します。

対称性 [4,3], O h[5,3] + , I [5,3]、私はh
双対性 自己双対 双対
イメージ
球状
多面体 2 {3,3}5 {3,3}10 {3,3}5 {4,3}5 {3,4}
コクセター {4,3} [2 {3,3} ] {3,4}{5,3} [5 {3,3} ] {3,5}2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5}2 {5,3} [5 {4,3} ] [5 {3,4} ]2 {3,5}

通常の複合語に対する Coxeter の表記法は、 Schläfli 記号を組み込んだ上の表に示されています。角括弧内の要素 [ d { p , q }] は、複合語の要素を示します。つまり、d個の{ p、q } が分離しています。角括弧の前の要素は、複合語の頂点の配置を示します。c { m、n }[ d { p、q }] は、 d { p、q } が { m、n }の頂点をc回共有している複合語です。角括弧の後の要素は、複合語の面の配置を示します。[ d { p、q }] e { s、t } は、 d { p、q } が { s、t }の面をe回共有している複合語です。これらは組み合わせることもできる。つまり、c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t }は、{ m , n }の頂点をc回、 { s , t }の面をe回共有するd { p , q }の合成である。この記法は、任意の次元数の合成にも一般化できる。[ 1 ]

不完全な正多面体（二面体と細面体）が許容される場合、さらに2つの化合物が可能である：2{3,4}[3{4,2}]{4,3}とその双対である{3,4}[3{2,4}]2{4,3}。[ 2 ]

ユークリッド平面と双曲平面の複合

ユークリッド平面の正則複合タイル分割には、2パラメータの族が18個存在する。双曲平面では、1パラメータの族が5個と孤立したケースが17個知られているが、このリストの完全性はまだ証明されていない。[ 2 ]

ユークリッド正則化合物[ 2 ]
モザイク模様 条件
自己双対
{4,4}[(b 2 +c 2 ){4,4}]{4,4} b ≥ c ≥ 0, b > 0
2{4,4}[2(b 2 +c 2 ){4,4}]2{4,4} bc(b − c) > 0
双対
{3,6}[(b 2 +bc+c 2 ){3,6}]2{6,3} 2{3,6}[(b 2 +bc+c 2 ){6,3}]{6,3} b ≡ c 3 を法として
2{3,6}[2(b 2 +bc+c 2 ){3,6}]4{6,3} 4{3,6}[2(b 2 +bc+c 2 ){6,3}]2{6,3} b ≡ c mod 3、bc(b − c) > 0
{6,3}[2(b 2 +bc+c 2 ){3,6}]2{3,6} 2{6,3}[2(b 2 +bc+c 2 ){6,3}]{3,6} b ≡ c 3 を法として
2{6,3}[4(b 2 +bc+c 2 ){3,6}]4{3,6} 4{6,3}[4(b 2 +bc+c 2 ){6,3}]2{3,6} b ≡ c mod 3、bc(b − c) > 0
{3,6}[(b 2 +bc+c 2 ){3,6}]{3,6} {6,3}[(b 2 +bc+c 2 ){6,3}]{6,3} b ≢ c を 3 で割ったもの
2{3,6}[2(b 2 +bc+c 2 ){3,6}]2{3,6} 2{6,3}[2(b 2 +bc+c 2 ){6,3}]2{6,3} b ≢ c mod 3、bc(b − c) > 0
{6,3}[2(b 2 +bc+c 2 ){3,6}] [2(b 2 +bc+c 2 ){6,3}]{3,6} b ≢ c を 3 で割ったもの
2{6,3}[4(b 2 +bc+c 2 )2{3,6}] [4(b 2 +bc+c 2 ){6,3}]2{3,6} b ≢ c mod 3、bc(b − c) > 0

整数がb 2 + c 2またはb 2 + bc+c 2の形式で2つの異なる方法で表現できる場合は、区別が必要です。たとえば、145 = 12 2 + 1 2 = 9 2 + 8 2、または91 = 9 2 + 9 ⋅ 1 + 1 2 = 6 2 + 6 ⋅ 5 + 5 2です。このような場合、コクセターは和を明示的に表記します。たとえば、{4,4}[(144+1){4,4}]{4,4} と表記し、{4,4}[(81+64){4,4}]{4,4} と表記します。[ 2 ]

1964年当時、コクセターは次のようなコンパクトまたはパラコンパクト双曲型タイル分割の複合を知っていましたが、その完全性の証明は当時は知られていませんでした。[ 2 ]

双曲正則複合語[ 2 ]
自己双対
{4,q}[2{q,q}]{q,4}
{3,8}[6{8,8}]{8,3}
{5,5}[6{10,10}]{5,5}
{4,5}[12{10,10}]{5,4}
{3,7}[9{7,7}]​​{7,3}
2{3,7}[18{7,7}]​​2{7,3}
双対
{3,2q}[3{q,2q}]2{2q,3} 2{3,2q}[3{2q,q}]{2q,3}
{4,5}[6{4,10}]2{4,5} 2{5,4}[6{10,4}]{5,4}
{3,7}[8{3,14}]2{3,7} 2{7,3}[8{14,3}]{7,3}
{3.7}[24{7.14}]2{7.3} 2{3.7}[24{14.7}]{7.3}
{3.9}[12{9.18}]2{9.3} 2{3,9}[12{18,9}]{9,3}
{2q,q}[2{q,2q}] [2{2q,q}]{q,2q}
2{3,7}[9{4,7}] [9{7,4}]2{7,3}
{3,9}[4{3,18}] [4{18,3}]{9,3}

ユークリッド的複合族{4,q}[2{q,q}]{q,4}は、h{4,q} = {q,q}、すなわち{4,q}の交互の頂点をとると{q,q}となることから現れる。したがって、これらはq=3の場合である球面ステラ・オクタングラのユークリッド的および双曲的類似体である。[ 2 ]

h{2q,q} = {q,2q} もまた成り立ち、複素数 {2q,q}[2{q,2q}] とその双対 [2{2q,q}]{q,2q} が得られます。ここで、{2q,q} の双対を取ると、他の 2 つの {q,2q} の交互の面の中心を頂点とする 3 番目の {q,2q} が得られます。これは複素数 {3,2q}[3{q,2q}]2{2q,3} とその双対 2{3,2q}[3{2q,q}]{2q,3} となります。これらの化合物は、q > 3 の場合には双曲型、q = 3 の場合にはユークリッド型である。これらの化合物は、球状化合物 {4,3,3}[2{3,3,4}]、[2{4,3,3}]{3,3,4}、{3,4,3}[3{3,3,4}]2{3,4,3}、および 2{3,4,3}[3{4,3,3}]{3,4,3} と類似している。[ 2 ]

{4,q}[2{q,q}]{q,4} において q = 8 とし、{3,2q}[3{q,2q}]2{2q,3} において q = 4 とすると、{4,8}[2{8,8}]{8,4} と {3,8}[3{4,8}]2{8,3} という特別なケースが得られる。後者の {4,8} は前者に従って {8,8} のペアに置き換えることができ、自己双対的な化合物 {3,8}[6{8,8}]{8,3} が得られる。[ 2 ]

ユークリッド正則化合物と双曲正則化合物のいくつかの例
自己双対 デュアル 自己双対
2 {4,4}2 {6,3}2 {3,6}2 {∞,∞}
{{4,4}} または{4,4} または {4,4}[2{4,4}]{4,4}+ または[2{6,3}]{3,6} a{6,3} または {6,3}[2{3,6}] +または{{∞,∞}} または a{∞,∞} または {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4} +または
3 {6,3} 3 {3,6} 3 {∞,∞}
2{3,6}[3{6,3}]{6,3} {3,6}[3{3,6}]2{6,3}++++

四次元化合物

直交射影
75 {4,3,3}75 {3,3,4}

コクセターは著書『正多面体』の中で、正4次元多面体の正化合物を46個挙げている。[ 3 ]マクマレンは論文『4次元多面体の新しい正化合物』で6個を追加し、リストが完全であることを証明している。[ 4 ]以下の表で、上付き文字(var)は、ラベルの付いた化合物が同じ記号の他の化合物と異なることを示している。

自己双対規則化合物
化合物 構成要素 対称性 頂点の配置 セルの配置
120 {3,3,3}5セル[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]{5,3,3}{3,3,5}
120 {3,3,3} (変数)5セル1200の位[ 4 ]{5,3,3}{3,3,5}
720 {3,3,3}5セル[5,3,3]、順序14400 [ 4 ]6{5,3,3}6{3,3,5}
5 {3,4,3}24細胞[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]{3,3,5}{5,3,3}
規則的な化合物を二重対として
化合物1 化合物2 対称性 頂点の配置 (1) セルの配置 (1) 頂点の配置 (2) セルの配置 (2)
3 {3,3,4} [ 5 ]3 {4,3,3}[3,4,3]、命令1152 [ 3 ]{3,4,3}2{3,4,3}2{3,4,3}{3,4,3}
15 {3,3,4}15 {4,3,3}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]{3,3,5}2{5,3,3}2{3,3,5}{5,3,3}
75 {3,3,4}75 {4,3,3}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]5{3,3,5}10{5,3,3}10{3,3,5}5{5,3,3}
75 {3,3,4}75 {4,3,3}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]{5,3,3}2{3,3,5}2{5,3,3}{3,3,5}
75 {3,3,4}75 {4,3,3}600 [ 4 ]を注文{5,3,3}2{3,3,5}2{5,3,3}{3,3,5}
300 {3,3,4}300 {4,3,3}[5,3,3] + , 次数 7200 [ 3 ]4{5,3,3}8{3,3,5}8{5,3,3}4{3,3,5}
600 {3,3,4}600 {4,3,3}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]8{5,3,3}16{3,3,5}16{5,3,3}8{3,3,5}
25 {3,4,3}25 {3,4,3}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]{5,3,3}5{5,3,3}5{3,3,5}{3,3,5}

75個の四次元方陣には2つの異なる複合体があります。1つは120個のセルの頂点を共有し、もう1つは600個のセルの頂点を共有します。したがって、対応する75個の16個のセルの双対複合体も異なることがわかります

自己双対星化合物
化合物 対称性 頂点の配置 セルの配置
5 {5.5/2.5}[5,3,3] + , 次数 7200 [ 3 ]{5,3,3}{3,3,5}
10 {5.5/2.5}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]2{5,3,3}2{3,3,5}
5 {5/2,5,5/2}[5,3,3] + , 次数 7200 [ 3 ]{5,3,3}{3,3,5}
10 {5/2,5,5/2}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]2{5,3,3}2{3,3,5}
二重対としての規則的な星状化合物
化合物1 化合物2 対称性 頂点の配置 (1) セルの配置 (1) 頂点の配置 (2) セルの配置 (2)
5 {3,5,5/2}5 {5/2,5,3}[5,3,3] + , 次数 7200 [ 3 ]{5,3,3}{3,3,5}{5,3,3}{3,3,5}
10 {3,5,5/2}10 {5/2,5,3}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]2{5,3,3}2{3,3,5}2{5,3,3}2{3,3,5}
5 {5,5/2,3}5 {3.5/2.5}[5,3,3] + , 次数 7200 [ 3 ]{5,3,3}{3,3,5}{5,3,3}{3,3,5}
10 {5,5/2,3}10 {3.5/2.5}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]2{5,3,3}2{3,3,5}2{5,3,3}2{3,3,5}
5 {5/2,3,5}5 {5,3,5/2}[5,3,3] + , 次数 7200 [ 3 ]{5,3,3}{3,3,5}{5,3,3}{3,3,5}
10 {5/2,3,5}10 {5,3,5/2}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]2{5,3,3}2{3,3,5}2{5,3,3}2{3,3,5}

部分正則な複合語も14個存在します。これらは頂点推移的またはセル推移的であり、両方ではないものです。7つの頂点推移的な部分正則な複合語は、7つのセル推移的な部分正則な複合語の双対です。

双対としての部分規則化合物
複合語1頂点推移化合物2細胞伝達性対称性
2 16セル[ 6 ]2つの四次元立方体[4,3,3]、順序384 [ 3 ]
25 24細胞（変種）25 24細胞（変種）600 [ 4 ]を注文
100 24セル100 24セル[5,3,3] + , 次数 7200 [ 3 ]
200 24セル200 24セル[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]
5 600セル5 120セル[5,3,3] + , 次数 7200 [ 3 ]
10 600セル10 120セル[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]
二重対としての部分規則性星状化合物
複合語1頂点推移化合物2細胞伝達性対称性
5 {3,3,5/2}5 {5/2,3,3}[5,3,3] + , 次数 7200 [ 3 ]
10 {3,3,5/2}10 {5/2,3,3}[5,3,3]、順序14400 [ 3 ]

5セルと24セルはどちらも自己双対であるが、それらの双対合成（2つの5セルの合成と2つの24セルの合成）は、2つの四面体の合成や様々な双対多角形の合成とは異なり、頂点正則にもセル正則にもならないため、正則とはみなされない。つまり、これらはいかなる正則4次元多面体のファセットや星型にもならない。しかし、頂点、辺、面、セルに関して推移的である。

ユークリッド3次元複合

唯一の正則ユークリッド複合ハニカムは、立方ハニカムの無限複合族であり、すべてが他の立方ハニカムと頂点と面を共有しています。この複合は、任意の数の立方ハニカムを持つことができます。コクセター記法は{4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4} です

双曲型3次元複合

CWLガーナーは1970年に、正則双曲型複合ハニカムの2つの双対を記述しました。コンパクトペア2{5,3,4}[5{4,3,5}]と[5{5,3,4}]2{4,3,5}、およびパラコンパクトペア{6,3,3}[5{6,3,4}]と[5{4,3,6}]{3,3,6}です。彼は、頂点が無限遠にある頂点正則複合、または（逆に）セルが無限遠を中心とするセル正則複合は考慮しませんでした[ 7 ] 2019年にピーター・マクマレン（コンパクトなケースのみに焦点を当てた）はガーナーの完全性証明のギャップを指摘して埋め、現在では2{5,3,4}[5{4,3,5}]と[5{5,3,4}]2{4,3,5}が唯一のコンパクト正則双曲型ハニカム化合物であることが証明されています。[ 8 ]

5次元以上の複合

5次元または6次元には、規則的な化合物は存在しません。7次元の化合物は3つ（7次元単体が16個、240個、または480個）、8次元の化合物は6つ（8次元立方体または8次元正方錯体が16個、240個、または480個）知られています。また、n次元空間には、 nが2のべき乗より1小さい場合、n単体の化合物が1つ存在し、 nが2のべき乗の場合、 n次元空間には2つの化合物（ n立方体の1つとn直交錯体の双対の1つ）が存在します。

これらの化合物のCoxeter表記法は次の通りです（α n = {3 n −1 }、β n = {3 n −2 ,4}、γ n = {4,3 n −2 }を使用）。

  • 7単体: c γ 7 [16 c α 7 ] c β 7、ただしc = 1、15、または30
  • 8-オルソプレックス: c γ 8 [16 c β 8 ]
  • 8立方体: [16 c γ 8 ] c β 8

一般的なケース（n = 2 k、d = 2 2 k − k − 1、k = 2、3、4、...）

  • 単体: γ n −1 [ d α n −1 ]β n −1
  • オルソプレックス: γ n [ d β n ]
  • 超立方体: [ d γ n ]β n

ユークリッドハニカム複合

5次元以上の正則ユークリッド複合ハニカムの既知の族は、他の超立方ハニカムと頂点と面を共有する超立方ハニカムの無限複合族です。この複合は任意の数の超立方ハニカムを持つことができます。コクセター記法はδ n [ d δ n ]δ nで、 n = 2 のときは δ n = {∞} 、 n ≥ 3 の ときは{4,3 n −3,4 } です

双曲型ハニカム化合物

4次元において、ガーナー（1970）は{3,3,3,5}[26{5,3,3,5}]{5,3,3,3}の存在を主張しました。[ 7 ]根拠も構成も示されていませんでしたが、マクマレン（2019）はこの主張が正しいことを証明しました。[ 8 ]マクマレンは、以下のコンパクト化合物の存在を示しました。[ 8 ]

  • 2{3,3,3,5}[17{4,3,3,5}]と双対[17{5,3,3,4}]2{5,3,3,3};
  • 10{3,3,3,5}[85{4,3,3,5}]と双対[85{5,3,3,4}]10{5,3,3,3};
  • {3,3,3,5}[26{5,3,3,5}]{5,3,3,3} (自己双対、左利きと右利きの形式がある);
  • 6{3,3,3,5}[156{5,3,3,5}]6{5,3,3,3} (自己双対、左利きと右利きの形式がある);
  • 12{3,3,3,5}[312{5,3,3,5}]12{5,3,3,3} (自己双対)

マクマレンは、このリストがコンパクト化合物に関して完全であると推測しています。もしこれ以上のコンパクト化合物が存在するならば、{4,3,3,5}または{5,3,3,5}が{5,3,3,3}に内接している必要があります（まだ除外されていない唯一のケース）。[ 8 ]

5次元では、頂点が無限遠点にない正則双曲型ハニカムは{3,4,3,3,3}の1つだけである。したがって、頂点正則複合の頂点は無限遠点にあってはならないというガーナーの制約を満たす正則複合は存在しない。6次元以上では、コンパクトまたはパラコンパクト正則双曲型ハニカムは全く存在せず、したがってコンパクトまたはパラコンパクト複合も存在しない。[ 7 ]

参照

参考文献

  1. ^ Coxeter (1973)、48ページ
  2. ^ a b c d e f g h i Coxeter, HSM (1964年3月24日). 「双曲面の正則複合モザイク模様」. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences . 278 (1373): 147– 167. Bibcode : 1964RSPSA.278..147C . doi : 10.1098/rspa.1964.0052 .
  3. ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa Coxeter (1973) . 表 VII、p. 305
  4. ^ a b c d eマクマレン (2018) .
  5. ^リチャード・クリッツィング「均一な複合星状イコシトラコリン」。
  6. ^リチャード・クリッツィング「均一な複合デミディステッセラクト」。
  7. ^ a b c Garner, CWL (1970). 「双曲空間における複合ハニカム」.ロンドン王立協会紀要. A. 数学・物理科学. 316 (152): 441– 448. Bibcode : 1970RSPSA.316..441G . doi : 10.1098/rspa.1970.0089 .
  8. ^ a b c d McMullen, Peter (2019). 「 H 3とH 4におけるハニカムの正則化合物」 . Advances in Mathematics . 349 : 56–83 . doi : 10.1016/j.aim.2019.04.006 . 2024年10月12日閲覧。

参考文献

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